量子統計力學の基礎
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(2) 綜. 説. 量 子 統 計 力 學 の 基 礎 會 員. 伏. 見. 康. 治(大. 阪帝大珪學部). (昭 和 十六年四月 五日総曾講演) [序 ］ 統 計的 確 率 論 的 方法 を物 理 學 上 の 色 々 な問 題 に 適 用 す ろ例 は数 が 多い,種 類 も雑 多 で あ る. 例 へ ば ブ ラウ ニ運 動,放 射 性 物質 の 崩壌 現 象,種. 々の 遙 ら ぎの問 題,氣體運動. 論,等 々.併. しこ ゝ. で蓮 べ る狭 義 の 統 計 力學 の 射 象 と な るの は物 質 の 熟平 衡状態 に 於 け る性 質 ,即 ち熱 力學 的 諸 性 質 の 秀 子論 的解釈 と云 ふ 限 られ た もの で あ る.か. ゝる 意 味 の 統 計 力學 は 前 世 紀 の マッ ク スウ ェル ・ボ ル. ツマ ン時 代 の氣體運動 論 か ら褒 して,今 世 紀 に なつ て 非 常 な 套達,曄. 用の 臓 大 を受 け た の で あ るが. その 問題 の 型 か ら言 へ ば 氣體 運 動 論 よ り遙 か に狭 い.即 ち こ ゝで は 物 質 の 非 手 衛状態 に 就 い て は 何 も論 じ ない の で あ る. 物 質 が 分 子 の や うた 極 微 粒 子の 非 常 に 多 くの 集 りで あ る と して.そ の 物 質 の 諸 性 質 を分 子常 数 侵 の 質 量,大 き さ,相 五 闇 の 力 か ら導 び か う と すれ ば,問 題 の 複 雑 さの た あ に天 膿 力學 に 於 け る や うな 正 攻 法 を使 ふ わ け に は い か ない.初 期 の 氣體 運 動 論 で確率 論 を援 用 した らよか ら う と言 ふ 案 は,非 常 に 複 雑 な もの は その 複 雑 の 故に 統 計的 に 見 て却 つ て簡単 に な る であ ら う と云 ふ 素 朴 な 考 へ か ら出 た の で あ る.統 計 力學 の対象 で あ る物 質 が どれ 程 多 くの分 子の 集 りで あ るか を示 す に は ア ヴ ォガ ドロの 数. を學 げれ ば 充 分 で あ る.之 れ は 氣體1モルs常. 温 常 墜 で22.4立. の體 積 を 占 め ろ)の 中に 含 まれ る. 分 子 の 数 で あ る.之 れ は 統 計 確 率 の 他 の ど ん な応用 例 に も現れ な い巨 大 な数 で あ ろ.大 数の 法 則 で 漠 然 と推 測 すれ ば,此 の や うな 大 集 團 で は 殆 ん ど いつ,も平 均 だ けの 考 察 で 充 分 であ る と云 ふ 想像 が つ く・平均 の 周 りの 遙 ら ぎの 問題 は 二次 的 な もの と なつ て しまふ.之 が 統 計 力學 が 實 は甚 だ 統 計 的 で な い理 由で あ る. 〔古 典 統 計 力學.ア. プ リオ リ確 率]分. 子 の 大 集 團 か ら放 る 力學 系 に劃 して 確 率 論 を適 用 する と し. て,先 づ 第 一 に 問 題 に な ろの は ア プ リオ確率 の 決 定 であ る.之 れ は 確 率 論 の あ らゆ る応 用 に 先 立 つ 先 決 問 題 で あ る 。併 し我 々の 問題 で は,骸 子 の 六つ の 面 の確率 を論 ず る場 合 と多 少 事 情が 異 つ て ゐ る.骸 予 が 物理 的 に対称 的 に 出 来 て ゐ る か ど うか と云 ふ や うな こ とは,分 子 に対して は 疑 問の 絵地 は ない. 分 子 が 互 ひに 相 同 で あ る と云 ふ こ と も原 理 上 完全 であ る と言 ひ切 つ て 良 い の で あ る.. 今 日誌容 され て ゐ る ア プ リオ リ確 率 は 相空間 に 於 け る雫 等 な 砒 較 、確 率 で あ る.相空間 の は,力 學 系の 欺 態(=相. と言ふ. 、を 表 は す 補 助空間 で,一 般座 標 とそ れ に 共 箆 な運 動 量座 標 を直 交座 標. とす る 多次 元室 闇 で あ る.分 子 が 質 鐵 と考 へ られ る場 合 に は 相空間 の 座 標 と して は,普 通の 位 置 デ カル ト座標 とそ、 り各方 向へ の運 動 量 域分 と を取 つ て 差 支へ な い.分 子 が 有 限 の 大 き さの 剛 匿 な らば.
(3) 之 れ に 廼 轄 角 と角 運 動 量 を つけ 加 へ な け れ ば な らない. 荷 分 子 が 憂 形 す る もの であ れ ぽ,憂 形 の 度. を表 は す座 標 と それ に共 魎 な 墾 撒 が 必 要 と な る.物 質 の 一 定 量 の 相空間 は 個 湊の 分 子の 相空間 の 直 積空間 で,そ れ は 非 常 に 多 くの 次 元数 の もの であ る.個 相 室 闇 を 氣髄 相空間 と呼 ぶ1μ一室 闇 とr‑‑eR{j').平 に はr一空間. に 樹 して の み で あ る.併. 々分 子 の 相空間 を分 子相空間,物. 質全髄の. 等 ア プ リオ リ確 率 を 我 々が 要 求 す るの は 一一me. し,理 想 氣體 の 場 合 の や うに 分 子相 互 間 の 作 朋が 小 さい(分. 子 は そ の 生 涯 の 大 部 分 を 自 由質 激 と して 直 進 し,他 の 分 予 と相 互 作 用 の 下 に あ ろ一 一衝 突 して ゐ る 時 間 は 極 めて 小 さい)と 考 へ られ る場 合 に は,我 て,そ. 々は確率 論 で 言 ふ独立 事象 の場 合 に あ るの で あ つ. の 時 に は個 々の μ一空間 で 平 等 ア プ リオ リ確 率 を要 求 す る こ とが で き る.そ. うすれ ばr一 室. 間 に 於 け る ア プ リオ リ確率 は独立 事 象 の 確 率 の 積 で 當然 雫 等 とな る. 歴 史的 に親 て こ の や うな ア プ リオ リ確 率 を採 用 する こ との 當 否 は,唯 そ れ か ら 出 る結 論 が 継 験 事 實 に 合 ふ か 否 か で 定 め られ た の であ る と言 つ て 良 い.そ. うすれ ば もはや ア プ リオ リ確率 その もの の. を 問ふ 必要 は ない.け れ ど も理 論 上 か ら言 へ ば,こ の 立 場 は 支 持 し難い.分 へ ば,分. 子 説 の 立 場 か ら言 根拠. 子の 性質 を 力學 的 に 特 徴 付 け た 以 上 は 総 て の 物 質 の 性 質 は 力學 の 方 程 式 の み か ら出 て こ な. け れ ば な ら ない か らで あ る.相空間. 内平等 ア プ リオ リ確 率 を基 礎 付 け る 擦 り所 の 一つ は リウ ヴ ィル. の 定 理 で あ る.此 の 定理 は,相空間. 内の 或 る體 積 は,そ れ が 力學 方 程 式 で相 室 聞 内 に惹 起 され た 流. れ に 乗 つ て動 い て もその體 積 が 饗 は らな い と 言ふ こ とを 言ふ.此 の 定 理 の お 蔭 で相空間 内 の 一 様 な 確 率 は 時 間 と共 に 憂 らず,い つ ま で維 つ て も亭 等 であ る.か や うな 不饗體 積 の 存 在 を 使 つ て平等 ア プ リオ リ確 率 の 假 定 を基 礎 付 け るの は,所 謂 エル ゴ ー ドの 問 題 で あ る.力 學の 問 題 に は 統 計 的 な も の は 始 め な い の で あ るが,力 學 系の 或 性 質 の 長 期 平 均 値 を求 め る と言 ふ 問題 は樹 て うる.エ ル ゴ ー ド定理 は 此 の 長 期平均 が 雫等 ア プ リオ リ確率 を使 つ た 平 均 値 と等 しい こ とを 主張 す る ・ ボル ツマ ン 以 來 物 理 學 者 が 豫 期 して ゐ た 此 の 定 理 は1930年 前 後 パ ー コ フ ・ノイマ ン らの 漸 く証 明 した と こ ろ で あ る.併. しこ ゝで は 一 切 此の 問題 に は 立 ち 入 ら な い こ と とす る.唯. ミ,力 學 系 が 牲 質 の 素 直 な)積. 分 を 有 つ 時 に は,そ の 積 分 を使 つ て 力學 簡題 を 還 元 して 置 く必要 が あ る こ と丈 を注 意 して 置 か う. [極 限 定 理 ］ 採 用 す る こ とに した平等 ア プ リオ リ確 率 の 上 に 立 つ て,色 を 計 算 す る こ とが で きる.併. 々の 力 學 系 の状 態 の 確 率. し統 計 力學 の 主要 問題 は 物 質 の 熱 性 質 を出 す こ と に あ る か ら,い つ も. 問 題 と な るの は エ ネル ギ ーの み であ る.〔 第 一 の 問 題 〕 一 分 子 の 或 る エ ネル ギ ーの 値 の確率 を求 め る こ と.古 典 論 で は エ ネル ギ ーは連続 髪 量 であ る か ら,エ 確 率 を 求 め る と言 ふ べ きで あ ら う.併. ネル ギ ーがEどE÷dEと. し もつ と便 利 に は エ ネル ギ ーがEよ. (分布函数 と呼 ぱ う)を 問 ふ た 方 が よい.こ を も包 含 す るの で都 合 が よい.此 の 鱒. の間にあ る. り小 さい値 を と る確 率. れ は 量 子 論 で エ ネ ル ギ ーの 固有 値 が 不連続 に な る場 合. は假 定 に よ り,相 室 聞 に 於 け るE一 面（エ ネル ギ 一・=Eで. 定 ま る面 で,素 直 な性 質 を もつた 有 限 の 大 き さの 閉 曲 面 であ る)の 包 む 相體 積 玖 珂 で あ る(又 は そ れ に 比 例 す る 、.分 子 が 質1で. そ の 並 進運動 丈 が 考 へ られ る時 は,相體. 量空間 に 於 け るE‑一 面 の體 積)で,こ られ る.運動. 積 冒(普 通 の體 積')×G軍 動. の 後 の もの は 三 次 元空間 の 球 面 内 の體 積 で あ るか らすぐ 求 め. 量 の 平 方の 和が エ ネル ギ ーに 比 例 する か ら,こ れ は 亙蜜に 比 例 す る.で 此の 場 合 に は v(E)。c普. 通 の體 積 、xが.
(4) エ ネ ル ギ ー がcE,E+dElに. あ ろ 確i率,即. ち 確 率 密 度 はE髪1五̀に比. 例 す ろ.そ. れ 故 エネルギー. に 就 い て は 確 率 は 平 等 で は な い(. 〔第 二 の 問 題 〕 そ の 相 互 作 用 が 甚 だ 小 さ い.併 の あ る 様 な 二 つ の 分 子 か ら 成 ろ 系 に 於 て,全. し相 互 作 用 が と に か く存 在 して エ ネル ギ ーの 授 受. エ ネ ル ギ ーの 分 布 函 数 を 求 め る こ と.耕. 互 作 用が 省 略. で き る 程 小 さい こ と は 全 エ ネ ル ギ ー が 各 分 子 の エ ネ ル ギ ーの 和 で あ る. と肯 ふ こ と であ る.相 互 作 用が 小 さい こ との も う一 つの 結 論 は,分 子が 五 ひに 統 計 的 に独立 に 行動 ナる と言 ふ こ と であ る.此 の 場 合 に は 普 通 の確率 論 の 場 合 と違 つ て 統 計的独立 性 が 實 際 に働 く力の 機 講の 性 質 か ら判 断 され るの で あつ て ・現 象 論 的 に確 率 の 方 か ら定 義 す るρ では ない こ とに 注 意 し なけ れ ば な らな い.獺 立 性 を許 せ ば 此 の 問 題 の 答 へ は. で 與 へ られ る.(Dの. 場 合 に 就V・て 計 算 すれ ば. 琢E)は. が. に 比 例 す る こ と を 知 る.一 一般 に π ケ. の分子があれば. で あ る. C第 三 の 問 題 〕 相 互 作 用の 小 さい 三つ の分 子 の 系 で,全 エ ネル ギ ーが 與 へ られ た 値Eを. とる 時,. 一 つ の 分 子の エ ネル ギ ー分 布 を知 る こ と.連続 量 の範囲 で 此 の 問 題 を意 味 あ ら しめる た めに,輿 へ られ た 全 エ ネ ルギ ーに 籐 裕 を與 へ てEとE+dEと. の 聞 と しな けれ ば な らな い.す. る と問 題 の 答. へは. を,(E!,El÷dE,〉,(E,E+4E)(但. しE=El+Ez+β3)の. 範 團 で 積 分 して 得 られ る わ け で あ る.答:. 一 般 に 銘 ケ の 分 子 の 系 で 全エ ネ ル ギ ー が 與 へ ら れ た 時 ,一. とな る.之 れ は 比 較確率 で あ る が,Eiの. 愛 域 が 制 限(〈E)さ. ケの 分 子 の エ ネ ル ギ ー 分 布 は. れ た た め に 規 格 化 す ろ こ とが で きる.. 此 の 規 格 因1数は. で あ る. 以 上 の や うな 諸 問題 を分 子の 数 が 甚 だ 大 きい 時 に 解 く こ とが統計 力學 の 主要 問 題 とな る ・(11)の 假 定 が 威 立 つや うな場 合 に は,こ の 極 限 移 行 は 全 く初 等 的 な 計 算 で途 行 す る こ とが で きろ.併 毅 的 な こ と を云 ふ た め に は有 力な数 學 的 方 法 を援 用 しな けれ ば な らな い.. し一.
(5) 、ダー ウ ヰ ン ・フ ・ウ ラ ー の 方 法.2の. や う な 畳 み 込 み ρ 積 分 滅 算 ぱ 教 學1ヤが 特 性 函 厳 と か つ の 分 布函数. ギ ーの 統 計 的 性 質 は 全 部 判 る わ け で あ る が,そ. 意 の パ ラ メ タ α を 合 む 指 鐵 函 螢 ε一曜. の 代 り に,任. 随Eが. ,又. は 母 函 数 と か 名 付 け ろ 函;敗に 移 ・ て 考 へ る と 見 易 くな る.一. あ ろ と ,エ. ネル. の 平均値. を 知 つ て ゐ て も 良 い わ け で あ る.例. へ ばEの平均. へ れ ば 得 ら れ る ・ 實 際fc .rz.)を知 れ ば. 玖E)が. 値 とか,E2の. 一 般 にEの. 代 りに フー リエの変換 を使 ふ ○ で あ る が,そ れ. 高 い 幅 で 塘 大 す るか ら で あ る.物 理 學 者 は 致 學 的. 補助 手 段 と して函数 弄 α、に 物 理 的 意 義 を見 出 すの で あつ て,ギ ン クは 歌 熊 和 ・ファ ウ ラ ーは 雌. ブ スは 之 れ を相 績分 と唱 へ,ブ. ラ. と名 付 け た ・. 相 積 分 を 使 ふ 便 利 は,合 成 の 法 則(2}が簡単. の 形 に 蘇 繹 され るか らで あ る.π. 色 々の 幅 を考. 求 め ら れ る こ と は メル リ ン ・バ ー キ,しの 逆変換. か ら判 る・ 普 通の 確 率 論 では ラ ブ ラ スの変換(5)の が 今 の 場 合 使 へ な い の は,V(E",は. 平 均 値 と か がaの. な積. ケの 分 子 を合 成 した 時 に は 之れ か ら直 ち に. が 得 られ る.之 れ を メル リンの 公 式 ⑥ で 引 繰 り反 す と. と な る ・ そ こ で π→ 。。 の 極 限 移 行 へ の 道 が 拓 か れ た こ と に な る. 物 理 的 に 意 味 の あ る 極 限 移 行 はk8、. の 式 で 軍 にn→. ㏄. と す る こ と で は な い.引. ル ギ ー で あ る か ら 之 れ も分 子 の 轍 と共 に 壇 大 す る と し な け れ ば な ら な い .そ ル ギ ーを 万. 数Eは. 全 エ ネ. こ で 一 分 子 當 りの エ ネ. と し,之 れ を 固 定 して. と置 く.こ う して(8） の 漸 近 評 頂 を 行 ふ.之 れ は 所 謂 鞍部1の. 方 法 で 途 行 され る .⑧. 式 の 被 預分. 函敦は. のn乗. であ る・ 此 の 函 教 が 實 軸 の 上 で 徴 係 数 が 零 とな る と ころ に 積 分 路 を置 く:. と・虚 軸 に 平 行 な 積 分 路 の 上 で 被 積 分 函 数 は 實 軸 の 上 で 最 大 の 絶 封 値 を もち ,π 乗 され る と此 の 部 分 か らの 寄 與 の みが 積 分 の 大 部 分 を 占 め て しまふ.そ. こ で 第一 近 似 と して.
(6) を 得 る.此の ま だnに. 式 は 爾 邊 の 封数 を とつ た と き,夫. 々の 主要 項 が 一 致 する と言 ふ 意 味 で あつ て 右邊 に は. 聞 係 す る 因 数が あ ろか も寿 知 れ な い.併. もの で あ ろ か ら,此. を ち る.之. し我 寿 に とつ て 必 要 な の は 紅4つ を(4")で. の 因 厳 を 知 る 必 要 は な い.c、11)を. れ が 求 め る 「非 常 に 多 く・ の 敷11の. 使 つ て 實 際G')を(,4",で. き もの で あ ろ.此 を す る.扱. の 式 で 重 要 な の は ρ'渇. と言 ふ 指 激 函 数 で あ る.ノ(β ・は 軍 に 規 格 化 因 教 の 役 目. 分 子 を 多 く の 分 子 の 系 に 組 入れ て 全 系の エ ネ ル ギ ー を 指 定 す る と,此. 値 は 許 され な い の で あ る が,我. て 差 支 へ な い.EiがEに. な い.併. の 比 較 確 率 はe"・'Elな. 々の 近 似 度 で はE,の. る因. 來全 エ ネル ギ ー 一 一. 饗 域 は無 限 で あ る と し. 近 づ く即 ち 一 分 子 が 全 エ ネ ル ギ ー を 引 受 け て しま ふ や う な確率 は 甚 だ 小. さ く な る の で 問 題 に な ら ない.此 〔温 度,熱. 第 二の 因数 丈 で あつ た ・此 の. れ に よ つ て 高 い エ ネル ギ ーの 値 は 著 し く確 か ら し さが 減 る(元. を 超 え る や う なElの. 與 へ た と き,一. ゝに パ ラ メ タ β は{1101)を 解 い て 得 ら る べ. て 我 々 の 出 蛮 貼 で は 一 ケ分 子 の エ ネル ギ ー分 布 は(12)の. 勲 で 乗 ぜ られ る.之. 割う と. 分 子 の 系 で 全 エ ネル ギ ーE=nE'を. ケの 分 子 の エ ネル ギ ー の 規 格 化 され た 確 率 」 で あ る.こ. 割つ た. の 因 勲 を ボル ツ マ ンの 重 み と 唱 へ る ・. 力 學 的 諸 函 薮 ⊃ 上 の 議 論 で は β は 漸 近 値 を 求 め る 際 に 導 入 した 数 學 的 パ ラ メ タ に 過 ぎ. し物 理 學 者 は 之 に 一 定 の 物 理 的 意 義 を 認 め る の で あ つ て,そ. れは廣義の逞塵 である・實際. そ れ は 所 謂 絶 封 温 度Tと. な る 關 係 に あ る.こ. ゝに 々は ボル ツ マ ンの 常 数 と唱 へ られ る もの で,之 れ は 物理 學 者が 温 度 の 尺 度. を勝 手 に 定 め て しま つた た め に挿 入 す る 必要 が生 じた もの で あ ろ ・温 度 を エ ネル ギ ー と同 じ単位 で 測 れ ばkは1と. 置 い て 差 支へ ない 。. 先づ β が 廣 義 の 温 度 と解 鐸 され ろ理 由 を述 べ よ う.熱 力學 で̀ま溜 度 は 二つ の 物質 系のi熱雫 衡 の 條 件 を表 は す パ ラ メ タで あ る.統 計 力 學 で は熱 平 衛 を 次 の や うに 解 澤 す る ・二 つ の 物 質 系は 各 系の エ ネル ギ ーに 比 して 甚 だ 小 さい が,兎 に 角 有 限 の相 互 作 用 を持 つ て エ ネル ギ ーの 交 換 を行 ふ もの と する 一 … 所 謂熱 接 艦.雨 系の エ ネル ギ ーの 配 分が 基 本假 定の ア プ リオ リ確 率 で行 は れ る と考 へ られ る時 が 雨 系の熱 平 衡 の状態 で あ る.そ こ で 二つ の 物 質 系 と して 上 に 考 へ て 來 た ヤ うな 分 子 の 集 りを 考 へ る.第 一 の 系の分 子 の 相 積分 をf,第 二 の を9と. して,夫 々の 分 子 の 敷 を",1π とす る ・す る と. 全 系の エ ネル ギ ーを輿 へ た 時 の 各 分 子の エ ネル ギ ー分 布 を調 べ る と云 ふ 問 題 で,⑧ が プ'9罰で 置 換 へ られ る 丈 で あ る.そ. 式 の 中 で,プ1. の 漸 近 評 償 を 行 ふ 時 に 現 れ る 稼 部#の 位 置 β は雨 系 に 樋. であ る.そ れ は. で定 ま る.此 の βが 全 系の エ ネル ギ ー で 定 ま ろ と云 ふ こ と以 外 に は,個. 々の 系の 分 布 函 蝕 に 憂 化.
(7) は ない.各. 系が 絹 立 に 仔在 した 時 の 函 勲 で 唯 β を共 通 の 値 に とれ ば 良 い.そ れ 故 β を温 度 と考 へ. る こ とが で きる. β を絶 封 温 度Tと. 關 係 付け る 式(.13)を 導 くに は熱 力 學の 梢 立 入つ た 知 誰 が 要 求 され,叉統計. 學 の 中 で仕 事 の 意 味 を解釈 しな けれ ば な ら ない.今 は それ を 省 く.唯. 力. ミこれ らの 考 察 か ら物 質 の 歌. 態 方 程 式(例 へ ば 氣盤 の 場 合 の ボ イル ・ゲ イ リュサックの 法 則PV‑̀一.RTI)を 導 くこ とが 出 來,X相. 封. 積 玩、と エ ン トロ ピー との 關 係 が つ くこ とを指 摘 す る に 止 め よ う. 鞍 部 滋 を定 め る 式(10)は. 逆 に 温 度 の 函 数 と して エ ネル ギ ー を 與 へ る もの であ る と解釈 す る こ と. が で き る.温 度 の 上 昇 に 必 要 な エ ネル ギ ーの 割 合 即 ち. は熱容量 と呼 ば れ る（ 群 し く言 へ ば 定 容 熱 容 量).之. れ は(10） 式 に よれ ば. こ ゝで は 此 の 熱 容 量 が 分 子 エ ネ ル ギ ー の 遙 ら ぎ に 關 係 に あ る こ と を 示 さ う.分 れ ば,一. で,前. 分 子 の エ ネ ル ギ ー の単なる平. のEと. 當然一 ・ 一 一 致 す る.一分. 布 法 則t .12♪に よ. 均は. 子 エ ネ ル ギ ー の 遙 ら ぎ は 定 義 に よ り平均 値 か ら の 偏 差 の 手 方 の. 平均で. と な る.そ. れ 故,(14）. と 比 較 して. 一 般 に 熱 容 量 の 大 き くな るの は. ,一 分 子 の エ ネル ギ ーの 遙 ら ぎの 大 き くな る 時 で あ る と解 群 す る. こ とが で きる. 我 々は 寒 一 分 子の エ ネ ル ギ ーの 遙 ら ぎ許 りで な く,そ の や うな分 子 の 集 りであ る物 質 の 全 エ ネル ギ ーの 遙 ら ぎを 問 題 と す る こ とが で きる.我 々の 初 め の 論 法 で は全 エ ネル ギ ーの 遙 ら ぎ は當 然 零 で あ つ た,全. エ ネ ル ギ ー を輿 へ た 時の 一 分 子 の エ ネ ル ギ ー を論 じた の で あ ろ か ら.併. し βが 置度 と. 云 ふ解釈 を受 け ろ場 合 の や うに,他 の 物 質 との エ ネル ギ ー交 換 を考 へ て ゐ る 時 に は 當 然 一つ の 物 質 系 の エ ネル ギ ー も遙 ら ぐ筈 で あ ろ.そ れ 故(10)式. の 式 な ど は,も 早 やEを. 即ち. 豫 め 與 へ て 置 い て 或 る 激 學 的 パ ラ メ タ β を計 算 す る 式 で は な くて ,温 度. βを 與 へ た と き物 質 系 の平均エ. ネル ギ ーを 勘 定 す ろ式 であ ろ.そ れ は 一分 子 の 平 均 エ ネル ギ ーを. 與 へ る 式 と全 く同等 の解釈 を 受 け ろ.或 は 全 物 質 系 を 改 めて 一 つ の巨 大 な分 子 と考 へ て も良 い .で.
(8) 物 質 て・池 系 ⊃,矢張り巨大な に 漬 つ て ゐ う と云 ふ,そ. 物 質 系 と エ ネル ギ ー を 交 換 して 熱平 衡 に あ ろ 場 合.物. で與 へ られ る.こ. の エ ネ ル ギ ー の 遙 ら ぎ は（15)と. 質 系が 一 つ の 熱 槽. 同じ く. ゝで注 目 すべ きこ とは 此 の 遙 らぎが"に単. に 比 例 す る と云 ふ こ とで あ る .此 の こ. と はnが 非 常 に 大 きい場 合 に は エ ネ ル ギ 一自身 の 値 に 較 べ て その 遙 ら ぎは 問 題 に な らな い 程 小 さい こ と で,從 つ て物 質 系の エ ネル ギ ーは 定 つた 値 を とつ て ゐ る と看倣 して 差 支へ な い(チ ェ ビチ ェフの 定 理）.物 理 學 的 に は 物 質 系 を全 く孤 立 して ゐ る 即 ち エ ネル ギ ーが 一 定 値 を と る と して も,一 つ の 熱 槽 に つ け た と して も大 した 違 ひが な い.勿 論 此 の 二 つ の状 態 で甚 だ 違 つ た 様 子 を示 す 量 もあ る で あ ら うが,エ. ネル ギ ー とか その 他 の 熱 力學 的 の 量 は上 の 意 味 で盤. 量(ジ ー ン ス)で あ る ・. 最 後 に 一 つの 注 意 を、 述 べね ば な らな い.今 ま で仮 定 した や うに は 分 子 の 間 の 相 互 作 用が 絵 り小 さ くな い場 合 は ど う虚 理 する か と言 ふ 問 題 であ る.そ の場 合 に は統 計 的独 立 性 が 使 へ な いの で,今 ま で の 論 を そ の ま ゝ使ふ わ け に は いか た い.併. し此の 場 合 に も温 度の 概 念 を持 ち こむ こ とは 原理 上 で. きる.即 ち分 子の 集 り全 盟 を 一つ の 亘 大 な分 子 とみ な して,此 の 亘 大 分 子 を 例 へ ば 今 ま で考 へ て き た や うな理 想 氣 農 と熱 接 縄 させ る.す る と物質 の 個 々の 分 子に は相 積分 を考 へ るわ け に は いかない が 物 質 全 農の 相 積 分 と言ふ もの は考 へ られ る.で 原 理 上 は そ う云 ふ もの を考 へ さへ すれ ば,物 質 の 熱 的 性 質 は 蓋 くそれ か ら導 き得 られ る筈 の もの で あ るが,實 際 問題 と して は 一般 に この 積 分 は 甚 だ 複 雑 な もの で あ つ て,手 の つ けや うの な い のが 普 通 で あ る. 即 ち 相 互 作 用 の 小 さい 場合 に は. で,物 質全 農 の 相 積分 が 一分 子 の 相 積 分 の"乗. と云 ふ簡単 な こ とに な るの に,一 般 に は そ うで な. く,我 々は 点 β、を如 何 に勘 定 す べ きか を知 ら ない.然. るに 物 理 的 事 實 と して 我 々 は エ ネル ギ ーの. や うな 熱 力 學 的 諸 量が 物質 の 量 に,即 ち分 子 の 数 に比 例 す る こ とを 知つ て ゐ る.之 れ は ∫、(β)が" の 大 きな 値 に対して は 漸 近 的 に何 か 他 の 函 数 激β♪の"乗. セ 示 して ゐ る.若. とな る こ と:. しそ うで あれ ば 今 ま で の 一 般 論 が適 用で き,特 に エ ネル ギ ーの 遙 ら ぎが 小 さい こ. とが 保 設 され るわ け であ る. (17)に 於け る函数h(β)に. は 場 合 に よつ て物 理 的 意 義 を 見 付 け る こ とが で きる 。例 へ ば 分 子 間 の. 相 互 作 用が 甚 だ大 き くて 分 子 が 結 晶 格 子 の 上 に配 列 して ゐ るや うな場 合 に は,個 々の 分 子 を 運 動 の 輩 泣 と見 ず に,結 晶 格 子の 弾 性 振 動 を そ の 標準 型 振 動 に 分 け て 之 れ を単位 と見 る こ とに よつ て(17) な る表 現 に 到 達 で きる. 〔エ ネ ル ギ ー等 分 の法 則 ］ 始 めの,相 互 作 用 の 小 さい 分 子 の 集 りに 脇 つ て,分 子 と して 内 部 構 造 の ない 質 熱 を 想 像 す る と(1)が 成 立 ち,從 つ て相 積分 は '.
(9) この 結 果 で注 目す べ き こ と は,平 均 の エ ネル ギ ー に 何 等の 物 質 常 敷 が(例 へ ば 質 黙 の 質 量 が ㍉現 れ て ゐ な い こ と で あ ろ.そ れ で分 子 の 蝕 さへ 等 しけれ ば,分 子の 質 量 に よ らず エ ネ ル ギ ーは 温 度 の み で 定 まつ て しまふ.同 温 度 で は 重 い 分 子 は 遅 く,輕 い分 子 は 速 く動 い て ゐ る と言 はれ る.之 れ は 古 典 統 計 力學の 最 も特 徴 的 な 結 論 で,エ ネル ギ ーの 等分 法 則 と呼 ばれ て ゐ ろ.・今 一 つ の 特 徴 は 熱 容 量 が 温 度 に も依 ら ない 常 数 とな つ て ゐ る こ とで あ ろ. (18)式 に 於 け る 因数3は 分 子の 自 由度 が3で. あ る こ とに 起 因 す る.も つ と詳 し く云 へ ば エ ネ ル ギ. ーが 運 動 量 の 三 つ の成 分 の平 方の 和 に な つ て ゐ るた めに 出て く る.若. し一 般 に エ ネル ギ ーがrケ の. 平 方の 和 収 は それ に 鯖 着 され るや うな 二 次 形 式)の 形 に 書 け る場 合 な らば,相 容 積 はE'・12に 比 例 し,相 積分 は β'・i2に 比 例 し,從 つ て(18)の. を 得 る ・ 實 際分 子が 廻 轄 の 自 由 度1.1叉 は2)を 場 合(軍 原 子分 子)に 比 較 して 催 叉 は1)×nk丈 rを 分 子の 自 由 度 と言 ふ の は 正確 で は たい.分. 代 りに. 備 へて ゐ る場 合 に は 氣 饅 の 比 熱 が それ を有 た な い 大 きい こ とは 良 く知 られ た 事 實 で あ る. 子が運動エ ネル ギ ーの 外 に ボ テ ン チ ア ル エ ネル ギ. ーを 持 つ場 合 に は 一 自 由度 に就 い て エ ネル ギ ーに 二 つ の平 方 項 が 加 は ろ こ とが あ る .例 へ ば ア イ ン シ ュ タイ ンに 從 つ て 固體 の 模 型 と して,各 分 子が 弾 性 的 に その 手 衛點 に結 び付 け られ て ゐ る場 合 に は ♪各 分 子 の 自 由度 は3で あ るの に,エ べ て2倍. ネル ギ ーは6ケ の 手 方の 和 とな り,比 熱 は 氣 饅 の そ れ に 較. と な る.之 れ は個体 に 關 す る ヂュロン・ブチの 法則 を表 は して ゐ る.. [量 子 効 果 コ. ヂュロ ン ・ブチ の 法 則 は 梢 ζ高 い 温 度 で は 事 實 を表 は して ゐ る が,低 温 に 行 く と す. べ て の 固 膿 の 比 熱 が 遅 か れ 速 かれ 零 に 近 づ く.之 れ は 古 典 的 考 へ を 何 とか 改 良 しな け れ ば な らな い こ と を暗 示 す る.此 の 困 難 が 最 も著 し く現 れ る の は統計 的 方法 を熱 輻 射 に 謄 用 した 場 合 で あ る.一 つ の 容 器 内 の 電 磁状態 を 考 へ るの に,そ れ を様 々 な 固有 振 動 に 分 解 して 見 る こ とが で き る.此 の 一 つ 一 つの 固 有 振動 は 力學 的 に は 夫 々或 る 週 期 の 調 和 振 予 と等 贋 で あ る.ふ や うな 電 磁 場 の熱 手 衡 の を考 へ 若 し古 典 論 が 適 用 で き る もの とす る と,一 つ 一 つ の 振 子 は エ ネル ギ ー等 分 法 則 に よつ て 状態 々τ 大 の平均 エ ネル ギ ーを もつ.と. ころ で 明か に 電磁 波 の 圃有 振 動 の 敏 は 無 限 であ るか ら,熱 輻 射. は 無 限 大 の平均 エ ネル ギ ーを 包 藏 しなけ れ ば な らな い こ と と な る.低 い 振 動 蝕 の 固有 振 動 丈 を考 へ に 入れ る と實 験 と合 ふ 熱 輻射 の スベクトル 分 解 が 得 られ る の で,人 々は 高 い 振 動 激 の と こ ろ で 何 か 困 難 が 起 ろの で あ る と考 へ て,此 の エ ネル ギ ーの 童 散 を紫 外 破 局 と唱 へ た.此 の 紫 外 破 局 を 救 つ た の が 有 名 な ブ ラ ン クの 量 子 論 で あ る.量 子 論 は統 計 力學 の 内 部 で 誕 生 し,そ の 中 で育 まれ た の であ つ た. ブ ラ ン クの 量 子 論 は 或 る 意 味 で 高 い振 動 籔 の 固 有 振 動 が 自 由 に働 くこ と を 禁 止す ろ もの であ ろ と言 へ る ・ と ころ が 此 の 稀の 禁 止 は古 典的 統 計 力學 が 最 も域 功 した と思 は れ る氣 盤 分 子の 場 合 で も.
(10) に 暗黙 裡 に 偶 定 され てゐ た の で あ る.例 へ ば 我 々は上 に 軍 原 子 分 子 は 廻 轄の 自 由 を持 た ない と し た.之 れ は 實 際 原 子が 質點 で あ れ ば許 され る候 定 で あ ら うが 事 實 に 於 い て原 予 は 有 限の 半 程 を もつ て ゐ るdO‑Scmの. 程 度、.た とへ 原 子 が 球状 で あ つ て も原 子が 夫 自身 の 周り に 廻 韓 す る と云 ふ こ と. は 考 へ られ ろ こ とで あつ て,ど. う して 之れ が 捨 て る こ とが で きた の で あ ら うか ・ こゝ に確 か に 量 子. 論 的 禁 止 が 行 はれ て ゐ ろの であ ろ. 量 子 論 の 齎 した 憂 改の 直 観 的 内 容 は 不 確 定 性 原 理 で 設 明 で き る.此 の 原 理 は 良 く知 られ て ゐ るや うに,粒 子 波 動 の 二 元 性 の た めに 粒 予 像 の 色 々 な概 念 に対する 制 限 を 言 ひ 表 は す もの であ る ・之 れ に よれ ば,例 へ ば 分 子 の 位 置 と運 動 量 と を同 時 的 に 確 定 す る こ とは 原理 上 不 可 能 であ つ て,位 置 座 ・ 標xと. その 方 向の 運 動 量 威分Pと. は(夫 々軍 掲 に は確 定 櫨 を 賦與 す ろ こ とが で き るの に 係 は らず),. それ を同 時 的 に使 ふ た めに は それ ぞれ 公 差dx,dPを. 與 へ て 置 か な けれ ば な らない. 此の二つの 公. 差の間 には. な る關 係が あ ろ. こ ゝにhは. プ ラ ン クの 作 用 量 子 で6.6×10‑27ergβec.の. は こ の 制 限 は 省 略 で き る が,分. 子 原 子 級 の 粒 子 の 運 動 に対して. 値 を もつ ・ 勿 論 粗 親 的 に. は 此 の制 限 が 物 を云 ひ だ す ・. 不 確 定 性 原 理 の 結 果 と して 第 一 に 或 種 の 量 の 不連続 性 が 現 れ て く る ・ そ の 例 と して 調 和 振 子 の エ ネル ギ ー ・ 一 一を と ら う.一 位 置 で はxに. つ の 分 子 が 或 ろ 平 衡 鐵x=Oに. 弾 性 的 に 引 き つ け られ て ゐ て,從. 比 例 す る 位 置 エ ネ ル ギ ー を 持 つ て ゐ ると す る運動. つ てxなる. エ ネル ギ ー と併 せ て 分 子 の全 エ ネ. ル ギ ーを. と す る 、111:質. 量,y:振. 子 の 振 動1.今. ば 勿 論 之 れ はP=O,x=O.即. 特 に 振 子 の 最 低 の エ ネル ギ ー を 求 め よ う・古 典 論 に よれ. ち 分 子 が 原 鍋 に 静 止 して ゐ る 時 に 實 現 され,そ. の 時E=Oで. れ ど も 量 子 論 で は 不 確 定 性 の た め に 分 子 を 原 職 に 静 止 さ せ ろ こ と が で き な い か ら,最 ー も必 然 零 で あ ろ こ と が で き な い.最 う な 計 算 を して 見 よ う.Pもxも Jxを. 代 入 す る.す. 低 のエ. ネル ギ ー を 求 め る た め{多. 問 題 の 最 も簡単 な 例 題 で,Eの. 低 の エ ネル ギ. 少 説 捧 で は あ る が） 次 の や. 平 均 値 が 零 で あ る こ と を 豫 想 して,k20)の. る と 問 題 は 制 限t19、 の 下 に(20)を. あ る ・け. 中 へPにdP・xに. 最 小 に す る こ と と な る が,之. れ は最 大 最 小. 二 つ の 項 の 値 が 等 し く な る と き に 實 現 され る 殖i積 を 與 へ て 矩 形 の ●. 周邊 を 最 小 とす る 問 題}.そ れ で直 ち に. な る 最 小 値 を うる.之. は振 子 の 零. エ ネル ギ ー と呼ば れ る もの で あ る(勿 論 此 の 種 の 議 論 で は 物 の. 大 き さの 程 度 丈 が 問 題 とな る の で(21） 式 で 正 しい. と云 ふ 因数 が 得 られ たの は 箏 ろ 偶 然 であ る、・. ̲般 に 粒 子僚 を使 ふ 限 りは 或 る エ ネル ギ ーの 値 に は そ の雨 側 に(21） で 與 へ られ る不 確 定 が 残 さ れ て ゐ る と しな けれ ば な らな い.然 る に量 子 論 で は或 る唯 一 つ の 量 の み を 考 察 す る 時 に は そ の 量 が い く樋. も正確 に 定 まり 得 るもの とするから・例 へ ば 座標 の 正確度を 犠 牲 に すれ運. 動量は い くら.
(11) で も正 確 に 定 め られ る),エ ネル ギ ーの 或 る 値(固 有 値 と云 は れる） は 正 確 に 與 へ うろ 筈 てあ ろ・ 今 上 に 云 つ た こ と と此の こ と を爾 立 させ る た めに は エ ネル ギ ーの固有値は な つ て ゐ る と しな けれ ば な ら な い.若. の 程 度 丈 離れ ば なれ に. しそ うで な けれ ば上 に 述 べ た 不 確 定 性 を 超 え て 二つ の エ ネル. ギ ーの 値 が 制 然区 別 しうる こ と とな る か らで あ ろ.以 上 は 物 の 程 度 丈 を 輿へ る論 であ ろが,正 確 な 理 論(量 子 力學)に よれ ば 實 際 エ ネル ギ ーの 固有 値 は 丁 度 加 丈 の 聞 隔 で 不連続 的 な もの で あ る こ とが 知 られ る.調 和 振 子 の エ ネル ギ ーの 固有 値 は. で あ る.. '統 計 力學 に とつ て 大 切 な 第 二 の 量 子 効 果 は 分 子 の 灘. であ る. ,二 つ の 同 じ種 類 の 分 子 は どん な. 物 理 的 手 段 に よつ て も区 別 で きな い と す るの が 原 子 論 の 立 場 で あ る.二 人 の 人間 が 似 て ゐ る と云 ふ 程 度 の 相 似 で は な くて,全. く区別 の で きな い 相 等 性 で あ る.併. し此 の 事 情 は 古 典 的 で もあつ た こ と. であ つ て,量 子 論 に 固 有 な こ と では ない.此 の 相 等 性 に も係 は らず 古 典 論 で分 子の 個 性 を 認 めた の は 何 故 で あ る か と云 へ ば,そ れ は 我 々が 分 子 の運動 を 時 室 的 に 追 跡 す る こ とが で きた か ら であ る. 右 側 の 孔 と左側 の 孔 とか ら出 て きた 二 つの 同 種 の 分 子 が 複 雑 な運 動 を 行 つ た 後 で,そ の 最 後 の 分 子 の 配 置 を見 せ られ た 丈 で は,我. 々は 何れ の 分 子 が 右 側 か ら 出て きた もの で あ る か を判 定 す る こ とが. で き ない.け れ ど も我 々は 分 子 の 全運 動 を 追 跡 す る こ とに よつ て 最 後 の 配 置 に 於け る分 子の 個 性 を そ の 歴 史 を湖 つ て 判 定 す る こ とが で き る. と こ ろが 宛 か も此 の點 が 量 子論 で は 不 可能 と な る.不 確 定 性原 理 に よつ て 我 々の 時 室 描 窮 は 制 限 を受 け る.我 々 は 分 子 の 軌 道 を精 々或 る 有 限 の 権 の 管 と して 表 象 す る外 は ない.す. る と二 つ の 分 子. が 充 分 接 近 して 後 離れ た 場合 に は,そ の 管 の 交 りの點 で二 つの 分 子 が 入れ 換 つ た か ど うか を 原 理 的 に 判 定 す る こ とが で きない.量 子 論 で は分 子の 個 性 を認 め る こ とが 全 然 で きな くな るの で あ る. 分 子 の 個 性 の 喪 失 は 統 計 に と つ て 重 大 な 意 味 を もつ.今. 二 つ の 箱(状 態 を意 味 す る)に 二 つ の 同. 種 分 子 を配 置 す るの に古 典 論 で は. な る 四 種 類 の 仕 方が あ ゆ,之 れ らは 統 計 重 み を夫 々等 しく とつ た の であ る.け れ ど も分 子の 個 性 が な くな る と(白 黒の区 別 が な くな る と)中 の 二 つ は区 別 が で き ない か ら,我 々に は 三 つ の 配 置 しか 'ない こ と とな る :'. そ して この 三 つ の 状 態 が 等 しい 重 み で数 へ られ る こ と と な る.か. ゝる種類 の 銃 計 法 を ボ ー ズ・ア ィ. ン シ ュタイ ンの 統 計 法 と 呼 ぶ. けれ ど も電 子 とか 陽 子 に対して は か ゝる 統 計 法 も許 され な いの で あ つ て,此 の 種 の 粒 子 に対して は 「同 一の 斌 態 に は 二 ケ以 上 の 粒 子 が 入 れ ない 」 と云 ふ パ ウ リの 禁 制 が 成 立 つ.そ. こ で,我 々 に は.
(12) な ろ唯 一 つの 可 能 性の み が 痩 され ろ.之 れ を フ ェル ミ・ギ ラ ッ クの 統 計 法 と云 ふ. ボ ー ズに して もフ エル ミに して も量 子 的統 計 法 は 古 典 的 統 計 に 比 して 配 置の 可 能 性 を 著 し く減 ず る もの であ ろ こ とを注 意 す る.そ れ か ら 叉,ボ ー ズ統 計 で は 同 一状態 に 二分 子 が あ る確率 が 古 典 統 計 に較 べ て 重 くみ て あ る か ら,結 果か ら 見て 宛か も二分 子の 間 に 引 力が 働 い て ゐ る かの や うに 見 え ろ.之 れ に反 して フ ェル ミ統 計 で は 二分 子 は 同 一欺 態 に 入れ な い の で あ るか ら,強 い 斥 力が働 い て ゐ るの で あ る と考 へて 見 る こ と もで きよ う.何 れ に して も量 子統 計 で は古 典統 計 に 於 け る独立 の 假 定 が 破れ る,實 際 力學的 な 力は働 い て ゐ ない の に も係 は らず,外 見 上の 力が 存在 して前 に述 べ た や うな合 放の 方 法 ② が 使 へ な くな る。け れ ど も普通 の 氣農 の 場 合の や うな もの で は 量 子 統 計 に よ る 改 墾 は 鹸 り重要 な意 味 を もた な い.そ れ は,状 態 の 蝕 に較 べ て 粒 子の 数 が 甚 し く小 さけ れ ば,同. 一. 状 態 に 粒 子が 這 入つ て くる場 合 と云 ふ もの は小 さな確率 しか 持 た な い か らで あ る・ 量 子 統 計 が 實 際 問 題 に 数 き出 す の は 粒 子 の 密 度 帽空間 での)が 甚 し く大 き くなつ て 同 一状態 に 粒 子 が 多 く這 入つ て くる確 率の 増 した と きで あ る. 〔エ ネ ル ギ ー固 有 値 の 不連続 性 の結 果]エ い温 度 で は 余り 問 題 に な らない. ネル ギ ー 固有 値 が 不連続 なた め に 起 る 量 子 効 果 も,高. 高 い温 度 で は分 子 の もつ平 均 エ ネル ギ ーが 大 き く・分 子 に よつ て. 占 め られ て ゐ る エ ネル ギ ー準 位の 数 は 大 き くな つ て ゐ る.す る と物 理 的 に 見 て,エ 績 で あ る こ とが 殆 ん ど隠 され て しま ふ か らで あ る.併. ネル ギ ーが 不連. し低 い温 度 に な る とす べ て の 分 子 は 低 い エ ネ. ル ギ ー固 有 値の状 態 に の み 集 つ て くる.そ こ では エ ネル ギ ーの 不連続 性 が 物 を言 ひだ す こ とが 豫 想 され る.撮 て 我 々は 前 に 比 熱 は 一分 子の エ ネル ギ ーの 遙 ら ぎ に 比 例 す る こ とを 知 つ た(此 の 式 を出 す の に は 別 にエ ネル ギ ーの連続 性 を假 定 して ゐ ない.そ の た めに スチ エ ル チ エ スの 積 分 を使 つて 雨 方の 場 合 を 包 容 で きる や うに した の で あ る.併. し統 計 法 は 占典 的 で あ る.エ ネル ギ ーは 一致 して ゐ. て も他の 性質 で異 つ て ゐ る 状 態 が 多 い場 合 に は 之 れ が 許 され る).低温. 度 で 殆 ど分 子 が 最低 エ ネル. ギ ーの 欺 態 に あ る時 に は分 子の エ ネル ギ ーの 遙 らぎ は當 然甚 だ 小 さい.一 つ 上 の エ ネル ギ ー準 位 に 飛 上 る確 率 は甚 だ 小 さい(ボ ル ツ マ ンの 因子 す る 〕か らであ ろ.そ. を想 起 され よ.低 温 度T〜0と. は β〜 。。 を意 味. こ で 我 々は 低 温 慶 では 一 般 に比 熱 が 減 少 す る もの で あ る こ と を豫 想 で きる.. と ころ が 之 れ は 丁 度 固體 の 比熱 に 關 す る 實 験 事 實 で あ る. 此 の こ と を 式の 上 で確 め るた めに,調 和 振 子の 例 を 採 ら う.量 子 論 で その エ ネ ル ギ ーが 不 連続 に な る こ と を 見て きた{式(22そ 子. こ で 積 分 は 之れ らの 不連続 な エ ネル ギ ー値 に樹 す る ボ ル ツマ ン因. 和の 形 に な る(こ ゝでは ブ ラ ン クの状 態 和 と云 ふ 名前 が 適 當 に な る)・ 併 し此 の 因数 に か. ゝるべ き係 数,エ ネル ギ ー 瓦 の 欺 態の 重 み に つ い て は ま だ 我 々 は何 も知 らない 'め に次 の や うな封 塵原 理 的 考 察 を 行つ て み よ う . 古 典 力學 での 相空間(今 中に,エ. の 場 合 自 由度 は 一 つ で,飾. 之 れ を定 め る た. 座標 と,ρ一運 動 量 との 定 め る雫 面 で あ る)の. ネル ギ ー=、 臥 な る 曲 線 群 を描 い て み る.之 れ は 砦相 似 な擶 圓 で あ る.二 つ の 鮪 圓 に 挾 ま. れ た 環 歌 部 分 屯 面積 を 計 算 す る と・.
(13) で あ る.こ. れ を 例 へ ば 内 側 ハ 橘 圓 を 表 は す エ ネル ギ ー固 有 値 の 領 分 で あ る と す る ・ す ろ と す べ て う. エ ネ ル ギ ー固 有値 の 領 分 は 全 部hに 鐙積. 等 しい と云 ふ こ と に な る.と. 、 今 の 場 合 面 績 ∫は 等 しい ア プ リ オ リ 確 率 を もつ と した.此. こ ろ で 古 典 論 で は 相 室 聞 の 等 しい の 事 情 は 振 子 」洛. ∴ ネ':≒￡‑i現 有. 値 の 相 封 的 ア プ リ オ リ確率 を 全 部 等 しい と置 く べ き こ と を 示 唆 す る 一 一此 の 結 果 は もつ と 一 般 に も 威 立 つ こ と で,我. 々 は 「単純 な 量 子状態 は 一 般 に す べ て 等 しい ア プ リ オ リ確 率 を もつ 」 と要 請 す る. こ と が で き る. 撮 て 上 の 事 を 承 認 す れ ば,量. 子 論 での 振 子 の 相 積分 は. と な る 。 ブ ラ ン クの 常数 が 充 分 小 さ い と 考 へ られ る 場 合(即 度 の 場 合 に は,1:.Pl>。 。11β と な つ て 古 典 論 と 一 致 す る.(23)か. 比 熱 を 表 は す函 蝕 はTの hv〜kTの. 函 数 と して,T〜0で. 邊 か ら,古 典的 の 値kに. ちh《1/レ. β=々77レ),換. 言すれば高温. ら エ ネ ル ギ ー と熱 容 量 を 求 め る と. は 極 めて 小 さ く,Tと. と もに 急激 に 上 昇 して,. 飽和 す る.之 れ で 我 々 は 比 熟 が 高温 では 古 典的 な 常 数 値 を と. り,低 温 で零 とな る こ と を 示 し得 た わ け であ る. 高温 低温 は 勿論 比 較 上 の 言 葉 で あ る.今 の 場 合 で は温 度の 高 低 は 加 偽 を基 準 と して 云 ふ.そ で 充 分 振 動 数 の 高 い 覗 く結 合 され た)振 子 では,我. れ. 々が 常温 と 稔 す る もの で も低 温 で あ る し,振. 動 数 の 低 い もの で は 逆の 事 情 と な る.此 の 事 情 が 熱 輻 射 の 紫 外 破 局 を 救ふ もの で あ る.普 通 可観 光 線 の 振 動 勤 こ対して は 一 萬 度 が 温 度 の 高 低 の 基 準 に な る.常 温 で は 可 親 光線 以 上 の 振動 轍 の 電 磁 波 は 著 しや 量 子効 果 を受 け て 殆 ん ど 働 起 され て ゐ ない. 前 の 言 葉 で云 へば 殆 ん ど禁 止 され せ ゐ ろ の で. あ る.實 際 此 の 紫 外 破 局 を救 つ た ブ ラン クの 輻 射 公 式 は,丸24)に 軍 に 〜 レ,レ+dpl}の 聞 に あ ろ 固有 振動 の 数8πv2dVi'̀「'を掛け さへ すれ ば 得 られ るの で あ るk尤 も零點 エ ネ2Lギ ー 加2は ね ば な ら ない.エ. 除 いて置か. ネル ギ ーは も と もと附 加 常 数 ま で しか 定 つ て ゐ ない か ら之れ を除 くこ とは理 論 上. の 訣 陥 で は な い).' 同 様 に 我 々は 何 故 軍 原子 分 子 の 廻 縛 を考 へ ろ必 要 が ない か に 答 へ る こ とが で きる.一 般 に 或 る分 子 の 慣 性 能 率 を1と す る と,廻 轄 運 動 に対する 量 子効 果の 有 無 は. な る温 度 の 基 準 で 定 ま る.宛 か も輕 い 極 徴 粒 子 に劉 して の み 量 子 力學 が 働 きだ す と同様 に,慣 性 能 率 の 小 さい,廻. り易い もの 程 量 子効 果 が 強 く,蓮 説 的 で は あ るが,廻 つ て ゐ な い こ とが 確 か と な る. 二 原 子 分 子 で も輕 い 原 子か らで きて ゐ る もの で は 。 例 へ ば 水 素 分 子H2で 慰 士、,で 量 子 効 果が 表 はれ 始 め る.併. は 比較 的 高 い 濫 度(80度. しその 他 の 二 原 子秀 子 で ぱ 大體 古 典 的 に 取 扱 つ て 差 支へ な.
(14) い.之 れ に反 して 多原 了・ 分 子の 振 動 は 大抵 量 子的 に禁止 され て ゐ う もの ξあ る. 量 子統 計 法 の結 果]普. 通の 氣 饅 で は 分 子 の 密 度 が 小 さいの で,量. 子統計 [ 法 の 働 きは 見 られ な. い.然 る に 金 屡 内 に 介 在 す ろ と見 られ ろ電 子 氣 膣 に対して は 強 い 量 子 効 果が 期 待 され ろ.ヅ ル ーデ ・ レ ン ツの 古 典 的 電 子 論 は 金 属 の 諾 性 質,就. 中電 氣 傳導 度 と熱 電 導 度 とを 設 明 し得 たが ,一 つの 重ロ. 大 な矛 盾 につ き當 つた ・それ は 電丁 氣 膣 の 辻 熱 であ る.電 子 氣 盤 を古 典 的 に 取 扱 ふ 限 り電 子 氣 艘 の 比 熟 は 普 通の 氣農 ど髪 りな く312・nkで. なけ れ ば な らな い.と. こ ろ が 金 薦 は 他 の 固 謹 と 同 じや う. に ヂュロ ン・ブ チの 法則 に大體 當 て は ま り之れ は 金 属原 子 の振 動 丈 で 説 明 され る.そ れ 故,電 子 氣 盟 は 何 らか の 意 味 で量 子 的 に 禁 止 され た運 動 を示 す もの で な けれ ば な らな い.併 ギ ーの 不連続 性 で は設 明 で きた い.何. し之 れ は運動 エ ネル. となれ ば,氣體 粒 子の 並 進 運 動 を考 へ る と きの エ ネル ギ ーは. 運 動 の エ ネル ギ ーの み で,從 つ て運 動 量 丈 の 函数 で あ る ・ それ 故 それ は運 動 量 と共 に連続 的 な 値 を と り得 る か ら であ る. それ で 我 々は 電 子 の フ エ ル ミ統 計 法 が ど う現 れ るか を 調 べ な けれ ば な らな い.今 電 子 が 普 通 の 室 間"蓋. 積 〃内 に 密 度"で. 存在 す る もの とす れ ば,電 子 の糖 数 規・であ ろ.そ こで{侵に 古 典 統 計 法 が. 域立 つ もの と して ・之れ 丈の 電 子が 相空間 の どれ 丈 の 匿 積 に分 布 す ろ か を調 べ る.温 度Tの. 時,此. の 有 効 饅 積 は ボル ツ マ ン因 子 を考 へ て. であ る ・此 の體 積の 内 部 に あ る 量 子 状 態 の 数 はh3で. 割 つ て 求 め られ る(調 和 振 子 の 場 合 に 一 つ の. 量 子状態 に 面積 が対応 した の は 自 由度 の 敷 が 一 つ で あ つた か らで あ る).爾 持 つ て ゐ るか ら,す べ ての 欺 態 を二 重 に 数 へ な けれ ば な ら ない.夫. で あれ ば,即. 故 に,若. 電 子 は ス ビン 自 由度 を し. ち電 子の総数 は その 占 め る 相 容 積 内 の 量 子状態 の 敵 よ り甚 だ 小 さ くな り,相 室欄 内 の. 電 子 の 密 度 は小 さ く量 子効 果 を省 略 して よい こ と とな る.と ころ が 金 属 内 電 子 に対して 適 當 と思 は れ ろ激 値 を 入れ る と,常 温 で は寧 ろ 左邊 の 方が 右邊 の 轍 千 倍 と な ろ.我 々 は 電 予 氣 膣 に 封 じて 強度 の 量 子 効 果 を 豫 期 しな け れ ば な ら ない.常 温 は 蜘 こ電 子 氣體 に対して は 低 温 に す ぎる の であ つ て , 電 子氣 藍 は 殆 ど最低 の エ ネル ギ ー状 態 に 落 ち こん でゐ る（之れ に 反 して 個 々の 電 子 は 甑に 満 員 とな . つ た 低 い エ ネル ギ ー状態 に 這 入 ろ こ とが で きない もの が あ つ て か な り高 い エ ネル ギ ー状態 迄 分布 して ゐ る 、.その や うな事 情 の 下 で は電 子 氣體 の 比 熱 は 極 め て 小 さ く,金 蜀 の 電 子 論 の 困 難 が こ う し 'て 除 か れ るで あ ら う との 想 像 が つ く. フ ユル ミ統 計法 を實 際 ど う途 行 す るか を簡単 に 示 さ う.こ. ゝで は 古 典 的 合 域 法 は 役 立 た な い の で. あ る か ら,一 ケ電 子 の 相 積 分 を 作 つ て も π ケの 電 子の 系の 相 積分 を勘 定 す るの に は 不 用で あ る.そ れ で始めか ら 解 ケの 電 子 を相 手 と す る.一 ' と す る ・ 今nケ 硫=1,2,…. ケ電 子 の と り得 る エ ネル ギ ー固 有 値 をE,.(k=1,2,…). の 電 子 を 之 ら の 状 態 へ 配 布 す る 一 つ の 仕 方 を,0又. … ノ を導 入 して. は1な. る 値 を と ろ 補 助 の 数nx..
(15) に 依 つ て 表 現 す る.我 問 題 に な ら ず,唯. 々は 電 子の 個 性 を認 めな い か ら,何 れ の状 態 へ 何 れの 電 子が と云 ふ こ とは. ζ何 れ の状態 が 一 つ の 電 子 で 占 め られ て ゐ ろ か を 示 す丈 で全 電 子 系の 蝦 態 が定 ま. る ・ そ れ で 一 組 の{nk・}に は 全 系の 一 つ の単純 な状態 が対応 す ろ.そ れ で,全 電 了系の 組 積 分 は. で あ る ・ こ ゝにnkは(28)を る た め に,我. 満 す ず べ て の{ns}に. 就 い て と る べ き もの で あ ろ .此. の 和 を総和 す. 々 は 再 び 母 函 .数の 方 法 を 採 用 して,. κ. な ろ 「大 きい 相 積分 」 を 導 入 す る.此 の 和 で は 撫 は 掲 立 で あ るか ら,容 易に 繕 和 され て. と な る ・ 元 來 我 々の 望 ん だ π ケの 電 子 の 柏 横 分 は こ の 函 蚤 の. λ̀の 係 蝕 と して 選 び 出 され る: 、. ボ ー ズの 統 計 法 で も殆 ど 同 じ こ と が 言 へ ろ ・ 上 の 論 で 唯e各 を と り得 る もの と す れ ば 良 い.す. のtlkが0. ,1,2,…. … の 無 限 ケの 値. ろ と 「大 き い 相 積 分 」 は. と な る. 粒 子 の 線 数 が 甚 だ 大 き い 場 合 に は,こ. う し て 導 入 した 補 助函数. と 補 助 墜 敏 は 凋 立 した 物 理 的 意 義. を 獲 得 す る ・ 丁 度 與 へ られ た エ ネル ギ ー と パ ラ メ タ β と が くIO)な る 關 係 に あ る や う に,與. へ られ. た 粒 子数 と パ ラ メ タ λ と の 間 に は. な る 關 係 が つ け られ る ・此 の 關 係 で 計 算 した λの 値 を代 入 すれ ば,・大 きい 相 積 分 君 β,ゐ は 全 く普 通 の 相 積,S‑A('β)の 代 用 と な る.' (30r')の 封 数 を と り,粒. 子 の 勲 〃 と平 均 エ ネル ギ ー を 書 き 下 して しま ふ と. 之 れ か ら ・ パ ラ メ タ スが 小 さい 時,如. 何 に フ ェ ル ミ統 計 が 古 典 統 言十に 近 づ くか ,叉. 古 典就計の ボ. ル ツ マ ン 因 子 が 何 で 置 換 へ られ る か が 判 ろ ・ λは 古 典 読 引・ と の 差 違 を 表 現 す る もの と して ,轡 ラ メ タ と 唱 へ ら れ る.も. つ と 良 い 名 は化 學ポテンシアル. 退 パ. であ る.. 改 め られ た ボ ル ツ マ ン因 子 は λが11妄だ 大 き ければ 低 い エ ネル ギ ー 岡 有 値Eゐ. に 封Lて. 殆 ど 常 数1. ,.
(16) 'f"'ゐ7rogλ. を 超 え る エ ネル ギ ー 固有 値に 劉 して は 念 激 に 減 少 す る.之 れ は 電 子 が 低 い エ ネ,しギ. ー欺 態 へ 順 々に 註 め込 まれ て ゐ る こ と を 表 は して ゐ ろ.'.33,式. を 氣 彊 に対して 雁 用 すれ ば 金 属 内. 電 〕珠 縫 の 比熱 の 問 題 は 完全 に 解 か れ ろの であ るが,式 が 複 雑 とな ろか ら省 略 す る. [言 ひ残 した こ と]本. 稿 は 統 計 力學 の 廣汎 な応用 を述 べ るの が 目的 で な い.併. し表 題 の 基 礎 と云. ふ 交字 で 示 され る事 柄 で賜 れ 得 な か つ た こ とが 澤 山 あ る.そ の 第 一 は 量 子 力學 そ の もの に 於 け る統 計 的 要 素 の こ とで あ る.統 計 的変換 論 とか,遷 移 確立 とか,波 動 函数 とか,統 計的 演 算 子 どか,す べ て 最 も基 礎 的 な問 題 であ る.併. し之 れ は 所 謂統計 とは 直 接 翻 係 が ない.・普通 の統 計 と量 子 力學 内. の 読 計 とを 融合 す るの に は ノイマ ンの 混 合 猷 態 の 理 論,密 度 行 列の 椴 念 な どが 必 要 とな る.今. まで. 述 べ て きた の ぱ す べ て エ ネル ギ ーに 關 す る統 計 であ つ たが,他 の 物 理 量 に も眼 を付 け て統 計 を と る に は,密 度 行 列の 方法 を採 用 しな けれ ば な ら な い.最 後 の 節 で蓮 べ て 不 定 粒子 数 の 方法 は場 の 量 子 力學 に 於け る再 度 量 子 化 の 方 法 と密 接 な 關 係が あ る.そ れ か ら,量 子 力學 に 於 け る エ ル ゴ ー ド問 題 断 熱 定 理 等 に も瞳 れ 得 なか つ た. [將 來 の 問題:す. べ て 之 らの 原 理 上 の 問 題 は 大體 片 が つ い て ゐ る.す くな く も既 に物 理 學 者 の 關 ・. 心 を離 れ て しま つた ・ とこ ろ が 實 際 問 題 で は 無数 の 問題 が残 され て ゐ ろ.勿 論 之 れ に は 掲 り統 計 力 學 の 問 題 で は な くて,物 理 學 あ あ らゆ る部 門 が 参 加 しな けれ ば な らない もの が あ るが,今 ま で成 功 した 統 計 力學 の応用 例 は 殆 ど全 部 が,相 互作 用 の 小 さい 力學 の単 位 に 物 質 が 別 け られ る場 合 の み で あ つ た.此 の単位 は 氣體 の 場 合 は 分 子 であ り,固 膣 の 場 合 に は 振 動 の 基 準 型 で あ る.そ 化 の 旨 くい か な い 液體 の 理 論 は 從 つ て 頗 る不 完 全 で あ つ て,液體D構. う云 ふ理 想. 造 に 就 いて モデ ル を使 つ て 二. 三 の 現 象 の 相 關 關 係 を樹 て る の が 止 ま りであ る.一 般 に 相 互 作 用 の 強 い 力學単 位 の 集 りで は,特 異 な 協同 現 象 が 起 る 可 能 性 が あ る.固體 か ら液 膣 へ の 遷 移即 ち 融 解 の 現象 が そ の代 表 的 な もの で あ る. 之 れ に対する 非 當 に 良 い理 論 と云 ふ もの は な い.協 同現 象 の 一 つ であ ろ合 金 の 秩 序 無 秩 序 の 問 題 は 流 行問 題 で あ るが,現 在 ま での 虞理 法 は,定 性 的 な もの で定 量 的 な もの に なつ て ゐ な い 憾 みが あ る. 併 しカ.ゝろ 協 同現 象の や うな もの,又 他 の 多 くの現 象 で 實験 家 の 眺 めて ゐ る もの は 必 ず し も理 論 家の 最 大前 提,即 ち 雫 衛の 條件 を満 して ゐ な いやう で あ る.統 計 力學 もそ ろ そろ平 衡 論 を脱 して 楡 途 現 象 な ど と言 はれ る領 域へ 踏 み こ ま な い と,平 衡状 態 の理 論 そ の もの が 完成 しな い の で は ない か と云 ふ 感 が あ る..
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