プ 、 ラ ウ ワ ー 論 理 (35)
ブ ラ ウ フ ー 論 理
武 隈 良 .一
1.排 中 律 の 拒 否 ll.Hey七ingの 公 理 皿.束 論 的 基 礎 付 け W・ 古 典 論 理 と 直 観 論 理.
V.直 観 論 理 と 三 値 論 理 W.Wey1の 所 見
1.排 中 律 の 拒 否
周 知 の 如 く論 理 学 に は 三 つ の 根 本 法 則 が あ る 。工 同 一 律,∬ ・矛 盾 律,nl.
排 中 律 が そ れ で あ る。 ヒ れ を読 明 す れ ば 1.aはaで あ る 。
耳 ・「aはbで あ る 」 と 「aは非bで あ る 」 とは 同 時 に 成 立 し なVO。
皿 「aはbで ある 」 と 「aは非bで あ る」と は い 棟 か 一 方 が 必 微 立 す る 。.
と な るが,こ の うち皿 の 排 峰 姫 否 す る もの が プ ラ ウ ワ ー論 理 で あ る 。 和 蘭 の 敏 学 者 ブ ラ ウ ワ ー(L.E.」.Brouwer1881年 生)に よれ ぼ 有 限 個 の もの を取 扱 う場 合 に は疑 も な く排 中律 は 適 用 され るが,無 限 に 多 くの もの を取 扱 う際 に は 無 批 莉 に これ を適 用 す る こ と は危 瞼 で あ る とい う。
例 えぱ い ま 自然 数 の 或 性 質 をEと し,こ の性 質 に封 して 「性 質Eを 有 す る 自然 口 敏 は 存 在 す
るや 」 と い う問 を提 出 して み よ う 。 この と き次 の 答 が 可 能 で あ る。
戴
1:性 質Rを 有 す る 自然 敏nが 存 在 す る こ との 讃 明,叉 は何 ん らか の 方 法 で th>Sるnが 一 つ で も真 盤 的 に 見 出 され る こ と,が 出 來 た と き この 間 は肯 定 的 の '答 を 有 す る
。
(36)人 丈 研 究 第 六 輯
2.如 何 な る自然 歎nも 性 質Eを 有 しなVbこ とが護 明 され た と き、この 問 は否 定 的 の答 を有 す る。
ごの二 つ の場 合 の何 れ もが 起 らない場合,即 ちEを 有 ず るnの 存 在す る こと も存 在 しな い こ と も確 認 で き なV・場 合で も,從 來 な らげ 「性 質Eを 有 す る 自然 敏nは 存 在す るか,或 は全 然 存在 しなV・か,の 二 つ の場 合 だ 分 で その 他 の場 合 は
な い 」 とす るので あ るが これ即 ち排 中律 で あ る。
然 るに ブ ジ ウワ ー一 派 の 直 観主義 者 は どれ を速断 な ひと し次 の第 三 の場 合 を主 張 す るので あ る。
3.性 質Eを 有 す る自然 数 の存 在 叉 は非 存 在 が確 認 され な い と き・ この 問 は 解 決 され な い即 ち排 中律 は威立 しな い。 ・
き
そ して性 質Eを 有 す る 自然 敷nが 實際 に見 出 され るか 叉 はか 」る 自 然 数 を
め
へ し
構 成す る方法 が 與 え られ なけれ ば 肯 定 的 の 答 が で ぎない とい うの で あ る。つ ま り有 限 個 の 自然 数 な らば 性 質Eを 有 す るか否 か は實際 に榔 登で き るので差 支 え なv・が,自 然数 全膿 となれ ば 無 限個 にな るの で それ を一 々槍 誰 す る ことは不 可 能 なの で,性 質Eを 有 す る 自然 藪 を構 成 す る方 法 を要 求 す るの で あ る 。'
この 要求 に封 して一 慮 次 の如 く言 うこ ζは 出來 る二 「無 限 個 の 自然 数で あ つ て も これ を検 誰 す れ ば,性 質Eを 有 す るか 否 かの 二 つ の場 合 しか起 らないで は な いか 」 と。然 しこれ に饗 して 直観 主義 者 は 「排 中律 が 有 限 無限 を問 わ す如 何 なる 場 合 に も絶i封に安 當 な らば それで よv・が ・排 中律 が 絶 甥妥 當 性 を有 す る
こ とが如 何 に して分 るか 」 丑反駁 し,排 中律の 絶 蜀安 當性 を疑 う権 利 が あ る と 主 張 す るの で あ る。
以 上 を約 言 すれば,構 成 す る方 法 が 與 え られ ない場 合 に は排 中律 は認 め ら れ な い とい うこ とに な る。かLる 意 味 で排 中律 を拒 否 しよ うとす るめ が ブ ラウ ワ 疎論 理 で あ る、
ブ ラウ ワ ー以苅 に も自然 科 学方 面 に 於 て排 中律 の絶 樹安 當 性 を疑 つ た人 は 古 くに あつ た 。哲 入 エ ピ ク ロス の 高 弟 の 一 人 が 師 に 問 うて 曰 く,「 私 か ら見 れ ば,友 人 ヘ ル シ ア スは 明 日 も 生 きて い るか,或 は 生 き て い な"か の 何 れ か で あ ら う と思 わ れ ま す 。 その 上 この 命 題 は 正 しv・ば か りで な く,ま た 必 然 的 で あ る
プ ラ ウ ワPt論 理(37)
と主 張 した い の で ござ い ま す が 」 と6こ れ に 封 して エ ピク ロ スの 答 は意 外 も,
「否,私 は その 二 つ の 何 れ を も承 認 し な い 。 何 故 な らば,も し二 つ の 中 の 一 つ が 必 然 的 で あ こ とを 許 容 す る な らば,明 日 ヘ ル シ ア ス は 生 きて い るか,生 きて い な い か の 何 れ か で あ る,と い うこ とが 必 然 的 と な る 。然 しな が ら.自然 の 中 に は かL・ る必 然 性 は な い 」 と い うた との こ とで あ る 。 この 哲 人 の この 言 葉 は嘉 者
コ
を して 驚 きの 飴 り一 時 唖然 た ら しめた ので ある。(7)ee
それ て さて お き,無 限 を取扱 う数 学 に於 て排 申律 を拒 否す る とい うこ とに なれ ば 在來 の敏 学 は著 し く危 機 に瀕 んす るの で あ る。 とい うの は敏 学の 讃 明に 於 て排 中律 の 適 用 を制 限す る こ とに な れば,こ れ まで に得 られた 貴重 な定 理 の うち,不 確 實 で あ る と して打 棄 てなけ れば な らぬ も￠)が敏 多 く出て くるか らで
ノ オ
あ る。 「我 々は我 々の最 も貴 重 な寳 の 大 部分 を失 わ うとす る危 瞼 に 瀕 して い る 」と ヒル ベ ル トの 警 告が 稜 せ られ た 由因 で あ る。
この ブ ラ ウワ ーの革 命 た封 して,数 学 の再 建 が ブ ラうワ ー 自身 並 び に ヒル ベ ル ト等 に よつ て企 て られ,敏 学基礎 論 は華 々 し く展 開 され たの で あ る炉 それ
らの 記 述 は 本 稿 の 意 圖 す る虚 で は な い 。(8)
RusseU④ 論 琿 圭 義 に 封 立 す るBrouwerの 直 観 主 義,加 う るにEilber七 の 公 理 主 義 とい つ た もの が 今 世 紀 の 初 頭 か ら互 に 論 職 を 豪 えた の で あ る6
Rrusse11の 古 典 論 理 に 樹 して ブ ラ ウ ワt‑・・論 理 は やN廣 い立 場 を と る もの で あ り直 観 主 義 にな ぞ ら えズ これ を 直 観 論 理 とよ ぶ こ とが あ る 。
排 中律 の 拒 否 か ら起 つ た 敏 学 基 礎 論 の 問 題,そ して 古 典 論 理 の 再 反 省 と そ の 援 張,等 々問 題 は 際 限 な く繰 展 げ ら れ る 。 こ れ ら に 關 す る文 献 を 掲 げ る こ と は 汗 牛 充 錬たy・ な らざ る もの が あ るが,こLで は次 の 興 味 深 》・(1)(4)(5)(6) (9)(10)(13)(14)(29)な る もの の あ る こ と丈 を注 意 して お こ う 。
1[.Heytingの 公 理
ブ ラ ウ ワ ・…論 理 をHey七ingの 論 文 に よ つ て 述 べ て み よ う 。 これ は 正ley七ingの 原 著 「直 観 論 理 の 式 珠 則 」(28)に よ る もの で あ る・
榮 括 孤 内の番號 に後 揚文 献 の番號 を示 す◎
(38)人 丈 研 究 第 六 輯
先 す(}livenko(26,が 謹 明 した よ うに,ブ ラ ウ ワ ー一論 理 は次 の 二 性 質 の 意 味 に於 て 完 全 で あ る。
1・ 定 理aが 古 典 論 理 に 於 て 鐙 明 可 能 な らぽ,「aは{爲 と は な り得 なvottVo
ぴ
う定 理 が ブ ラ ウ ワ ー論 理 に 於 て 成 立 す る 。
2・ 定 理 「aは 儒 で あ る」 が 声 典 論 理 に於 て 詮 明 可 能 な らば,そ れ は ブ ラ ウ ワ ー論 理 に 於 て も成 立 す る。
・こLで 以 下 に 用 い る記 號 を 読 明 して お こ う。
a⊃b,a,な ら ば 『bな り
a'〈bJa且 ρb
な
a>b,'a叉 はb
「a,aな ら す(非aり
トp,pは 眞 で あ る
ま た 例 え ば 簡vaの た め にFp⊃ 卜liEか く ご とが あ る が ・ これ はrEip且 つ . 卜P⊃qな らば トq:な り」 を意 味 す る 。"
古 典 論 理 に於 て は ⊃,〈,〉,「 は 互 に他 の もの に よ つ て 表 わ され る が ・直
し
観 論 理 に於 て は これ は不 可能 で あ る。また 直観 論 理 に於 て は次 の 定 理 は 正 しい が ∴ その 逆 は全 部 誰 明 不 可能 で あ る。
4.46。
4.9.
4.47.
4.91.
3.6.
4.92。
卜 ●「a>『b⊃ ・a⊃b 卜 ・a⊃b● ⊃ 「(a〈‑lb) 卜 ・a>b⊃ ・「a⊃b
卜・a,>b⊃ 「(コ 昂バ]b) 卜:a>b⊃:al⊃b● ⊃b ト・a,Ab⊃ 「(「a,入 「b)
さて こ韓 殖 繍 理 孫 統的 越 べ るζ と ≒しよ う・
,1.1.眞 な る 式 の 表(die1コis加der"rich七igqnFormeln")に 属 す る 式 に 劉 し て は トを つ け る 。 ま た 式 が 公 理 な る と き ・即 ち 何 ん と し て も(willktirlich) 眞 で あ る と み な 陣 る と き ・ 灘 トを 二 度 つ け る'こ と に す る ・
1s2.aとbが 虞 な る 式 な らばa〈bも 眞 な る式 で あ る6
『オ 亨 ウ'・ ド 論1埋
..層 』』(39・)一' 1.3iaと めbが 眞 な る 式 蒸 ら ばbは 眞 な る 式 で あ る 。
・eれ ら臓 算法 則 として計算が行われ る・式 に於て郷 で く&礁 りに6
を 用 い る こ ど が あ る 。 .先 す 八 に 關 す る 公 理 を 掲 げ よ う 。
2.1i・
.ト レ ・a⊃ 翁 く 謡・'層'、
2●11● 、 ← 卜 ●2a〈b=i)b〈a● 』 「 「一.
2● 工2● 、 卜1‑・●a=)b● ⊃ ・a〈cbb〈6●
'2
613.卜 卜・●a⊃b● 〈qb⊃c● ⊃6a⊃c●
2・14● 『=トト・b⊃ ・a⊃b● .
・2・15・ 「・'F'1・a〈 ・・⊇bρb.
2●016置 一●a⊃ ⊂ ま)●i3●a=⊃b。A●b⊃ 編●
之Lに5は 定 義 を 意 味 し左 邊 は 右 邊 の 式 で 表 わ さ れ る も の と す る 。 逆 も 然 り 。 以 上 を 公 理 及 び 定 義 と し て こ れ よ り次 の 〈 に 關 す る 定 理 を 導 く め で あ る が 謹 明 は 省 略 す る(38>'
2.2.'F・a〈b⊃a。
;.2e21● 卜ga=)a●
2.22.卜6a〈b⊃b。
タ
2.23● ・』 』 卜 ・a,⊃b● ・〈.e⊃d6⊃ ●a〈c==>b〈d.
̀2
.24b.}一 ●a⊃b● 〈 ●a⊃c● ⊃ ⊂ ・a=⊇b〈c6
さ
2●%● 卜 ●bd〈 ・a⊃Gびb・a⊇bAc● .
2.26. . .2
G27。
"2
乙271●
・2 .28.
..2b281●.
乳282』
.2h29 .』
2.291。
・2636
卜 ●b⊃ga⊃a八b● ・ 『 ＼
卜:a⊃ ・b⊃c:⊃ ⊂'・a〈b⊃G。
ト:'a‑≡ ⊃gb⊃G:⊃(ご:・1)二 ⊃ ・a⊃c●
←.a⊃G.⊃6a〈b⊃c‑ll・ ・
卜:a⊃b・ ⊃:1■ ⊃r6⊃b●
1‑lalへ 』・aAb⊃c.⊃ ●b⊃G●
ト3a⊃b・ ⊃:も ⊃cつ ・a⊃G.'
ト:b⊃C.・ つ:a⊃b・ ⊃ ・a⊃C。
卜:.窪 八b・'〈c● ⊃ ・a・八gb〈(}●
(4ρ).̀人
、.文.研 究 第 駅 輯
'2
63斗 ・ ・ 卜rゆ 亨Aρ?⊃ ・b〈a6A・ ・■ 「「」
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12・ 錫 蛤F●a〈 や △ ←P●a〈b●
、〈c・̀』.…
2●02● ・ 卜 ●島 くb〈c6・ea〈b。 〈c●.
2i33ゼ+・a〈b〈c⊃ ⊂,・〈c〈b⊃ ⊂b〈a〈c,usw.・
2●4●'ジ ト ●a=)葦)』 ● 八 ◎b=)o● 〈 ●c⊃d● ⊃ ●a=)d.'一
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麺 〉燗 する鯉 鵬 げとれに關箔 定理鱒 こう?..
$み̀卜 卜 ・⊃a>b・tt ,一 、
・.'̀9.11.・ 』̀卜}。>b⊃b>。 。'・.・
3612●1ト ト ●a⊃c●1〈 ・b⊇c「 ⊃ …■>b⊃6●
3.2.}.aVb.>6.⊃.、 、〉.b▽ 。.!
3 .921・̀'・ 卜9・ 〉 ・b'〉 ・・⊇ ・a>b・V…
ぼ
、̀3 ◎0,.1● ト ●a>b>￠ 面 ●a>b●>c●.、
3●22.・ 『 ト ・a>a⊃a■ 。
3i3el、 卜 ・a:)b● 〈 、●c⊃d。 ⊃ 。aVc⊃b>d● .
,3●31● ・tt卜 ・a⊃b・ ⊃ ・a〈G⊃b>d●
'3
i・32●̀卜 ●島⊃b●=)●a>b⊃b●
'3 ・33? .F・ ・>b⊃b・ ⊃ ・a⊃b・
'3
●34● ト ●a⊃1)● ⊃ ・a>c⊃ 「b>6●,
3●35.卜 ●a>b>c⊃1)Va>c⊃ 縞>c>busw●
3'..4.'卜 ・・ 〈.・・〉 ・b〈 ・6⊃'・ ・>b・ 〈 ・.
3◎41●}一 ●a>1)・ 〈c・ ⊃ ●a〈c● 〉 ●1)〈c●
3●42●1・'卜 ●a〈 .1)●>c6⊃ ⊂ ●a>c‑b〈 ●b>c.一̀』'ジ
ロ ヒ
3●5● .卜 ●a=Sb>c・ 八 ●b⊃d・ 〈 ●c⊃e・ ⊃ ●a⊃d>.e●
3」51● .卜 ●縞⊃b>1(}● 〈 ・b⊃d,● 〈 ・6⊃d●'⊃ ・琶=⊃(ie .'
以 上 に よ り 次 の 重 要 な 定 理 が 得 ら れ る が こ の 逆 犀 謹 明 不 可 能 で あ る 。
b.6.卜:・>b⊇:a⊃b・ ⊃b ..,・ ・ 『
次 に 「 に 關 す る 公 理 を 掲 げ こ れ に 關 す る 走 理 を 導 こ う 。 、 4.1。 』 ト トσ「a⊃ ・aゴb.
ゴ
4・耳 ・ ト ゆ ⊃b」 〈 ・apr戸 ・⊃ 「 ・・..
プ ラ .ウ 芽 一論 課,纏)
4●019・ 卜●一]「a量5‑1(「a)?
. 4020卜 ●a⊃b。 ⊃ ●「b⊃ 「a●
b
4き21● ・.卜 ●a⊃ 「b● ⊃ ●b⊃ 一「a● ・.b
4Q226・ 卜ga':'bみ ⊃ ∂一}「,■=)一}「b。
.4●23。 卜 ●a〈bつcの ⊃ ・a〈‑lc⊃.71b●
4・2チ6■ 卜 ・apゐ ・〈rbrP・ コ ・・e
4.3の 幽 卜 ●aP「 「a● ・ ・
、 し
こ の 定 理 は は じ めHeytingが 公 理 と お い 左 がGlivenkoに ‡ つ て 誘 導 さ れ る よ う に な?左 ・
4・31● ・F● 「 畠=)一 「]「a1
・4●32●F.● 「一「]‑la⊃ 「a
も に ヒ
こ の 二 つ の 定 理 に よ り 直 観 論 理 に 於 て は ・ 三 重 否 牢 は 一 重 否 定 ■に 等 し い と や う 著 し い 性 質 が 露 ら れ る 。'(25)
4●4e噛}一 ●alZ・『la⊃b●
.4.41● 卜Oa〈 「a・.V1》 ●⊃b●
.4.42e'.,卜 ・a>1)・ 、〈 「la・ ⊃b.
4●430ト ●『一]a=}・ 口「b⊃ 「(a>b)
'4 。44●e● 「1(a>b)⊃ ⊂}]a〈 「b.
4ρ45.卜 ・ti'〉「ae⊃ 。■ 「aつa.,
墾6ダ,F.la>b'」.s'⊃b・
4●47● 十 ●at>b⊃ ●二1a⊃b● ＼
・iこの4
.46と4.47は 逆 が 誰 明 不 可 能 で あ る 。
4.5.
4.51.
4.5116
4.526
4.5216
・4 .53。
ゆ くρ 「a●⊃・'b⊃「a・
'卜.a八 「(a〈b)⊃‑lb ●
卜 ●「 「a〈 「(a八b)「b。
ト 戦一](a〈 わ)⊃ ・a⊃ 隙]b.
卜●a⊃ 「b● ⊃ 「(a〈bつ }・●一「la>「b⊃‑1(a〈b)
(42).'人1己 丈 研 究 第 象 輯 4・54・F・ 「(a〈b)〈 ・a>ra・ ≡)ra>r5・
次 に 二 重 否 定 に 關 す る 定 理 .t述 べ よ う 。 466●,}・ ●「 一「aA‑71「b⊃ 一]「(a〈b)●'T 4.61.卜 ●‑1「(a'〈b)⊃ 「 一]a〈 「 「b.' 4●62.'卜 ●「 「a>「 「b⊃ 「 「(a>b)●
4・53●F・ 「 「(a>b)〈 ・「 ・〉
.「 「 ・・⊃rra>「 「b・
li14.7.・.卜 一'●a⊃ 「(b〈c)● ⊇ ・a〈b⊃ 「c.e';
4・71。 卜 ●a⊃1)〉 「G● ⊃ ●a〈c⊃ 『b.
ekVa第 三 者 拒 否 の 定 理(S・ 七・v・m・u・ge・ch1・ssen・nD・i七 七・h狽 帥 律)は …を 1の 形 に 於 て の み 成 立 す る 。
4●8●}一 ・「 一「( 、a>■a).
4●81● 卜 「‑1(「 「a⊃a)●
4●82.卜.a>「a⊃b● ⊃ ・一}‑ib.
さ
4.83.'F●a>「al⊃ 一]b● ⊃ 一一lb.'一
最 後 に 韓 べ る 以 下 の 定 理 は 逆 の 誰 明 が 不 可 能 で あ る げ 4。9.卜 ●a⊃b● ⊃‑1(a〈 一「b)●
4●91.・ 卜 ・a>bづ 一「(「a〈 「b)●
'4
.92.' ,卜 ・aAb⊃1(「a>「b).
以 上 で 直 観 論 理 に 於 け る 重 要 な 定 理 は す べ て 導 か れ た が,以 下 に 公 理 だ け を 整 頓 し て 蓮 べ て お こ う 。
2.1.・ 卜 卜a⊃a〈a.・ 一
』
2●11●}『 卜a〈h⊃b〈a●
2.12.ト ト・a⊃b・ ⊃ ・a〈c⊃b〈c.
2.13.ト}・ ●a⊃b● 〈,b⊃c・ ⊃ .・a⊃c.
、2●14."卜 卜●b⊃ ●a⊃b.
2.15.ト ト ・a〈 ・a⊃ 冒b・つb.
3.1.トFa⊃a>b.
3。11● 、 卜 卜aVb⊃ も>a.
プ ラ ウ ン ー 論 理(43っ
3●12● 卜 卜●a⊃c・ 〈 ・「b⊃c● ⊃6a>1)⊃G●
4●1.卜 卜 ●「a⊃ ●a⊃k)●
4●11● 卜}吻 ●a⊃k}● 〈 ●a⊃‑1き)●=⊃ 「a●
こ れ ら の 公 理 の 猫 立 性 はBerndys(17)め 與 乏 た 方 法 で 謹 明 で き る がesで は 省 略 す る 。
皿.束 論 的基 礎 付 け
ブ ラ ウ ワ ー論 理 はBirkhoffに よ り今 日東 論 に 於 て次 の 如 く特 徴 づ け られ て
Vbる 。(19)・ 、s .
定 義 ブ ラ ウ ワ ー論 理 とは0と1と を有 す る束 ゼ ・x‑>yな る演 算 カミ次 の よ う に 定 義 さ れ て い る 。
B1.(x‑>y)・=O⇔x≧y B2.x‑〉(y6z)=(xUy)→z
な おx→1をx*で 表 わ し,k=0を トx=で しる す 。 前 節 の 記 號 と束 論 の 記 號 とのi封態 は次 の 通 りで あ る。
a⊃b.a→b a"〈 噛baUb a>ba∩b
「aa*
'O
,(x=o)眞,(卜x) 1‑Pt{爲
補 題1.x‑一>yは 七Ux≧yを 満 足 す る最 小 の 七で あ る 。t
詮 明31に よ り 七≧(x→y)は ト七L>(x→y)と 同 値 で あ る。B2に よ り これ は ト(七Ux)→yと 同 値 で あ る 。 再 びB1に ま り これ は 七Ux≧yと 同 値 で あ る 。 補 題2・ ブ ラ ウ ワ ー 論 理 は 分 配 束 で あ り,七Ux≧yを 満 足 す るtの 棄 り (meet)X→yが 存 在 し且 つ それ に 封 して は(X→y)UX≧yが 成 立 す る。
逆 に この 條 件 が 成 立 す る束 は ブ ラ ウ ウ ー論 理 とな る 。
鐙 明 前 孚 は 補 瞳1に よ り明 らか で あ り分 配 束 な る こ と は 次 の 如 く鐙 明 きれ
(44)人 家 研 究 第 六 輯 る 。 そ れ は
yUX≧(xUy)∩(xUZ) zUX≧(xUy)n(xUZ) よ り(yn'・Z)UX≧(xUY)n(xUZ)
ニ
と な るの で 分 配 法 則 が 導 か れ るゴ
逆 に補 題1で 定 義 さ れ たx→yを 有 す る 束 が ブ ラ ウ ワ ー論 理 な る こ と を 置 明 し よ う。 先 す 上 に 誰 明 した 如 く分 配 束 に な る 。・
B1の 成 立 は 次6如 く (X→y)=0,⇔'xUO≧y
お く こ とに よつ て 得 られ る 。 B2の 成 立 は 次 の 如 くで あ る げ
、tu(xUY)≧z(1) 9●.(七Ux)Uy≧z(2)
.の.七Ux≧(y」 →・z(3) (1)よ り 七≧((xUy)→z)(4) (3)よ1り も≧(x→ 〈y→>z))、(5)
(4)(5)よ りB2が 成 立 す る。 この際 ヒの 各式 はみ な同値 の關 係 に於 『成 立 し て い る 。Q,E,D.
補 題2を 約 言 す れ ば ・ ブ ラ ウ ワ ー論 理 は 補 題1を 満 足 し ・逆 に補 題1を 満 足 す る束 は ブ ラ ウ ワPt論 理 と な る。 つ ま りx→yの 定 義 の 仕 方 は は じ め の 定 義 と 補 題1と 二 つ あ る こ と を述 べ て い る。 な お 補 題1に よ リ ブ ラ ウ ワ ー論 理 は分 配 束 に な る こ とを 注 意 さ れ た い 。 、
さて 補 題1,と2に よ り容 易 に 次 の 定 理 が 得 られ る 。
}
寒理1・ 完備束 は麹の分配珠則
aU〈Xμ=〈(aUX・)
・が 成 立 す る と き
,そ し て そ6と き に 限 リブ ラ ウ ワ ー論 理 に 劉 して 基(base)と な る。 この 場 合 冬→ γ は 七Ux≧yを 満 足 す る 最 小 のtな る こ とが 必 要 で あ る。
プ ラ ウy一 論 母 、(45')
この 定 理 の 系 の 一 つ と して ・ 有 齢 配 束 は プ ラ ウ7論 理 に 劉 して 基 擁 る こ とが 得 られ る 。更 に 他 の 系 と して 位 相 室 間(T6室 間)の 閉 集 合 族 が この 性 質 を有 す る こ とが 得 られ るが 〜二れ はTarskiやTangの 結 果 の 本 質 を 含 む もの で あ るa'f(32)(34)(41)(42)(43)。
補 題3.ブ ラ ウ ワ ー論 理 は 直 観 論 理 に封 す るHey七ingの 公 理(28)及 び
"strictimplica七ion"「 に饗 す る 恥wisの 公 理(i)を 満 足 す る。
闘 は 困 難 で は な い,B・ 瞬 り トf→9はf≧9と 同 働 るを 以 て こ 紐 用 い れ ば よ い 。 以 下 に 本 節 の 記 號 でHey七in9 .め 公 理 を 述 べ て お く が こ れ は 前 節 の 末 尾 の も め と 全 く 同 一 で あ る 。
卜a二〉(aUa) トaU})一>bu'cl
ト(a→ ・b)→(aUc→ ・bUc)
F[(・?b)u(b→e)コ →(av・)
卜b→(a→1))'
埆u(a→b)コ →b
tea→(a∩b)'
卜a,n1)→ ・b∩a
卜[(a→C)U(1)→C)コ →(a∩1〜 →C) 卜a*→(a→b)'
ト[(a→b)U(a→ ・bee)コ →‑aee卜
同 じ こ と がstrict'iml>lica七ionに つ い て も い え る 。 こ の 場 合tr:Lewisb
◇PはP<工 と し て 謹 明 さ れ る 。 但 し(x*Uy*)*と し て の.xnyな るZewisの 定 義 だ け は 満 足 さ れ な い が こ れ は 彼 の 定 義 の 誤 りで あ る 。
次 に ブ ラウ ワ ー論 理 の否 定 に關 す る諸性 質 を導 こ う。
定 理 盆
L1(x甚)ee≦x・
工12・x≧yな ら ぱ レy*≧x*
〈46)人 丈 研 究Jt第 宍 輯 工,3(xny)*=x*Uy*
工」4 .(xUy)ee≦X*∩y*
L5((xce)*)"e=・x*
こ の 定 理 に 於 け るL1・L2・L3・L4,L5は そ れ ぞ れ 前 節 の4・3;4・2?4・44, 4.53,4.31及 び4.32で あ る 。L3とL4と は 双 劉 で は なv・ 。 こ れ と 同 様 な モ デ ル 賦 ヒ ル ベ ル ト室 間 に あ り そ こ に 於 て はxeeはXの 直 補 元(Or,khocomplement)
領rあ る 。(40)(19,§159).
さ て 本 定 理 の 誰 明 は 次 の 如 く で あ る 。
L1・ 補 題1に よ り(x→1)Ux≧1,故 にxU(x→1)F1・ ・ま た 切(x→1)≧1を
満 足 す る 七 は 七≧((X‑>1)一>1)で あ る 。 故 にX≧((X→1)→1)・ 、即 ちX≧(X勤 涛 L2.假 定 に よ りxUY*≧yUyee=工 故 に 補 題1に よ りy曽 ≧(Xr>1),故 に
摯 y*≧x*
L3.補 題1に ょ り 七≧(苓 ∩y)eeは 七≧C(x∩y)一>1)と 同 値 で あ る 。 こ れ は ま た 七U(x∩y)≧1と 同 値 で あ る 。 即 ち'
(X∩y)U七=工 、(1)
然 る に(x∩y)U七=(xU七)'n(yU七)な る を 以 て(1)よ り (XU七)A(yU七)==1
.。.xU七=yU毛=】=
∴ 七≧X今e,七 ≧y「X∴ 七≧X*Uyボ 釜
L4.こ れ は 正2.カ 〉'ら導 か れ る 。 即 ち xUy≧Xよ り(xuy)牽 ≦X*
xUy≧yよ り(xUy)*≦y*
故 に(xUy)ee≦xee∩y"e
L5.こ れ はL1'とL2と か ら 導 か れ る 。
即 ちL1よ り((x勤*猶 ≦ 餅
ま たZ2よ り 偉L1よ'り((x墨)*)ee≧x*と な る 。 .Q,E,D〆
ブ ラ ウ ワ ー 論 理 の 法 則 を 少 し 強 化 す る と 古 典(Boole‑Whitehead)論 理 と' な る 。'即 ち(xee)*=X又 は トX∩ 継 を 入 れ れ ば よ い 。 何 ん と な れ ぱ(X*)*==Xな
プ ラ ウ ワ ー 論 理(47)
ら ばL2に よ り,蜀 鷹x→xeeは 蜀 合(involu七ion)と な り,xUx憩=1はx馨 ∩ x=O'(第 二 の 假 定)を 意 味 す る 。 この 二 つ を一 しよ に す る と,我 々 の 分 配 束 ぼ
可 補 束 とな る ので プ ール 代 敏 とな る 。 しか も この 際 定 理rに よ りx‑>yはxee∩y を意 味 す る 。以 上 を 整 頓 して,.
定 理3.ブ ラ ウ ワe‑y・論 理 に 於 て(xee)*=x叉 はx∩x*=Oが 成 立 す れ ぽ 古 典 論 理 とな る。 この と きX→y=X*∩yで あ る 。
ブ ラ ウ ワ ー論 理 は そ の 中 に 古 典 論 理 を含 ん で お り,二 重 否 定 に な つ て い ろ 命 題 は 古 典 命 題 計 算 を 形 成 して い る。(26)(27)(20,148頁)'
古 典 論 理 と ブ ラ ウ ワ ー論 理 との 著 しい 相 違 は,前 者 に 於 て はUと → は ∩ と 1の 函 数 と して 表 わ さ れ,(xUY)=(X!∩yノ),及 びX→y=X1∩yと な るが,後
者 に 於 て は これ は 不 可 能 で あ る 。Uや → が 他 の もの で 表 わ され な い 實 例 を.
Hasseの 圖 式 で 作 る こ とが 出來 るが こ 玉に は 省 略 す る 。
以 上 は 勝rkhoffの 奮 版(19)に よつ て 述 べ た 竜 の で あ るが,改 版(20)に よつ て 若 干 補 足 して お こ う。
定 義 プ ラ ウ ワ ー 論 理 と は 相 蜀 擬 補 束(rela七ivelypseudocomple‑
men七ed‑la1七ice.)で あ る 。
こ 曳にV・ う相 甥 擬 補 束 と は ・束 の 二 元a,bにi封 し て 擬 補 元a*bが 存 在 す る も の を い う。 元aの 元bに 樹 す る擬 補 元a緬 とは,x≦cな る と き そ して こ の と き に 限 りa∩x≦bな る如 き元cの こ と を い う。 ま たaeeOをaの 凝 補 元 .と いLa*で 表 わ す 。(37)。
定 理4.完 備 束 ばX∩>yp=〉(X∩yp)を 満 足 す るbき そ して この と き に 限 り相 劉 擬 補 束 で あ る 。(20タ147頁)。
さて 相 封 擬 補 束 に於 てaeebをa→bで 表 わ し,x=0'(即 ちtau七 〇10gies) 哩 ζ 卜Xで 表 わ すPX→yはxU七=yを 満 足 す る最 小 の 元 七な る を以 て トX・一>yは
x≧yな る と き そ して この と きに 限 り成 立 す る 。 依 て 本 節 の は じめ の 議 論 にか 乏 る 。
な お束 順 序 孚 群 か ら導 か れ た 次 の 興 味 深 い 定 理 が あ る 。
・定 理5.ブ ラ ウ ワ ー論 理 は 束 交 りの 下 に 剰 余 づ け られ る束 で0,1を 有 す る も .
(郵)人 丈 研 究 第 宍 輯 の の 双 劉 と して 定 義 され る 。(20,204頁)。
これ は イ デ ヤ ル 論 と トポ ロジ ー ・敏 学 的 論 理 学 との 間 の 注 目 すべ き關 係 を 與 え る もの で あ る。(21)。
tIV・ 古 典 論 理 と 直 観 論 理
論 理 学 を束 の記 號 で表 わ す た め に次 の 用法 に從 う。(11).(12).
a∩b aUb
aノ ・
a二b
工
0
麟 鵬 礁 舗 虞
1.aUa,=1
2.a,∩aノ=0
3.(aノ)ノ=a
a且 つb a叉 舳 、 aな らす
1儲1=1:ll:}
束 に於 て1,0が 存 在 し・任意 の元aに 封 して1・'2を満 足 させ るaノ輝 存 在 す る とき この束 を可補 束 とV八aノ をaの 補 元 とい う。 可補 束 に於 て 更 に慨4, 5が 成立 す る とき これ を直 可補束 とい う。
さて 以上(?用 法 に よれ ば,古 典 論 理 は直可補 分 配 束(直 プ ール束)で あ り, 直観 論 理 は2と4の み が 成 立 す る分 配 束で あ る。直 観 論理 に於 て1を 探 用 しな い こ と は勿 論 ジ3・5の 成 立 し な い こ と耳 前 節 に 述 べ た 通 りで あ る 。
なお 古 典 論 理 と直 観 論 理 との 間 に 存 在 す る も の と して 黒 田 論 理(6)が あ る が,こ れ は2と4の 外 に次 の 式 が 成 立 す る もの で あ る 。
(a∩b),==(a!Ubノ),1'
ま た2,4の 外 に5が 成 立 す る もの をDeMorgan論 理 とい う。
な お分 配 束 に な らなVb著 名 な論 理 と して 量 子論 理 炉 あ るが ・ これ は模 束 で 排 中 律
矛 盾 律
二 重 否 定 律 .
De】y【organ律
プ ラ ウ 〕7一 論 理 ・(49) 1,2,3,4,5を 満 足 す る もの で あ る 。 即 ち 直 可 補 模 束 で あ る。(18)。
以 上 は束 の 記 號 で 表 わ せ る論 理 で あ るが,す べ て の 論 理 が 束 で 表 わ せ る と は 限 らな い 。
さて 古 典 論 理 を二 つ の 蓮 算 ⊃,〜 を以 ℃ 述 べ て み よ う。(39)
定 義 され な い 術 語 と して 類C,類 田,二 項 演 算 ⊃,軍 項 演 算 ㌍ を基 礎 にお く。
讃 明 され な い命 題(公 理)と しで 次 の もの をお く。
A1.pLがTに あ る な らば,PはGに あ る 。
A2.PとqがCに あ る な らば,P⊃qは 一 意 に 定 め られ たCの 元 で あ る 。
＼
A3・PがCに あ るな らば ・ 〜Pは 一 意 に定 め られ たCの 元 で あ る 。
A4.P,q,rがCに あ る な らば ・
[P⊃(q⊃r)ユ ⊃[(P⊃q)⊃(P⊃r)]はTた あ る 。 A5.p,qがcに あ る な らば,p⊃(q⊃p)は 里に あ る 。' A6・p,qが σ に あ る な らば,
[(〜P)⊃(〜q)コ ⊃ 〔q⊃Pコ が Ψ に あ る 。 A7.PとP⊃qがTに あ る な らば,qは 璽 に あ る 。
以 上 の 公 理 を満 足 す る 四 重 系,(CrT,⊃,Nl)を プ ー ル 命 題 論 理(古 典 論 理)
とい う。 、
具 艦 的 な 例 ど して はCは 命 題 の 類 で あ り,Tは 眞 な る命 題 の 類 で あ る。
P⊃qは,∫Pな ちばqな り」 とい う命 題 で あ り,〜Pは 「Pな る こ とは 儒 で あ る 」 とい う命 題 で あ る 。
簡 輩 の た め に,「pがTに あ る」 こ と を、「 卜p」 で 表 わ し 「pな る こ と は 眞 で あ る 」 とい う。'
"ま た 式 に 於 て 括 弧 の 代 りに 蕪 乞 用 い る こ とが あ る
。 例 えばA4を 次 の 如 くか く。
1}⊃.q⊃r.⊃.P⊃q⊃.P⊃r
文 字 の 右 下 につ い で い る黙 は そ こ まで で 終 つ て い る こ と を示 し,左 に つ い て
(50)人7丈 ,研 究 第 宍 輯
い る 織 は 以 下 を 括 弧 に 括 る こ と を 意 味 す る 。 但 し ⊃ は 黙 よ り も 優 位 に あ る も の と す る 。 ま た 次 ￠〜よ う に 書 く こ と も あ る 。
P⊃ ●q⊃r:⊃:P⊃(1⊃ ●P⊃r P● ⊃ ●q⊃r3⊃:P⊃q● ⊃ ●P⊃Lr・
A5とA6は 次 の 如 く か く 。1.
・∠iP⊃
.q⊃P
〜1)⊃ 〜q .⊃ ●q⊃P
.次 に 古 典 論 理 に 於 て はU,∩,=を 次 の 如 く 定 義 す る 。 PUq,〜P⊃q
P∩q,〜.P⊃ 〜q
P=q>P⊃qi∩.q⊃P I)Eq,トP=q
と れ よ り 周 知 の 種 々 の 定 理 が 導 か れ る の で あ る(39,33頁 以 下)。
直 観 論 理 に 於 て は,定 義 さ れ な い 術 語 と して,類G,部 分 類 丁,三 つ の 二 項 演 算 ∩,U;⊃ と 輩 項 演 算 〜 を 基 礎 に お く 。 ま たrPがTに あ る 」 こ と を 「 卜P
」 で 表 わ す 。
'詮 明
さ れ な い 命 題(公 理 、 と し て 攻 の も の を お く 。
11・P.とqがCに あ る な ら ば,P∩q,pUq,P⊃q,〜Pは;一 ・一・意 に 定 め ら れ たCρ 元 で あ る 。
12.卜Pに し て トIP⊃qな ら ば トqで あ る 。.
13.pとqがCに あ る な ら ば,卜lp⊃ ・q⊃p I4.p,q,'rがcに あノる な ら ば,
卜Pつ ・q⊃r.⊃.P⊃q⊃ ●P⊃r I5.pどqがcに あ る な ら ば
一}
P⊃.q⊃P∩q・'
16.PとqがCに あ る な ら ば,卜P∩q=∫P I7.pとqがcに あ る な ら ば,卜p∩qつq I8.PとqがCtCあ る な ら ば,トP⊃PUq
ッ.'ラ ウ ンP論i理(51) 19.PとqがCに あ る な ら ば,トq⊃puq
IIQ.P,q,rがCに あ る な ら ば, 卜・P⊃r⊃.q⊃r⊃.puq⊃r
I11.P,q,がCに あ る な ら ば 、 卜P⊃q⊃ ●P⊃ 〜qつ 〜P I12.p,qがcに あ る な ら ば,、
ト〜]P⊃ ●P==)(1
こ れ ら の う ち 古 典 論 理 に 於 て は 定 理 と な る も の も あ る が,直 観 論 理 は 以 ヒ を 公 理 と じ て 出 褻 し な け れ ば な ら な い ・ こ れ よ り 得 ら れ る 定 理 と し て 例 え ぱ
・Fp⊃ 〜 〜P
'
卜〜 〜 〜P⊃ 〜P 卜〜 〜.pu〜P
な どが あ るが 成 立 しな Ψ も の と し て次 の もの が あ る 。 卜〜P⊃ 〜q.⊃ ●q⊃P
卜pu〜P F〜 〜P⊃P
G6de1は 古 典 論 理 と直 観 論 理 と の 間 の 重 要 な 關 係 を誰 明 した 。Gen七zenは
じ
直 観 論 理 の 公 式 が ヒの12の 公理 か ら導 か れ た もの で あ るか ど うか を決 定 す る方 法 を見 出 した 。
演 算 ∩,U,⊃,〜 は 互 に 猫 立 で あ り,一 つ を他 の もの で 定 義 す る と とは 出 來 な い 。
また 「〜IP」は 檬 相 論 理 くmodalIogic)で い う 「Pは 不 可 能 で あ る」 と共 通
な性質 を もつ てい るので ・陣観論理 は様 相論理 として考 える ことが 出卒 る。然
し 〜二sで は 檬 相 論 理 に 就 て は 述 べ な い こ と とす る 。(2)(3)(15)(30)(33)(35)。
V.直 観 論 理 と三値 論 理
直観 論 理 は排 中律 を拒 否 す るの で,眞 儒 の外 に第 三 者 が豫 想 され る。 それ 故 直槻論 理 は二 値 以 上 の 論 理 と考 えられ る。 こsで は三 値 論 理 の なか でPe
(52)人 丈 研 究 第 六 輯
Morgan論 理 に な る もの が あ る こ とを示 そ う。先 す 二 値論 理(古 典 論 理)に 於 け 多眞理 函 数 圖式 を掲 げてみ よ う。
(1)!
AUづ■
(工V) ⊂
ームAU
01
(ロ)∩
(U‑
01ゐ
01
(V)
・11 00
071
00
01
(皿)ul・ ・
0ーム
(U‑ 0ーム
ー0 ‑占噌⊥
01
こLに,(1)は 否 定(∬)は 連 言(皿)は 選 言(工V)は 含 意(V)は 等 値 を表 わ す 。(前 節 の 記 號 の 〜 及 び ⊂ は 本 節 で は ノ及 び ⊂ に な つ て い る 。)
さて 三 値 を0,七,1と し次 の 三 値 論 理 を考 え る 。(11)(37)。
(1)・(1エ)ho七1(皿)UO七1
nU七‑
(工V)⊂
100
〇 七1
〇七‑
0←b咽⊥
(V)
‑噌正一1
1占噌■←り
ーム(UハU 0ムb1
0←﹄七
〇〇〇〇七‑凸
〇 七1 1'00 01七
〇 七1'
(U七‑ゐ 11ー
ムb七ーム
ハU十u‑
この 三 値 論 理 は 七の な い と き に は 古 典 論 理 に灘 着 す る 。 い ま 如 何 な る等 式 を満 足 す るか を調 べ て み る と
LIa∩b・=1)∩a . aUb・=bUa
l与2a∩ ぐb∩c)=(a∩b)∩c aU(bUG)=・(aUb)UG L3a∩(aUb)=a
、 ブ ラ ウ ワ ー 論 理 aU(a∩'b)=a・
L43∩(bUc)=(a∩b)U(a∩c) aU(b∩c)=(aUl))∩(aUc)
'が 成 立 す る の で こ の 三 値 論 理 は 分 配 束 に な る
。 馨 し
123・4﹁5
aUa,=I a∩a!=o (af)ノ=a'一
(aU『b)ノ=尋 ノ∩b!
(a∩b),=a・ ノUb/一
(5a)
の う ち1と3は 成 立 せ す2,4,5は 成 立 す る 。 從 てDeMorgan論 理 と な る 。 さ て こ の 三 値 論 理 と 同 値 な 艦 系 をJ,Lukasiewicz(31)(37)カ §導 い た が,
、そ れ を 吹 に 述 べ よ う 。
ナタヲジメク耳瓦瓦瓦瓦泓
Pc(Q⊂P)
(P⊂(P⊂Qつ)⊂(P⊂Q) (P⊂Q)⊂(〈Q⊂R)⊂(P⊂R)う (P∩Q)cP・
(P∩Q)⊂Q
(P⊂Q)⊂((P⊂R)⊂(P⊂(Q∩R))) H7∫ 、PC(PUQ)・
・且8P,P⊂(Qup)
H,,(P⊂R)⊂((Q⊂R)⊂((PUQ)⊂R)) H、 ・,(P⊂Qノ)⊂(Q⊂Pノ)'
H、1,P1⊂(?⊂Q)
H、2,(P1⊂Q)⊂(((Q⊂P)⊂Q)⊆Q)
こ れ をLukasiewiCZ論 理 と よ ぼ う 。
こ の う ち 耳2を 省 い た も の が 直 観 論 理 で あ る ⑨ こ れ は 元 來SGholtzが Hey七ingの 公 理 か ら 導V・ 左 も の で あ る が ・,Seholtzは11個 の 公 理 の 他 に
((P⊂Pノ)⊂q)⊂((1》 ⊂q)⊂q♪.'
(54)人 丈 研 究 第 六 尊 を附 加 した とき古典 論理 に な る とい つ て い る。
なお上の 三 値 論値 と同値 で プー ル束 に な らなv・束 が得 られ て い る。(37)
一 般 に三 値 論理 は直観論 理 に は な らな いので あるが,上 の例 の他 に も直観 論 理 に な らな い三 値 輪 理 の あ る こ とを示 そ う。制 定 と してEey伽9の 公理
を満 足 してい な い こ とを示 す 。(28)。
伽1(・),(・ ・)∩1。 七1
0・t‑
(皿)u
七ーム十緊
(り十u噌⊥
〇 七1 001 0tT 111
1隠
11七 七1 t
(工V) ⊂
〇七‑
〇 七1 001 111 00'1 こ の 例 に 於 て は2.1のa⊂a∩aが 威 立 し なV・.何 ん と な れ ば
0⊂0∩0=0⊂ 七・=0
ザ リ
例2,(1)!(1[) ∩
〇七‑凸
{皿)u
七〇七
〇七噌■
〇 七1
〇 七1
0'tO
十u←七←0
0七〇
0⊥し{二
(IV)⊂ ・
000
0七〇
〇〇〇 〇七‑
〇 七1
ムbO七
七(Uムb
OOO
こ の 例 に 於 て は2.14のb⊂ ・a⊂bが 成 立 し な い 。 何 ん と な れ ば 1⊂ ・0⊂1==1⊂ 七=七
例3.
ブ ラ ウ レ ・一L論 理
(1)・1 ・ ⑳ ∩i・
マ[
ト
七1
(55)
一
噌■{三企り
0・竃‑ 0.←UO
U)皿
ノ
十u←勧‑み
⊥も←o十u
乙﹂←U←b
O七‑ゐ
(rv) ⊂
011
0七1
001
0∴しー 〇七‑
〇 七1
1ームーム
︑噌■‑凸七
11亀0
1
,
この 例 に於 て は3.11のaUb⊂bUaが 成 立 しな い 。 何 ん とな れ ば 1VO⊂OU1;1⊂0=0、
例4. (エ)・1
̲i〇七‑
(‑) ∩
←しー̀t
(]lnl)ul・ 七 ・
・0・t‑
0十u望■ 111
0←む噌■
001
〇 七1
0十u噌ユ
←b七七
〇・tO0一110
⊂〇七‑
N
七1
11噌⊥
←b噌←←u
この 例 に於 て は(aノ)1⊂aが 成 立 しな い。 何 ん と な れ ば (0/y⊂O=七!⊂Ot1⊂0=0
以 上 で 例 を打 切 るが,各 節 に 於 て 用 い られ た 記 號 が ま ち ま ち で あ るか ら以 † に そ の 樹 照 表 を掲 げ て 溢 こ う。
n}「 ・ 皿}翫*ノ
エ▽lall
〜a
・・〈bi・>b aUb
a∩b
a∩b aUb
a⊃b 0 工
a→blEx' .i
のbい1・
(56) 人 丈 研 究 第 六 樋
V .aノ
否定 な らす
a∩b
蓮 言
且 つ
aUba⊂b
選 司 合 意
又 はiな らぽ
工 0.
副 備
VLWeylの 所 見
Wey1が 直 観 数 学(1ntuitive皿a七hema七ik)と 題 して 述 べ て い る所 見 を 'そ の 著 書(45
,第1部9節)か ら翻 刻 して み よ う。 以 下 そ の 全 文 で あ る 。
明 らか に この 立 場 は 最 初L.E.J.8rouwerに よつ て(1907年 以 來)知 ら れ て お つ た 。 即 ち 彼 は籔 学O建 設 を企 圓 した が,そ れ は §6(自 然 藪 の 構 成 に つ
い て の)絡 りに述 べ た よ う な,彼 岸 の 中へ の 跳 躍 を實 行 す る もの で は な か つ た 。 存 在 定 理 一 例 えぽ 「偶 敏 は 存 在 す る 」 一一 は一 般 に そ の 事 實 を 主 張 す ると い う本 來 の 意 味 で の 命 題 で は な い 。(1は 偶 籔 で あ るか 叉 は2は 偶 数 で あ るか 叉 倣3は 偶 敷 で あ るか 叉 は … …adinfini七um)と い う定 理 の 如 き 「無 限 論 理 和 」 は 明 らか に 實 行 不 可 能 で あ る 。 「2は 偶 敏 で あ る 」 とい うの は現 實 の 命 題 で あ つ て(27頁 た 於 て 性 質 「偶 数 」 が 循 環 的 に 定 義 され る限 りに 於 て)・ 「偶 敷 は 存 . 在 す る」と い うの は 軍 に 〜二の 命 題 か ら導 か れ た 命 題 的 抽 象(UrteN$abs七rak七)
で ある 。 私 が 洞 察(Erkenn七l!is・insigh七)蓼 償 値 あ る寳 物 で 表 わ す な らば ・命 題 的 抽 象 は 寳 物 の 現 存 を 示 す が そ の 場 所 を洩 らし て くれ な い 紙 片 で あ る。 その 、
・唯 一 の贋値 は寳物 を見 串 す よ うに私 を促 が して くれ る ことに存 し得 る の で あ る 。 「2は 偶 敬 で あ る 」 とい う よ う な背 後 に 立 つ て い る命 題 に よつ て 確 實 化 さ れ な い 限 り,こ の 紙 片 は 無 贋 値 で あ る 。 議 論 が 構 成 の 可 能 性(〕 恥91ichkeiの
に す ぎ な い 庭 に 内 容 豊 か な 命 題 は 存 在 せ す,か えつ て 到 達 す る構 成 法 (gelungeneKonstruk七ion)や 實 施 す る 謹 明(geftihr七eBeweis)を 顧 慮 ず る と とに よつ て の み 存 在 の 主 張 が 意 義 を得 るの で あ る 。数 学 の 多 くの 存 在 定 理
9
に於 ℃ 往 々かxる 定 理 は償値 が な い,こ れ に 反 して償値 あ る もの は誰 明 に於 て 構 成 法 が 實施 され て お り,こ れ な しで は定 理 は室 盧 な影 であ る 。
ブ ラ ウ ワ ー 論 理(57)
§3(論 理 的 推 理)に 於 て 提 出 され た 問 題 ・存 在 定 理 か ら如 何 に し て 何 に か を 結 論 す る 〜二とが 出 來 るか,に 就 で は こLに,方 法 な し即 ち 何 に も言 え な い し 、 又 そ れ か ら は何 に も推 論 で き なVbと ・答 え る。 「命 題 的 抽 象 」 か ら は 孤 立 して
い る意 義 あ る全 艦 性 を 存 在 定 理 の立 場 に お きか え ね ば な ら な い の で あ る。 然 し な が ら一 方 に 於 て 我 々 はV・か た して 自然 歎 に 關 す る一 般 の 定 理 に 到 達 す る で あ ろ うか 。 とれ は 最 も簡 翠 な例 で 明 らか につ く られ る 。 藪 論 的 函 数 ψ(n)を 完 奎 饒 納 法 に よ つ て 次 の 如 く定 義 す る 。
α)q(1)=1;β)q(nノ)=(q(n)),
β)tt‑一 般 に 成 立 ナ る命 題 で あ つ て,い ま の とrし よ に す る こ と に よ つ て そ れ か ら は完 全 脇 納 法 に より て例 えぽ 一 般 にq(n)==nと 推 論 す る こ とが 出 來 る。
それ 故 定 義 自 身 は 惜 般 性 の 根 元 で あ り,一 般 性 か ら完 全 臨 納 法 に よ つ て さ らに 歩 む の で あ る 。 式 に用 い られ す む し ろ各 段 階 に 於 て 具 鰐 的 に 鷹 用 され る完 全 露 納 法(定 義 及 び 推 理 の 道 具 と して の)は,数 学 の,敏 学 的 直 観 の本 來 に して 唯
・・一一一・の 力 で あ る。 とれ よ りBrouwerはE。Poinc刎6(Sciel1Ge驚e七hγpo七hδse)
と一 致 し た 。 数 に關 す る一 般 命 題 の 否 定 は 存 在 定 理 で あ つ て これ は 無 贋 値 な の で,r般 命 題 は杏 定 可 能 で は な い 。 ま た 一 般 命 題 は 本 來 打 建 て られ た 事 實 を 指 示 す る もの で は な く,そ れ は 無 限 に 多 くの 個 々 の 命 題 の 論 理 積 と考 え られ す に,反 つ て 假 設 的 に 即 ち 一 り の 與 え られ た 定 まり た 数 に 適 用 す る な らぱ 一 定 の 命 題 が 生 す る と い う よ うに 考 えち れ る 。七ertiumnonda七ur(排 中 律,す べ て の 藪 が 準質Aを 有 す るか 叉 は 性 質Aを 有 す る 数 は 存 在 し な い)は こLで は 余 地 が な い ◎ そ こへ 到 達 した 信 念 はBrouwer(」.derD.M.V.28,1920.204)
に よ れ ば,r第 一 に 一 定 の(即 ち そ の 要 素 が 示 され て 與 え られてV・ る)有 限 集 合 の 部 分 集 合 に 關 す る敏 学 か ら古 典 論 理 が 抽 象 した 事 實,次 いで この 論 理 が 数 学 と は 猫 立 な存 在 を先 瞼 的 に館 馬 せ しめ た こ と,そ して最 後 に この想{象 ヒの 先 験 性 を不 正 當 に無 限 集 合 の 藪 学 に適 用 し た こ と,か ら歴 史 的 に ひ き起 さ れ た 」
と い う。
Brouwgrの 解 析 に於 て は,連 績 艦(Konbinuutn)に 於 け る 個 艦 的 場 所 即
