動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク に よ る ブ ロ ッキ ン グ零 点 配 置*
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(2) シス テム制御 情 報学 会論 文誌. 160. 第21巻. 第5号. (2008). 置 した い ブ ロ ッキ ン グ零 点 の 集 合 をZ={z1,…,zr}と し,次 を仮 定 す る. (仮定1)集. 合Zの. 複 素 共 役 もZの. の 目 的 は,dか. ら[uTyT]Tへ. 要 素 とな る.ま た,Zは. λ(A)〓Zを. 仮 定1の. 条 件 λ(A)〓Zは,制. 御 対 象 の極 と配 置 す る. ブ ロ ッキ ン グ零 点 との 極 零 相 殺 を 回避 す る た め に仮 定 さ れ る.. の伝達関数. 【問 題1】. 仮 定1を. 与 え ら れ た と き,閉. (1). zi∈Zに. み た す 制 御 対 象P(s)とZが. ル ー プ 系 を 内 部 安 定 化 し,す. 対 し,G(zi)=0と. を安 定 化 し,か つ こ の ブ ロ ッキ ン グ 零 点 を外 乱d(t)を. 求 め よ.. 動 的 フ ィ ー ドバ ッ ク コ ン ト ロ ー ラK(s)が. 阻 止 す る よ うに 選 ぶ こ とで 達 成 され る.例 と して,. zi∈Zを. 関 す るP(s)とK(s)の. で,(1)式. 目の要素. す べ て の. ブ ロ ッ キ ン グ 零 点 と し て も つ な ら ば,仮. りziに. (2). 2.3. はli個. 定1よ. 極 零 相 殺 が 生 じな い の. はG(zi)=0と. な る.. ブ ロ ッキ ング零 点 配 置 問 題 の解. こ こで は,ブ ロ ッキ ン グ零 点 配 置 問 題(問. (3). べ て の. す る 動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ッ. ク コ ン ト ロ ー ラK(s)を. が 周 期 外 乱 で あ る 場 合 を考 え よ う.外 乱 のi番. の. み たす 。. Fig.1 Closed‑loop systemofthe linearsystem P (s)and the feedbackcontroller K (s) と で あ る.こ. 実 数 で な い 要 素 に対 して,そ. 題1)の. 解. が 動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ック コ ン トロ ー ラ. の 正 弦 波 か ら な り,そ れ ら の 角 周 波 数 ωikの み. が 既 知 で,振 幅dikと の と き,(1)式. (6). 位 相 θikが 未 知 で あ る とす る.こ. の ブ ロ ッキ ン グ 零 点 を周 期 外 乱 に対 応 す. る ±jωikと 一 致 させ る こ とが で きれ ば,す. に よっ て 与 え られ る こ と を 示 す.た だ し,K1∈Rm×n,K2∈. なわち. Rm×rmは. 設 計 パ ラ メ ー タ で あ り,行. 列U,V,Wは,. (4) とで きれ ば,制 御 対 象 の 入 出力u(t),y(t)に 外 乱d(t)の. (7) (8) (9). 対す る周期. 影 響 を定 常 的 に排 除 で きる.. 伝 達 零 点 もブ ロ ッキ ン グ零 点 と同様 の入 力 阻 止 作 用 を もつ が,阻. 止 で きる 入 力 に 制 約 を もつ[1].G(s)の. と す る.ま. 伝達. Zの. た,ベ. ク トルa=[ar…a1]の. 要 素aiは,. す べ て の 要 素 を根 とす る 実 係 数 の 多 項 式. 零 点 がzな らば,出 力 を0に で き る の は,あ る 特 定 の ベ ク トル η≠0に よ る入 力 ηeztの み で あ る .こ の場 合, 阻 止 し た い 信 号 の情 報(周 期 外 乱 の 場 合,振 を知 る必 要 が あ る.ブ で は,周 期 外 乱d(t)の. (10). 幅 と位 相). ロ ッキ ン グ零 点 を用 い た外 乱 除 去 振 幅dikと. の 係 数 で あ る 。 さ ら に,ベ. 位 相 θikの 情 報 は 必. 列 と す る.こ. 要 な く,角 周 波 数 ωikの み 知 っ て い れ ば よい. 2.2. 【 補 題1】. の と き,次. ク トルei∈Rrは. み. の 補 題 を 得 る(証 明 は 付 録2.).. コ ン ト ロ ー ラ(6)式. の伝達 関数 は. ブ ロ ッ キ ン グ零 点 配 置 問 題 の 定 式 化. まず,ブ. (11). ロ ッ キ ン グ零 点 の 配 置 問題 を定 式 化 す る.制. 御 対 象 がm入. 力 のn次. 元線 形 システム. で あ る.た. だ し,. (5). (12) で あ る.さ. で 与 え られ る場 合 を考 え る.本 論 文 で は,議 論 を簡 単 に す る た め,制 御 対 象 の 出 力y(t)は る.こ. の 第i. こで,x(t)∈Rnは. り,(A,B)は. zi∈Zに. 状 態 で あ る も の とす. 状 態,u(t)∈Rmは. ら に,λ(V+WK2)〓Zな 対 しK(zi)=0と. (注 意1)参. 入 力で あ. 考 文 献[6,7]で. ら ば,す. べ ての. な る. は,ブ. ロ ッ キ ング 零 点 を 原. 点 に 配 置 す る コ ン トロ ー ラ と し て 設 計 パ ラ メ ー タA,B. 可 安 定 で あ る と仮 定 す る.こ の 制 御 対 象. を用 い た コ ン トロ ー ラ. (5)式 に対 して,(1)式 の ブ ロ ッキ ン グ零 点 を指 定 す る と こ ろ へ 配 置 す る安 定 化 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク コ ン トロー ラ. {. ξ(t)=Aξ(t)+Bx(t). を 求 め る ブ ロ ッ キ ン グ零 点 配 置 問 題 を考 え る.な お,配. u(t)=Aξ(t)+Bx(t). 26. ' detA≠0.
(3) 161. 滝 本 ・山 本: 動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク に よ る ブ ロ ッ キ ン グ零 点 配 置 が 扱 わ れ て い る.こ と 一 致 す る.実. れ は 提 案 手 法 でZ={0}と. 際(6)式. と な り,K2とK1が つ ぎ に,コ. した 場 合. 則 な の で,(A,B)は. に お い てV=0,W=1,U=0 そ れ ぞ れAとBに. ン ト ロ ー ラ(6)式. 補 題1よ. 対 応 す る.. ら ば,仮. を 用 い て 制 御 対 象(5)式. の 安 定 化 問 題 を 考 え る.(5)式. と(6)式. り,コ 定1の. を み た す.よ. の 閉 ル ー プ 系 は,. 可 安 定 で あ る.つ ン ト ロ ー ラ(6)式. ぎ に,(ii)を. も と で す べ て のzi∈Zに. っ て,安. 対 しG(zi)=0. 定 化 ゲ イ ンKが. を み た す な ら ば,(6)式. 示 す.. が λ(V+WK2)〓Zな. λ(V+WK2)〓Z. の コ ン ト ロ ー ラK(s)は. 問 題1. の 一 つ の 解 と な る.. (13). 2.4. □. 離 散 時 間 シ ス テム. 離 散 時 間系 にお け る ブ ロ ッキ ン グ配 置 問 題 とそ の 解 に と な る.さ. ら に,(13)式. つ い て も,連 続 時 間系 の 場 合 と同様 に示 す こ とが で きる.. は,. 離 散 時 間 動 的状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク コ ン トロ ー ラ を. (14) と変 形 で き る.た. (16). だ し,x(t)=[x(t)Tξ(t)T]T,. とす る と き,定 理1と るK=[K1」K2]を で あ る.(14)式. は,定. 数 ゲ イ ンKを. 用 い た状 態 フ ィー. ドバ ッ クu(t)=Kx(t)とx(t)=Ax(t)+Bu(t)と. の 閉. ル ー プ 系 そ の も の で あ る.よ パ ラ メ ー タK1,K2は,定 Kに. っ て,コ. ン トロ ー ラ(6)式. な らば,コ. の. み た す 制 御 対 象P(s)とZが. え ら れ る も の と す る.こ. の と き,以. み たす. と同 じ手 順 で 示 す こ と. が で き る た め,詳 細 は 割 愛 す る.) (注 意2)参. 数 状 態 フ イ ー ドバ ッ ク ゲ イ ン. 仮 定1を. 漸 近安 定化 す. ン トロー ラ(16)式 は ブ ロ ッ キ ン グ零 点 配 置 問. 題 の 一 つ の解 と な る.(2.2,2.3節 考 文 献[13]で. は,1入. 力 多 出力 の制御 対. 象 に 限 定 して,出 力 フ ィ ー ドバ ック に よ る ブ ロ ッ キ ン グ. よ る 安 定 化 問 題 を 解 く こ と で 求 め る こ と が で き る.. 【 定 理1】. 同 様,A+BKを 求 め,λ(V+WK2)〓Zを. 零 点 配 置 問題 が 扱 わ れ て い る.提 案 手 法 と比 較 す る た め. 与. に,状 態 が す べ て 観 測 で き る もの と して参 考 文 献[13]の. 下 が 成 り 立 つ.. コ ン トロ ー ラの 次 数 を求 め る と,そ れ は 制 御 対 象 の 次 数 (i) 閉 ル ー プ 系(14)式 ゲ イ ンKが. を 漸 近 安 定 化 す る フ ィ ー ドバ ッ ク. 存 在 す る.. (ii) 安 定 化 ゲ イ ンK=[K1K2]が を み た す な ら ば,(6)式 題1の. 提 案 手 法 の コ ン トロ ー ラ の次 数 はrで. λ(V+WK2)〓z の コ ン トロ ー ラK(s)は. 問. 3.. 一 つ の 解 で あ る.. (証 明)ま. ず,(i)を. ル ー プ 系(14)式 Kが. nと 配 置 す る 零 点 の 個 数 γ との 和n+rと. な る.一 方,. あ る.. 数値例. 2.1 節 の外 乱 除 去 問 題 の 数 値 例 を示 す.制 御 対 象 は,. 示 す.(A,B)が. 可安定であれば閉. 不 安 定 な2次 の 連 続 時 間 線 形 シ ス テ ム. を漸 近 安 定 化 す る フ ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ン. 存 在 す る の で,(A,B)の. 可 安 定 性 を調 べ る.(A,B). (17). の 可 安 定 性 の 仮 定 か ら,∀s∈C+:={s∈C￨Re(s)〓0} に 対 し てrank[A‑sInB]=nが. 成 り立 つ.こ. こ で,. と し,周 期 外 乱 は. (15) の 関 係 を 用 い る と(詳. 細 は 付 録3.に. 示 す),∀s∈(C+＼Z. とす る(Fig.1).こ. に対 して. の 周 期 外 乱 の 角 周 波 数0,π. 設 計 に 使 用 で き る も の とす る.以. πj}. のす べ て の要 素 に ブ ロ ッ キ ング 零 点 を 配 置 す る安 定 化 コ. rank[A‑sIn+mrB]. ン ト ロ ー ラ(6)式. =rank[A‑sInφ(s)B]+rm. =rank[A‑sInB]+rm. (10)式. =n+rm. と な り,s∈Zの. が制御器. 下 で は,Z={0,±. を 求 め る.. は φ(s)=s3+π2sで. あ る の で α=[0π20]. と な る.m=1,r=3で. あ る か ら,(14)式. と な る.λ(A)=‑0.78,. 1.28〓Zな. のA,Bは. と き,. rank[A‑sIｎ+mrB]. =rank[A‑sInφ(s)B]+rm. =rank[A‑sIn]+rm と な る.よ. っ て,仮. 定1よ. りs∈Zに. 対 しsI‑Aが. 正. A+BKを 27. 漸 近 安 定 化 す るKを. の で,定. 理1よ. り. 求 め る こ と が で き る..
(4) 162. シ ス テ ム制 御 情 報 学 会 論 文 誌. こ こ で は,評. 価 関 数〓 ∞(xTQx+uTRu)dtを. 最小 化 す. る 最 適 レ ギ ュ レ ー タ と し て 安 定 化 ゲ イ ンKを 重 み をQ=diag(1,1,1000,1,1),R=1と. を み た す.し. 求 め た.. 参 考 文 献 [1] 須 田:制. 定 ま る コ ン ト ロ ー ラ(6)式. のK=[K1K2]の. は,問. 題1の. 一 つ の 解 で あ る.. テ ム(17)式. に 適 用 し た と き の 時 間 応 答 をFig.2に. Fig.2は,制. 御 対 象 の 入 出 力u(t),x(t)=[x1(t)x2(t)]T. を シス 示 す.. と 観 測 値yd(t)=x(t)+d(t)=[yd1(t)yd2(t)]Tの. 時 間. 応 答 で あ る.(破 線 は そ れ ぞ れx2(t),yd2(t)を. 示 す.)Fig.2. か ら,提. 案 手 法 に よ っ て 制 御 対 象 の 入 出 力u(t),x(t)は. 共 に0に. 収 束 し て い る こ とが わ か る.し. た が っ て,ブ. ロッ. キ ン グ 零 点 を もつ 動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク コ ン トロ ー ラ に よ っ て,観. 測 外 乱d(t)の. 測 と 制 御,Vol.29,. [2] A. S. Bazanella, P. V. Kokotovic and A. S. E. Silva: On the control of dynamic systems with unknown operating point; International Journal of Control, Vol. 73, No. 7, pp. 600-605 (2000) [3] M. A. Hassouneh, H.-C. Lee and E. H. Abed: Washout filters in feedback control: Benefits, limitations and extensions; Proceedingsof the American Control Conference, pp. 3950-3955 (2004) [4] T. Takimoto and S. Yamamoto: An active control method for oscillatory motions in human behavior; Proc. of SICE Annual Conference 2005, pp. 31953198 (2005) [5] T. Takimoto, S. Yamamoto and H. Oku: Tuning of washout control for manual operations via closedloop identification; Proceedings of the 3rd International Symposium on Systems and Human Science (SSR2006) (2006) [6] T. Takimoto and S. Yamamoto: Reduced-order washout controllers stabilizing uncertain equilibrium points; Proceedingsof the American Control Conference, pp. 5390-5393 (2007). 値で. こ の 動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク コ ン トロ ー ラ(6)式. 御 系 に お け る 零 点[1];計. No.2,pp.157‑165(1990). の で,λ(V+WK2)〓Z. た が っ て,(18)式. (2008). し た と き,. の と き,. の 固 有 値 は1.45,0.88±4.58jな. 第5号. 用 な どが 考 え られ る.. (18) を 得 た.こ. 第21巻. 影 響 を排 除 で き て い る こ と. が わ か る.. [7] 滝 本,山. 本:ウ. ォッ シ ュ ア ウ ト制 御 に よ る不 確 か な 平 衡. 点 の 安 定 化;計 測 自 動 制 御 学 会 論 文 集,Vol.43,No.12, pp.1120‑1126(2007). Fig.2. [8] K. Pyragas: Continuous control of chaos by self-controlling feedback; Physics Letters A, 170, pp. 421-428 (1992) [9] H. Kokame, K. Hirata, K. Konishi and T. Mori: State difference feedback for stabilizing uncertain steady states of non-linear systems; International Journal of Control, Vol. 74, No. 6, pp. 537-546 (2001) [10] H. Kokame, K. Hirata, K. Konishi and T. Mori: Difference feedbackcan stabilize uncertain steady states; IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 46, No. 12, pp. 1908-1913 (2001). Time responses for the system (17) with the pro‑ posed controller. [11] 滝 本,山 本:ブ ロ ッキ ン グ 零 点 を複 数 もつ 動 的 状 態 フ ィ ー. 4.. ドバ ッ ク コ ン トロ ー ラ の 設 計 法;第51回. お わ りに. シス テ ム制御. 情 報 学 会 研 究 発 表 講 演 会 論 文 集,pp.399‑400(2007). 本 論 文 で は,状 態 ブ イ ー ドバ ック に よ っ て 閉 ル ー プ系. [12] 平 田:H∞. の ブ ロ ッキ ン グ零 点 を配 置 す る 問題 を考 え,そ の解 の 一 つ と して,動 的 状 態 フ ィ ー ドバ ック コ ン トロ ー ラの 構 造. (2005). を 与 え た.こ の 動 的状 態 フ ィー ドバ ッ ク コ ン トロ ー ラ の. [13] 平 田:補. に,ブ. 間 を用 い た サ ンプ ル 値 遅 延 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御. 器 の 一 設 計 法;シ. 設 計 パ ラ メ ー タ は,定 数 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク の安 定 化 問 題 を解 くこ と に よ り決 定 で き る と い う特 徴 を もつ.さ. 遅 延 フ ィ ー ドバ ック コ ン トロ ー ラ の 設 計;第. 5回 計 測 自 動 制 御 学 会 制 御 部 門 大 会 資 料,pp.359‑364. ス テ ム 制 御 情 報 学 会 論 文 誌,Vol.20,. No.9,pp.376‑383(2007). ら. ロ ッキ ン グ零 点 の 配 置 問 題 を動 機 づ け た観 測 出力. 付. 録. に含 まれ る周 期 外 乱 の 除 去 問題 を例 と して と りあ げ,数 付 録1.. 値 シ ミ ュ レー シ ョ ン に よ っ て提 案 手 法 の 有 効 性 を確 認 し た.今 後 の 課 題 は,出 力 フ ィ ー ドバ ック 問 題 へ の拡 張 や. 付 録2.と. ロバ ス ト制 御 の 適 用,安 定 化 手 動 操 作 の支 援 制 御 へ の 適. 行 列U,V,W,Xの 28. 準備 付 録3.の. 証 明 に 必 要 な(7)〜(9),(12)式 関 係 を 示 す.. の.
(5) 滝 本 ・山本:. 【 補 題2】. 163. 動 的状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク に よ る ブ ロ ッ キ ン グ 零 点 配 置. 以 下 の式 が 成 り立 つ.. (A1) (A2). (証 明)(A1)式. は,ク. と な る の で(A5)式. (A3). 付 録2.. (A4) (A5). 初 期 値 を0と. が 成 り立 つ.. 補 題1の. □. 証明. して(6)式 を ラ プ ラス 変 換 す る と,. (A6). (A7). ロ ネ ッ カ 積 の 性 質:(A(×)B)T=. AT(×)BT,(A(×)B)(C(×)D)=(AC)(×)(BD)を. 用 い る と, が 得 ら れ る.こ (A1)式. こ で,(A6)式. の 左 か らVTを. か け て,. を用 い る と. (A8) が 得 ら れ る.同 か ら 導 け る.同. 様 に,(A2)式. は. (A1)式. 様 に(A6)式. の 左 か らWTを. か け て,. を用 い る と. (A9) と な る.つ. ぎ に,(A7)式. は(A9)式. を 用 い る と,. u(s)=(U+sWT)ξ(s) か ら得 ら れ る.さ. ら に,(A3)と(A4)式. 積 の 性 質:A(×)B+A(×)0=A(×)(B+C)を. は,ク. ロネ ッカ. と な る.こ. 用 い て,. こ で,正 則 な行 列I‑sVT(対. 角 成 分 に1が. 並 ぶ 下 三 角 行 列)を 用 い る と, u(s)=(U+sWT)(I‑sVT)‑1(Ｉ‑sVT)ξ(s) と 変 形 で き る.こ. の と き,(A8)と(A4)式. を 用 い る と,. u(s)=(U+sWT)(I‑sVT)‑1(I‑VTV)ξ(s) =(U+sWT)(I‑sVT)‑1XTXξ(s) を 得 る.さ. ら に,(A5)式. を 用 い る と,. (A10) と 変 形 で き る.よ. っ て,(A6)と(A10)式. か ら伝 達 関 数 は. (A11) と な る.最. 後 に,(A5)式. 成 分 が す べ て1の た,I‑sVTの. を 導 く.行. 列I‑sVTは. 対 角. と な る.こ. 下 三 角 行 列 で あ る た め 正 則 で あ る.ま. こ で,(10)式. で,λ(V+WK2)〓Zな. 逆 行 列 は,. K(zi)=0を. 付 録3.. よ り φ(Zi)=0,∀zi∈Zな ら ば,す. べ て のzi∈Zに. み た す.. (15)式 の 証 明. 次 の 補 題3を. 用 い る と,. rank[A‑sIn+mrB]=rankZ(s) と な り,さ と 得 ら れ る.よ. っ て,. らに. rankZ(s)=rank[A‑sInφ(s)B]+rank(Irm) =rank[A‑sInφ(s)B]+rm と な り,(15)式. 29. が 示 さ れ た.. の 対 し.
(6) シス テム制御 情報 学 会論 文誌. 164. 【 補 題3】. 第21巻. 第5号. (2008). 以 下 の 式 が 成 り立 つ.. (A12) た だ し,. と な り,(A12)式. で あ り,Z1とZ4(s)は (証 明)(A12)式 か らZ2(s)を. 任 意 のsに. が 導 け る.V+WXの. 対 し正 則 行 列 で あ る.. の 右 辺 を 計 算 す る.ま. ず,Z(s)の. 左. か け る と, で あ る こ と か ら,[ere1…er‑1]の る.ま べ て1と. と な る.上. 式 の 右 か らZ3を. と な る.さ. ら に,上. か け,(A5)式. 式 の 右 か らZ4(s)を. を 用 い る と,. か け,(A4)式. を 用 い る と,. が 得 ら れ る.こ (A3)式. 正 則 性 は,. こ で,上. 式 の 左 か らZ1を. か け,(A2),. を 用 い る と,. 30. た,Z4(s)の. 正 則 性 は,I‑sVTが. 正 則 性 と等 価 で あ 対 角 成 分 をす. す る下 三 角 行 列 で あ る こ とか ら明 らか .. □.
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