二 進 展 開 量 子 化 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク制 御 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ安 定 性 *
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(2) 西 垣 内 ・山 本:二. 1.1. 進 展 開 量 子 化 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク制 御 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ安 定 性. 295. 表記. 本 論 文 で はZは の 集 合,Rは. 整 数 全 体 の 集 合,Z+は. 正 の整数全体. 実 数 全 体 の 集 合 と し,Cは. 複 素数全 体 の. 集 合 とす る.ま た,集 合Xの. 補 集 合 をXcと. 表す ことに. 二 進 数 で 表 示 す る 場 合 は 数 字 末 尾 にbを. 付 けて表 す. す る.. (た と え ば10.1101b). 行 列X={xij}∈Rm×nに. 対 し1ノ ル ム,2ノ. Fig.. 1. The. quantized. Fig.. 2. The. quantizer. feedback. system. ル ム,. ∞ ノ ル ム を そ れ ぞ れ 次 の よ う に定 義 して 用 い る.. (1) (2) (3) た だ し λmaxは 対 称 行 列 の 最 大 固 有 値 を表 す.. を考 え る(Fig.2).各. さ ら に,η ∈Rに 対 し 「 η1〓min{ξ ∈Z:ξ ≧ η},[η]〓. considered. in 2.2. チ ャ ネ ル は 次 の よ う な実 数 値 か ら. 離 散 値(浮 動 小 数 点 表 現)へ の 写 像 とす る.. max{ξ ∈Z:ξ ≦ η}と 定 義 す る. 本 論 文 で は,logと. 表 記 した場 合 は す べ て底 が2の. (9). 対. 数 を示 す もの とす る.. た だ しS〓{+1,‑1}は. 行 列X∈Rn×nが あ る こ と をX>0(≧0)に トルx∈Rnに. 2. 2.1. よ っ て 表 記 す る.な お,ベ. 対 してx>0と. 要 素xiがxi>0を. 符 号 部 集 合,. 正 定 対 称 行 列(準 正 定 対 称 行 列)で ク. 表 記 す る と きは,す べ て の. (10). 満 た す もの とす る.. 量 子 化 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 系 は要 素 数2M+1(M∈Z+)の. 仮 数 部 集 合,. 制 御 対 象 と制 御 器. 制 御 対 象 は状 態x∈Rnが. (11). 観 測 で きる 線 形 時 不 変 な離. 散 時 間系 で,A∈Rn×n,B∈Rn×mに. よ っ て,. は指 数部 の下 限 を 旦とす る指 数 部 集合 で あ る.入 力xi∈R に対 す る 出 力qi(xi)の 浮 動 小 数 点 表 現 は. (4) と記 述 で き る もの とす る.ま た(A,B)は. (12). 可安 定で で あ る.符. (5) を安 定 とす る ゲ イ ン.F∈RmXnが 制 御 入 力u∈Rmは,次. の2.2で. 号 部Si(xi)∈Sは. 次 の よ う にxiの. 符 号 を 表 す.. 存 在 す る と仮 定 す る.. (13). 与 え られ る量 子 化 器Q. に よ っ て 量 子 化 され た状 態 の フ ィー ドバ ッ ク. 非 零 のxiに. 対 す る 仮 数 部mi(xi)∈Mは￨xi￨bの. ビ ッ トか ら.M+1ビ. (6). 最 上 位 ビ ッ ト(MSB)を1に. で 生 成 され る とす る.こ れ に よ り閉 ル ー プ系 は. 数 はMで. あ る.こ. 固 定 す る た め,有. の こ と か ら 指 数 部ei(xi)∈. と 量 子 化 器 の 性 能 限 界 を 表 すeと. (7). 上 位. ッ ト分 ま で の 二 進 数 とす る.た. ε は,xi. (14). 量子化器. に 従 っ て 決 定 さ れ る.こ. 本 論 文 で は量 子 化 器 は 理想 的 なAD変 各 チ ャネ ル が 独 立 のnチ. 効 ビ ッ ト. に よっ て. と な る(Fig.1). 2.2. だ し. 換 器 を想 定 した,. 化 す るAD変. ャネルの量子化器. れ は￨xi￨の. 換 の ス ケ ー リ ン グ に 対 応 す る.指. ス ケ ー リ ン グ に 基 づ い て,qi(xi)が 非 零 の 絶 対 値 は1.0…Ob×2eで. (8). qi(0)=+1×0.0…Ob×2eと. 19. 大 き さ に応 じて 変. あ る.xiが す る.. 数部 の. 表 現 で きる最小 の 零 の 場 合 は,.
(3) シス テム制御 情 報学 会論 文誌. 296. 以 下 で は(12)式 の代 わ りに,二 進 展 開 を用 い て解 析 す. 第21巻. 第9号. (2008). と定 義 す る と閉 ル ー プ系(7)式. は. る.二 進 展 開 で. (21). (15) と表 さ れ る と き,(12)式. と な る.(21)式. に対 し. (22). は. が 一 般 に成 り立 つ. 【 補 題1】. (16). 有 効 ビ ッ ト数Mの. 量 子 化 信 号Q(x)と. 二 進 展 開量 子 化 器Qの. 量 子 化 誤 差e(x)に. つ い て,. (23). と表 現 で きる.以 下 で は 次 の ベ ク トル を定 義 し用 い る. と定 義 す る と次 が 成 り立 つ.. (17) (18) Fig.3にe=‑1,M=1の. 場 合 のQ(x),e(x)を. (24). 示 す.. (25) (証 明)ま. ず. (26) と す る.す. な わ ち￨￨x￨￨∞=￨xe￨.す. log(・),[・]の. る と(14),(18)式. と. 単 調 性 よ り. (27) が 成 り立 つ. x∈ Σcの. か ら. (28). Fig. 3 The quantized signal Q(x) and the exponent e(x) whene=-1, M=1. 3.. と き,(23)式. で あ り,(14),(28)式. とM≧1よ. り. (29). 終局 有界性 の ための十分条件 な の で,. 終 局 有 界 性[3]を 次 の よ う に定 義 す る1. 【 定 義1】. シ ス テ ム(7)式. は 次 の 条 件 を満 た す と き,. κ 内 で 終 局 有 界 で あ る と い う.あ る有 界 閉 集 合xが 在 して 任 意 の 初 期 状 態x(0)=xo∈Rnに. 存. 対 し,. (30). (19) で あ る. で あ る.ま. こ こ で は ノ ル ム に よ り表 され る終 局 有 界 条 件 との 行 列 不 等 式 に よ り表 さ れ る終 局 有 界 条 件 の2通 を 導 出 す る.本 節 で は(k)を x(k+1)を 3.1. た 次 が 成 り立 つ.. りの 安 定 条 件. 基 本 的 に 省 略 し,x(k)と. 単 にそ れ ぞ れxとx+と. 表 記 す る.. ノル ム に よる終 局 有 界 条 件. 量子化誤 差 を. (20) (31). 1こ の よ う な有 界 性 は あ る種 の 安 定 性 と と ら え る こ と も で き,ラ. x∈ Σ の と き,(23)式. グ ラ ン ジ ュ 安 定 性 と よ ば れ て い る. 20. よ り次 式 が 成 り立 つ..
(4) 西 垣 内 ・山 本:二. 297. 進 展 開 量 子 化 状 態 フ ィー ドバ ッ ク制 御 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ 安 定 性. 定 理1の(34)式. 在 を要 求 す る.と こ ろ が,(A,B)が. (32) ま た,maxiei=[log(maxi￨xi￨)」<e+Mよ. は￨￨A+BF￨￨∞<1を. られ る と きそ の よ うなFは. り. 理2は. 満 た すFの. 存. 可到 達 正 準 形 で 与 え. 存 在 しな い.つ. ぎに述 べ る 定. そ の よ うな制 御 対 象 で あ っ て も適 用 が 可 能 で あ る.. 3.2. 行 列 不 等式 に よる終 局 有 界 条 件. まず,状 態xと. 量 子 化 誤 差e(x)の. 関係 を. (39) (33). 【 補 題2】. □. が 成 り立 つ.. 補 題1に. と表 す と,△(x)の. 大 き さ に つ い て 次 の補 題 が 成 立 す る.. 有 効 ビ ッ ト数Mの. 二 進 展 開 量 子 化 器 で は,. (39)式 の △ は. 注 意 す る と,閉 ル ー プ系 の終 局 有 界 性 につ い. て 次 の 定 理 が 導 け る. 【 定 理1】. (40). 有 効 ビ ッ ト数Mの. 二 進 展 開量 子 化 器Qを を 満 た す.た. 有 す る 閉 ル ー プ系(7)式 は,. だ しp=1,2,∞. で あ る.. (証 明). (34) を 満 た す ス カ ラ α ∈[0,1)が. (41). 存 在 す る と き,. (35). な の で,. 内 で 終 局 有 界 で あ る. (証 明)(i)x∈. Σcの. と き を 考 え る.(34)式. よ り. (36) が 成 り 立 つ.一. で あ る か ら,(24)式. 方,x∈. Σcよ. りx≠0で. あ り,￨￨e(x)￨￨p≦. よ り ￨￨△(x)￨￨p￨￨x￨￨Pよ. り. (42) が 成 り立 つ.こ 成 り立 つ.と. れ と(22)式. よ り￨￨x+￨￨∞<α￨￨Q(x)￨￨∞. こ ろ が￨￨Q(x)￨￨∞. α￨￨x￨￨∞ と な る.し. が. な の で,(40)式. ≦￨￨x￨￨∞ な の で,￨￨x+￨￨∞<. た が っ て,初. 期 状 態x(0)=xo∈. Fig.4は Σc. 化 さ れ た 値x(階. か ら始 ま る状 態 は. の 点 線)お. (39)式 と す る と,x(T(x0))∈ (ii)つ ぎ にx∈. 段 型 の 実 線),量. よ び2‑Mx(鎖. に お い て は 同 く2‑1￨x￨が. (37). □. が 証 明 さ れ た.. ス カ ラ 値x∈[‑3,3]がM=1,e=‑1で. を用 い る と,閉. 線)を. 量子. 子 化 誤 差e(ノ. コ ギ リ型. 表 し て い る.￨x￨≧20=1. 成 り立 つ こ と が わ か る. ル ー プ 系(7)式. は 次 で 表 せ る.. Σ と な る.. Σ の と き は,(22),(25)式. よ り. (38) と な り,(34)式 す な わ ちx∈. を 使 う と￨￨x+￨￨∞<α2e+Mが Σ ⇒x+∈xが. 成 り 立 つ.こ. で あ る か ら,x∈X⇒x+∈Xと. な る.以. ら,x0∈Xの x0∈Xcの. こ でx⊂. と き は,す. り,(34)式. こ と が わ か る.さ. あ り,. べ て のk≧T(x0)+1でx(k)∈X. ル ー プ 系(7)式. 効 ビ ッ ト数Mを. Σ. 上 の こ とか. と き は す べ て のk≧1でx(k)∈Xで. と な る の で,閉 定 理1よ. 成 り 立 つ.. は 終 局 有 界 性 と な る.□. を満 た す α が 存 在 す る よ う に 有. 決 め れ ば,シ ら にx∈. Fig. 4 The signal x and the quantization 1, e=-1). ス テ ム が 終 局 有 界 とな る. Σcに. お け る￨￨x￨￨∞ の 減 少 の. 割 合 を α に よ っ て 決 定 す る こ と が で き る.. 21. error e (M=.
(5) シ ステ ム制御 情報 学会 論文 誌. 298. 第21巻. 第9号. (2008). (43) 【定 理2】. 有 効 ビ ッ ト数Mの. 有 す る 閉 ル ー プ系(7)式. 二 進 展 開 量 子 化 器Qを. を考 え る.も. し行 列 不 等 式. と な り,Schur補. 元 を 用 い てP〓II‑1と. す る と. (50). (44) を 得 る.つ 2‑Mな を 満 た す 正 定 対 称 行 列IIと な ら ば,P〓II‑1と. ス カ ラ α ∈(0,1)が. し,V(x)〓xTPxと. ぎ にx￠. の で(50)式. Σ の と き,(40)式. よ り￨￨△(x)￨￨2<. を用 い る と. 存在 する. す る と,次. が. 成 り立 つ. (i) 閉 ル ー プ 系(7)式. に お い て 次 式 が 成 り立 つ.. (45) (ii) 閉 ル ー プ 系(7)式 る.た だ し,. は 有 界 集 合X内. と な る.よ. っ て,V(x+)<(1一. (ii‑a)xが. で終局 有界 とな. 不 変 集 合(x∈X⇒x+∈X)で. Σcの 場 合:x∈. (46). よ りV(x+)<(1‑α)V(x)で,x∈Xで. (47). よ りV(x)=xTPx≦Vで. あ る こ とを. この 定 理 の 証 明 に は次 の補 題[9]が 必 要 で あ る.. (a‑2)x∈X∩. Σcで あ る か ら,(45)式 あ る か ら(46)式. あ る.し. で あ る か らx+∈Xと. 行 列U,V,Y,△. あ る.. 示 す. (a‑1)x∈X∩. 【 補 題3】. α)V(x)で. た が っ てV(x+)≦V. な る.. Σ の 場 合:x∈. Σ であ るか ら. につ い て,以 下 の 二 つ の 条. 件 は等 価 で あ る. (i) 任 意 の￨￨△￨￨2≦. (51). γ に 対 しY+U△V+VT△TUT<0. (ii) ∋β(∈R)>0s.t.γ2UUT+βY+β2VTV<0 こ の 補 題3を. 用 い て,定. (証 明)(i)(44)式 す る と き,Schur補. 理2は. と な る の でx+∈Xで. 以 下 の よ う に 証 明 で き る.. を 満 た すII>0と. α ∈(0,1)が. x∈X⇒x+∈Xで. 存在. あ る.以. ら 始 ま る 解 が 有 限 の 時 間 でXに. 到 達 す る こ と を 示 す.時 Xc∩. Σc,x(T)∈Xで V(x(T)). り,. あ る.. (ii‑b)x0∈Xcか 元 よ り次 が 成 り立 つ.. 上(a‑1)と(a‑2)よ. <. 刻0か. らT‑1ま. でx(k)∈. あ っ た と す る.(45),(46)式. (1‑α). TV. (x0). =. (1‑α). Tx0T. Px0. よ り ≦V. で あ る.こ の 不 等 式 を満 た す 最 小 の 整 数 は必 ず 存 在 し,. (52) と な る の で,x(T(x0))∈Xで 刻kでx(k)∈Xc∩. (48). Σ と な る 場 合 は,(a‑2)と. に よ りx(k+1)∈Xと 補 題3を. 用 い る と,す. べ て の￨￨△(x)￨￨2<2‑Mに. 以 上 よ り,(46)式. 対 し. T(x0)∀x0が. あ る.T‑1以. 前 のあ る時 同様 の 議 論. な る. で 定 義 さ れ るXに. 成 り立 ち,シ. 対 しx(k)∈X∀k≧. ス テ ム は 終 局 有 界 性 で あ る.. □ 定 理2よ. り,(44)式. を 満 た すII,α が 存 在 す る な ら. ば シ ス テ ム は終 局 有 界 で あ り,さ ら にx∈ Σcの と き は. (49). Lyapunov関. 数xTII‑1xが. 各 時 刻 ご とに(1‑α)の. で 減 少 す る こ とが 保 証 で き る.パ が 成 り立 つ.上 式 の両 側 か ら行 列. [ ] I0. 0II‑1. 割合. ラメ ー タ α の選 び方. に よ っ て状 態 の収 束 の 速 さ を決 定 す る こ とが で き,ま た. をかける と. (44)式 の 解 が 存 在 す る よ う に有 効 ビ ッ ト数Mを 決 定す る こ とに よ り閉 ル ー プ系 の終 局 有 界 性 が 保 証 で きる.. 22.
(6) 西 垣 内 ・山本:二. 4.. 進 展 開量 子 化 状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 系 の ラ グ ラ ン ジ ュ 安 定 性. 数値例. 参 考 文 献. 制御対象. と状 態 フ ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ンF=[‑3‑1.999]に e=‑6の. [1] S. Azuma and T. Sugie: An optimal dynamic quantizaion scheme for control with discrete-valued input; Proc. of the 2007 American Control Conference, pp. 3576-3581 (2007) [2] L. Bao, M. Skoglund and K. H. Johansson: A scheme for joint quantization, error protection and feedback control over noisy channels; Proc. of the 2007 American Control Conference, pp. 4905-4910 (2007) [3] F. Blanchini: Ultimate boundedness control for uncertain discrete-time systems via set-induced Lyapunov functions; IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 39, No. 2, pp. 428-433 (1994) [4] F. Bullo: Quantized control via locational optimization; IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 51, No. 1, pp. 2-13 (2006) [5] N. Elia and S. J. Mitter: Stabilization of linear systems with limited information; IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 46, No. 9, pp. 1384-1400 (2001) [6] M. Ishikawa, I. Maruta and T. Sugie: Practical controller design for discrete-valued input systems using feedback modulators; Proc. of the European Control Conference 2007, pp. 3269-3275 (2007) [7] D. Liberzon and D. Negie: Input-to-state stabilization of linear systems with quantized state measurements; IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 42, No. 5, pp. 767-781 (2007) [8] I. Lopez and C. T. Abdalah: Data rates conditions for network control system stabilization; Proc. of Mediterranean Conference on Control and Automation (2007) [9] I. R. Petersen and C. V. Hollot: A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems; Automatica, Vol. 22, No. 4, pp. 397-411 (1986). 対 し,. 量 子 化 器 を 用 い て 制 御 す る こ と を 考 え る.. 定 理1の. 条 件 を 満 た す 解 を 次 の 手 順 で 求 め た.. (1) α=1と. 固 定 し,条. のMを (2) Mを ま た,定 て,次. 件(34)式. を満 た す よ うな 最 小. 求 め る. 固 定 し,α:=2‑M￨￨A￨￨∞+1￨AF￨￨∞. 理2の. 条 件 を 満 た す 解 は,α=0を. の 手 順 を よ り小 さ なMが. と す る. 初 期値 とし. 求 ま ら な くな る ま で 反. 復 し て 求 め た. (1) α を 固 定 し,行. 列 不 等 式(44)式. す る よ う な 最 小 のMを (2) Mを. 固 定 し,(44)式. 結 果 は い ず れ も.M=6,α. の 解II>0が. 存在. 求 め る. を 満 た す 最 大 の α を 求 め る. は そ れ ぞ れ0.8812,0.1640で. あ っ た.Fig.5に,x(0)=[3.12345‑2.65432]Tの. き の 応 答 を 示 す.上 Lyapunov関 関 数Vが. 299. と. か ら順 に 状 態x,量. 数 の 値Vで 有 界 と な り,シ. あ る.状. 態xお. 子 化 誤 差e(x), よ びLyapunov. ス テ ムが 終 局 有 界 と な って い る. こ と が 確 認 で き る.. [10]. 新 銀,太. 田:量. 子 化 し た フ ィ ー ドバ ッ ク に よ る 外 乱 抑 制;. 計 測 自 動 制 御 学 会 論 文 集,Vol.43,No.8,pp.641‑645 (2007) [11]. 木 村,松. 永,小. ド ゥ ェ ァ],オ. Fig.. 5.. 5. A numerical. example. お わ りに. 本 論 文 で は 二 進 展 開 量 子 化 器 を帰 還 路 に持 つ フ ィー ド バ ッ ク制 御 系 の 安 定 性 を考 察 した.状 態 を観 測 で きる場 合 に つ い て,量 子 化 器 の量 子 化 有 効 ビ ッ ト数 とゲ イ ン に 関 す る終 局 有 界 性 の十 分 条 件 を示 した.状 態 が 観 測 で き な い 場 合 の考 察,二 進 展 開 量 子 化 と安 定 性 以 外 の 制 御 性 能 との 関 係 の解 析 な どが 今 後 の 課 題 と して あ げ られ る.. 23. 澤,橋. 本:図. ー ム 社(2000). 解 コ ン ピ ュ ー タ 概 論[ハ. ー.
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