2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列（解答）

線形代数学

2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列（解答） 担当：市原

問題12 f( x1

x2

!

) = −x1+x2

x1+ 2x2

!

できまる写像をfとする.

(1)fが線形写像であることを示しなさい.

R²の任意のベクトル x1

y1

! , x2

y2

!

に対して,

f( x1

y1

! + x2

y2

!

) =f( x1+x2

y1+y2

!

) = −(x1+x2) + (y1+y2) (x1+x2) + 2(y1+y2)

!

= −x1−x2+y1+y2

x1+x2+ 2y1+ 2y2

!

f( x1

y1

!

) +f( x2

y2

!

) = −x1+y1

x1+ 2y1

!

+ −x2+y2

x2+ 2y2

!

= −x1−x2+y1+y2

x1+x2+ 2y1+ 2y2

!

よって,f( x1

y1

! + x2

y2

!

) =f( x1

y1

!

) +f( x2

y2

! )

また,R²の任意のベクトル x y

!

と任意の実数kに対して,

f(k x y

!

) =f( kx ky

!

) = −kx+ky kx+ 2ky

! ,

kf( x y

!

) =k −x+y x+ 2y

!

= k(−x+y) k(x+ 2y)

!

= −kx+ky kx+ 2ky

!

よって,f(k x y

!

) =kf( x y

! ).

以上より,fは線形写像.

(2)fの表現行列を求めなさい.

f( x1

x2

!

) = −x1+x2

x1+ 2x2

!

= −1 1

1 2

! x1

x2

!

より,fの表現行列は −1 1

1 2

!

問題13 g( 4

−1

! ) = 3

5

!

,g( −7 2

!

) = −1 3

!

できまる線形写像gの表現行列を求めなさい.

gは,R²からR²への写像なので,gの表現行列は a b c d

!

とおける.

仮定と表現行列の定義より, 8>

>>

><

>>

>>

: f( 4

−1

!

) = a b c d

! 4

−1

!

= 3

5

!

f( −7 2

!

) = a b c d

! −7 2

!

= −1 3

!

2つの式をまとめると, a b c d

! 4 −7

−1 2

!

= 3 −1

5 3

!

4 −7

−1 2

!−1

= 2 7

1 4

! より,

a b c d

!

= 3 −1

5 3

! 4 −7

−1 2

!−1

= 3 −1

5 3

! 2 7 1 4

!

= 5 17

13 47

!

よって,gの表現行列は 5 17 13 47

! .