線形代数学2 No.7 2004.11. 29
2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列
担当：市原¶ 線形写像 ³
ベクトル空間Rnからベクトル空間Rmへの写像f が, 次の2つの条件を満たしていると き,RnからRmへの線形写像という．
(1) 任意の2本のベクトルx,yに対し,f(x+y) =f(x) +f(y).
(2) 任意のベクトルxと任意の実数λに対し,f(λx) =λf(x)．
µ ´
例題 12 f(
x1 x2 x3
) =
à x1+x2−2x3
−3x1+ 5x2−x3
!
で決まる写像f :R3→ R2が線形写像である
ことを示しなさい.
¶ 表現行列 ³
線形写像f :Rn→Rmに対し,次をみたす(m, n)行列Aが存在する：
Rnの任意のベクトルxに対し,f(x) =Ax.
この行列Aを,線形写像fの表現行列という．
µ ´
例題 13 f(
x1 x2 x3
) =
à 4x1−x2+x3
−x1+ 2x2+ 9x3
!
で決まる線形写像f :R3 →R2 の表現行列を
求めなさい.
例題 14 f( Ã 1
2
! ) =
à −2
3
! , f(
à −1
3
! ) =
à 4 1
!
をみたす線形写像f :R2 → R2の表 現行列を求めなさい.
¶ 合成写像 ³
2つの写像f :Rn→Rm, g:Rm →Rpに対し,対応x7→g(f(x))によって決まる写像を fとgの合成写像といい,g◦f で表す.
µ ´
定理 5 (合成写像の線形性・表現行列)
• 2つの線形写像f, gの合成写像g◦f は線形写像.
• f の表現行列がA,gの表現行列がBならば,g◦fの表現行列はBA.
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線形代数学2 No.7 2004.11.29
2. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列
担当：市原問題 12 f( Ã 4
−1
! ) =
à 3 5
! , f(
à −7 2
! ) =
à −1 3
!
できまる線形写像をf とし,
g(
à x1 x2
! ) =
à −x1+x2 x1+ 2x2
!
できまる写像をgとする.
(1) gが線形写像であることを示しなさい.
(2) fとgの表現行列を求めなさい.
(3) 合成写像f◦g, g◦fの表現行列を求めなさい.
