線形写像

　　　　　　

線形写像

　線形写像

Ｕ，Ｖ：Ｒ上のベクトル空間 Ｔ：ＵからＶへの

（１）Ｔ（写像

ｕ

＋

ｖ）＝

Ｔ（

ｕ

）＋Ｔ（

ｖ

） 　　（

ｕ，ｖ

∈Ｕ），

（２）Ｔ（ｃ

ｕ

）＝ｃＴ（

ｕ

）　　（

ｕ

∈Ｕ，

ｃ

∈Ｒ）Ｔ：線形写

Ｔ（

０

像

^U

）＝Ｔ（０・

０ ^U

）＝０・

Ｔ（Ｕの零ベクトルをＶの零ベクトルに

０ ^U

）＝

０ ^V

うつす

Ｕ Ｖ

u v

u + v

写像Ｔ ^T(u)

T(v ) T(u + v )

T

_A

(x)=Ax (x ∈

Ｒ^ｎ

⁾ 　　　　Ａ： m×n 行列

Ｒ^ｎ

から

Ｒ^ｍ

への写像 T

_A

T

_A

( x

^＋ｙ

^)=A( x

^＋ｙ

^{)= A(x)} ＋ A( ｙ )= T

_A

(x)

＋ T

_A

( ｙ )

T

_A

(cx)=A(cx)= cA(x)= cT

_A

(x) (x ∈

Ｒ^ｎ

， c ∈ Ｒ )

( x

^，

ｙ

∈Ｒ

ｎ

)

　　線形写像の像と核

Ｉ m

（Ｔ）＝｛Ｔ（

ｕ

）

｜

ｕ

∈Ｕ｝

Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像

Ｉ m

（Ｔ）：Ｔの像　　（Ｔ

（Ｕ）とも書く）

Ｋ er

（Ｔ）＝｛

ｕ

∈Ｕ｜Ｔ

（

ｕ

）＝０

^v

｝

Ｋ er

（Ｔ）：Ｔの 核　

定理５ . １ . １

Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像

（１）Ｔの像 Ｉ

m

（Ｔ）はＶの部分空間で ある。

（２）Ｔの核

Ｋ er

（Ｔ）はＵの部分空間で ある。

　

Ｕ Ｖ

写像Ｔ ^Ｉ

_（Ｔ）

^m

Ｕ Ｖ

写像Ｔ

Ker

（Ｔ）

0

　線形写像の階数と退化次数

ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ

（Ｉ

m

（Ｔ））

Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｒａｎｋ（Ｔ）：Ｔの階数 ｎｕｌｌ（Ｔ）：Ｔの

退化次数　

定理５ . １ . ２

Ｕ，Ｖ：ベクトル空間

Ｔ：ＵからＶへの線形写像

　

ｎｕｌｌ（Ｔ）＋ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ

（Ｕ）．

ｎｕｌｌ（Ｔ）＝ｄｉｍ

（Ｋ

er

（Ｔ））

T

_A

(x)=Ax (x ∈

Ｒ^ｎ

⁾ 　　　　Ａ： m×n 行列

Ｒ^ｎ

から

Ｒ^ｍ

への写像 T

_A

Ｋ er （ T

_A ） ＝｛

x ∈

Ｒ^ｎ｜

Ax

＝

０

｝

A ＝ [ ａ

¹

ａ

²

・・・

ａ

ⁿ

]



Ｉ m

（

T

_A ）＝｛

A x

^｜

x ∈

Ｒ^ｎ｝＝｛

x

¹

ａ

¹

＋ x

²

ａ

^{2 ＋・・・＋}

^x

ⁿ

ａ

ⁿ

｜ x

¹

,

・・・

,x

ⁿ

∈

Ｒ｝

解空間

列ベクトルで生成されるＲ^ｍの部分空 間

2

1 3

2

1 3

2 3

3 2

x

x x

x

x x

 

  

 Ａ＝ 2 -3 -1

1 2 -3

x

1

x

2

x

3

x =

Ｗ＝｛

x ^{∈ Ｒ}

^{3 ｜Ａ}

x

^＝

０

｝

1

.

(i) x

^＝

^０

^{を代入。　Ａ}

^０

^＝

^{０ だから}

０ ∈Ｗ

(ii) x _， y _∈

Ｗ　とすると　

　　　　

Ａ ( x

＋

y ⁾

^＝Ａ

^x

^＋Ａ

y ^{＝ ０}

＋

０

＝

０

(iii) x ^∈

^{Ｗ，ｃ∈Ｒ　とす}

ると　

　　　　　　

だから　

x _＋ y _∈

Ｗ　

　　　　

Ａ ( ｃ x ⁾

＝ｃ

( Ａ x ⁾

＝ｃ

０

＝

０

だから　ｃ

x ^∈

^Ｗ

c

^１　　

+c

^２

+ c ³

＝

0 3

1 2

2 3 1

5 -3 4 2

.

c

1

c

2

c

3

3 1 2

2 3 1

5 -3 4

＝

0

3 1 2

2 3 1

5 -3 4 1

3 2

3 2 1

-3 5 1 3 -3 4 0 -7 14 0 -5 10 1 3 -3 0 1 -2 0 1 -2 1 0 3 0 1 -2 0 0 0

解が一意に定まらない。

c

^１ ＝

c

^２ ＝

c ³

＝

0

　 以外の解を持つから１次従 属

3

. 1 2 3 1 -5

2 0 -1 3 4 3 1 4 -7 10 1 2 3 1 -5 0 -4 -7 1 14 0 -5 -5 -10 25 1 2 3 1 -5 0 1 1 2 -5 0 -4 -7 1 14 1 0 1 -3 5 0 1 1 2 -5 0 0 -3 9 -6 1 0 0 0 3 0 1 0 5 -7 0 0 1 -3 2

x

4

 _c

１

x

5

 c

²

x

₁

+3 c

²

= 0

 ^x

₂

⁺ 5 c

¹

ー 7 c

²

= 0

 ^x

₃

ー 3 c

¹

+ 2 c

²

= 0

とする。

x

₁

= ー 3 c

²

 x

₂

= ー 5 c

¹

+ 7 c

²

 ^x

₃

⁼ 3 c

¹

ー 2 c

²

x

4

 _c

5 １

x  c

²

x

＝

c

^１　　

+c

２

0 -5 3 1 0

-3 7 -2 0 1

１組の基２次元

0

-5 3 1 0

-3 7 -2 0

，

1

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

c

１

c

²

　　

線形写像の表現行列

　表現行列

Ｔ：ＵからＶへの線形写像

｛

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ

｝：

｛

ｖ ¹

，・・・，Ｕの基

ｖ ^m

｝：Ｖの基

（Ｔ（ｕ

¹

），・・・，Ｔ（ｕ

ⁿ

））＝（ｖ

1

，・・・，ｖ

^m

）Ａ

（Ａ：ｍ

×

ｎ行列）

行列Ａ：Ｕの基｛

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ

｝，Ｖの 基｛

ｖ ¹

，・・・，

ｖ ^m

｝　　　　

　　　　　に関するＴの表現行列

Ｕ Ｖ

u

₁

写像Ｔ ^T(u

¹

⁾

T(u

_i

) T(u

_n

)

u

_i

u

_n

v

₁

v

_i

v

_m

（Ｔ（

u

₁ ），・・・，Ｔ（

u

_n ））＝（

v

1 ，・・・，

v

_m ）Ａ

例）

Ｔ：Ｕ＝Ｒ^２からＶ＝Ｒ^３への線形写 像 Ｔ（

ｘ

）＝　　

　　　　

ｘ

2 1 3 0

標準基

4 3

ｅ^１＝　　　，ｅ

1

^２＝

0

0

1 ｅ’

^１＝　　

, ｅ’

^２

＝

, ｅ ’ ³

＝

1

0 0

0 1 0

0 0 1 ( Ｔ ( ｅ ¹ )

，Ｔ

( ｅ ² )) ＝

( ｅ ’ ¹

，ｅ’

²

，ｅ’

3)

2 1 3 0 4 3

標準基に関するＴの表現行列　　 Ａ＝　　

2 1

3 0

4 3

　表現行列と基の変換行列

Ｔ：ＵからＶへの線形写像

｛ｕ

¹

，・・・，ｕ

ⁿ

｝， ｛ｕ

’

1

｛，・・・，

ｖ ¹

，・・・，

ｕ ’ ⁿ

｝ ：Ｕの基

ｖ ^m

｝， ｛

ｖ ’

1

，・・・，ｖ

’ ^m

｝ ：Ｖの基

行列Ｐ，Ｑ：基の変換行 列

（

ｕ ’ ¹

，・・・，

ｕ ’ ⁿ

）＝（

ｕ

1 _（

，・・・，

ｖ ’ ¹

，・・・，ｖ

ｕ ⁿ

）Ｐ

’ ^m

）＝

（ｖ（Ｐ，Ｑ：正則行

¹

，・・・，ｖ

^m

）Ｑ 列）

Ｕ Ｖ

e

₁

写像Ｔ ^T(e

¹

⁾

T(e

_i

) T(e

_n

)

e

_i

e

_n

e’

1

e’

i

e’

_m

Ｕ Ｖ

u

₁

写像Ｔ ^T(u

¹

⁾

T(u

_i

) T(u

_n

)

u

_i

u

_n

v

₁

v

_i

v

_m

表現行列Ａ

表現行列Ｂ

変換行列Ｐ 変換行列Ｑ

定理５ . ２ . ２

　

　　　　　　　　　Ｂ＝Ｐ

^－１

ＡＰ．

定理５ . ２ . １

Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像

　

　　　　　　　　　Ｂ＝Ｑ

^－１

ＡＰ．

Ｂ：

{ ｕ ’ ¹

，・・・，

ｕ ’ ⁿ },{ ｖ ’ ¹

，・・・，

ｖ ’ ^m }

に関する表現行列

Ａ：

{ ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ },{ ｖ ¹

，・・・，

ｖ ^m }

に関する表現行列

線形変換：ベクトル空間から自分自身への線形写 像

｛

ｕ 1

，・・・，

ｕ n

｝， ｛

ｕ ’ 1

，・・・，

ｕ ’ n

｝ ：Ｕの基

（

ｕ ’ ¹

，・・・，

ｕ ’ ⁿ

）＝（

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ

）Ｐ　（Ｐ：変換行列）

Ｂ：

{ ｕ ’ ¹

，・・・，

ｕ ’ ⁿ }

に関する表 現行列

Ａ：

{ ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ }

に関する表現行列

Ｐ＝［ｐ

ij ］ n ^x n

（Ｔ（

ｕ ’ ¹

），・・・，Ｔ（

ｕ ’ n

））

＝（Ｔ（ｐ

¹¹ ｕ

^{1 ＋・・・＋}

ｐ ⁿ¹ ｕ ⁿ

），

^・・・

，Ｔ（ｐ

1n ｕ ^{1 ＋・・・＋} ｐ ⁿⁿ ｕ ⁿ

））

＝ ( ｐ ¹¹ Ｔ ( ｕ ¹ ) ＋・・・＋ ｐ ⁿ¹ Ｔ ( ｕ ⁿ⁾

，

^・・・

，ｐ

1n Ｔ ( ｕ ¹ ) ＋・・・＋ ｐ ⁿⁿ Ｔ ( ｕ ⁿ

））

＝ ( Ｔ ( ｕ ¹ ),

・・・

, Ｔ ( ｕ n))

Ｐ

＝ ( Ｔ ( ｖ ( ｕ ¹

，・・・，

’ ¹ ), ・・・ , ｖ Ｔ ^m ( ｕ )

ＡＰ

’ n))

Ｐ＝

( ｖ ’ ^1, ・・・ , ｖ ’ ^m ( ) ｖ

Ｂ＝

¹ , _・・・ ( ｖ

¹

, , _・・・ ｖ ^m )

ＡＰ＝

, ｖ ^m )

ＱＢ

( ｖ

1

, ・・・ , ｖ ^m )

ＱＢ

Ｂ＝Ｑ^－１Ａ Ｐ

Ｔ（

ｘ

）＝　　　　　　

ｘ　 　

（

ｘ ∈ R

^２）

3 0 0 1

Ｔ

e

₁

e

₂

T(e

₂

)=e

₂

T(e

₁

)=3e

1

　　

固有値と固有ベクト

固有値と固有ベクト

ル

ルＴ：ベクトル空間Ｖの線形

変換Ｔ（

ｕ）＝ ^λ ｕ

　　　（ｕ∈Ｖ，ｕ

≠ ０

，

λ∈

Ｒ）

λ

：Ｔの固有

値

ｕ

：（固有値

λ

に属する）Ｔの固有ベ 例） Ｔ（クトル

ｘ

）＝　　　　　　

ｘ　

　

（

ｘ ∈ R

^２）

7 -6 3 -2

ｕ＝　　　とすると

2

1

Ｔ（

ｕ

）＝　　　　＝

4

　 　＝４

ｕ　

8 4

2

1

　固有空間

Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形

変換Ｗ（

λ

；Ｔ）＝｛ｕ∈Ｖ｜Ｔ（

ｕ）

＝ λ ｕ

｝　 　固有多項

式

ｇ ^A ( ｔ )

＝｜ｔＥ－Ａ｜　　　　

Ａ：正方行列

行列Ａの固有値：ｇ

^A ( ｔ )

＝０　の根（複素 根も含む）

Ｔ ^A

（

ｘ

）＝Ａ

ｘ

　　 　Ａ

ｘ ＝ λ ｘ

　

Ａ

ｘ ＝ _（ λ

Ｅ

_λ

_Ｅ－Ａ）

ｘ ｘ＝

ｘ （

≠

０

）が存在する必要十分条件：

０

　　　

λ

Ｅ－Ａが正則行列でない

定理５ . ３ . １

λ

がＴ

^A

の固有値　　



　　ｇ

^A (λ)

＝０ ｆ（ｔ）＝ａ _m

ｔ

^m ＋ａ _m-1

ｔ

^m-1

＋・・・＋ａ ₁ ｔ＋ａ ₀ 一般に多項式

と正方行列Ａに対して

ｆ（Ａ）＝ａ _m

Ａ

^m ＋ａ _m-1

Ａ

^m-1

＋・・・＋ａ ₁ Ａ＋ａ ₀ Ｅ と定義する。

定理５ . ３ . ２（ケーレー・ハミルトンの定理）

　 ｇ ^A ( ｔ )

が正方行列Ａの固有多項式なら ば

　　　　　ｇ

^A ( Ａ )

＝０

一般の場合の固有値と固有空間の計算 Ｔ：ｎ次元のベクトル空間Ｖの線形

｛ｕ変換

¹

，・・・，ｕ

ⁿ

｝：

Ｖの１組の基Ａ：Ｔの｛

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ

｝に関する表 現行列

ｇ

_T （ｔ）：Ｔの固有多項式（＝Ａの固有 多項式）

ｇ

_T （ｔ）＝ｇ _A

( ｔ )

＝｜

ｔＥ－Ａ｜

ｇ

_B

( ｔ )

＝｜ｔＥ－Ｂ｜＝ ｜ｔＰ^－１ＥＰ－

Ｐ　　 ＝ ｜Ｐ^－１ＡＰ｜ ^－１（ｔＥ－Ａ）Ｐ｜＝ ｜ｔＥ－

Ａ｜＝ｇ _A

( ｔ )

定理５ . ３ .3

Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換

λ

がＴの固有値　　　　ｇ

^T (λ)

＝０

　　

行列の対角化

　同値な行

列Ａ，Ｂ：ｎ次正方行

列Ｂ＝Ｐ^－１ＡＰ　となる正則行列Ｐが存在 する Ａ，Ｂは同値である

行列の対角化 。 Ａ：正方行列

Ｂ＝Ｐ^－１ＡＰ：対角行

列行列Ａの対角化：正則行列Ｐと対角行列Ｂを求 める

定理５ . ４ . １

Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換

λ ¹ ,

・・・

λr

：Ｔの相異なる固有値

　　　

Σ

ｄｉｍ（Ｗ（

λi

；Ｔ））≦ｄｉｍ

（Ｖ）

r i=1

定理５ . ４ . ２

Ａ：ｎ次実正方行列

λ ¹ ,

・・・

λr

：Ａの相異なる実固有値の全体 ＡがＲ上対角化される必要十分条件

　　　

r Σ

ｄｉｍ（Ｗ（

λi

；Ｔ

^A

））＝ｎ．

i=1

ｕ

_ｉ１

^, ・・・ ｕ

_{ｉｎ i} ^：Ｗ

（ λi

；Ｔ

^A

）の基

Ｐ＝［ ｕ

_１１

・・ ｕ

_１ｎ 1

・・・

ｕ

_ｒ１

・・ ｕ

_ｒｎ r

］

Ｔ（

ｕ

_ｉｋ）＝Ａ

ｕ

_ｉｋ

＝ λ

_ｉ

ｕ

_ｉｋ

ＡＰ＝ＰＢ，　　　Ｂ＝

λ

_１

λ

_１

λ

_ｒ

λ

_ｒ

・・

・・

・・

ｎ 1

ｎ ^r

０

０

Ｂ＝Ｐ^－１Ａ Ｐ

　　　

内積空間

　　内　積

ｕ，ｖ

：Ｒ上のベクトル空間Ｖのベ

クトル２つのベクトル

ｕ，ｖ

に対して実数（

ｕ

，ｖ

）を対応させる対応（　，　）が次 の４条件を満たす

（１） （

ｕ

＋ｕ

’，ｖ

）＝ （

ｕ，

ｖ

）＋ （

ｕ ’，ｖ

）

（２） （ｃ

ｕ，ｖ

）＝ ｃ（

ｕ，

ｖ

）

（３） （

ｖ，ｕ

）＝

（

ｕ，ｖ

）

（４）

ｕ ≠

０　ならば　 （

ｕ，ｕ

）

＞０

例）

ａ

1

ａ

n

・・

ｂ

1

ｂ

n

・・

ａ

＝

，ｂ

＝ ａ，ｂ∈Ｖ（＝

Ｒ^ｎ）

（

ａ，ｂ

）＝^ｔ

ａｂ

＝ａ_１ｂ_１

＋・・・＋ａＲ^ｎの標準的な内積_ｎｂ_ｎ

（１） （

ａ

＋

ａ ’，ｂ

）＝ ^ｔ（

ａ

＋

ａ ’

）

ｂ

＝^ｔ

ａｂ

＋^ｔ

ａ ’ｂ

（２） （ｃ

ａ，ｂ

）＝ ^ｔ（ｃ

ａ

）

ｂ＝

ｃ^ｔ

ａｂ

＝ｃ（

ａ，ｂ

）

（３） （

ａ，ｂ

）＝^ｔ

ａｂ

＝^ｔ（^ｔ

ａｂ

）＝

ｔ

ｂａ

＝（

ｂ，ａ

）

（４）

ａ ≠

０　ならば　 （

ａ，ａ

）

＝^ｔ

ａａ

＞０

＝ （

ａ，ｂ

）＋

（ａ

’，ｂ

）

　ベクトルのノル ム ∥

ｕ

∥＝　√（

ｕ

，

ｕ

）

ｕ

のノルム または 長 例）さ

Ｖ＝Ｒ^ｎ，　　

ｕ

＝

3 -2

∥

ｕ∥＝　√ 3

²

+ (-2)

² ＝ √

13

定理６

. １ .

１

　内積空間Ｖのノルムについて次が成り立つ

　　　　　　　（

ｕ，ｖ

∈Ｖ，

ｃ∈Ｒ）

（１） ∥ｃ

ｕ

∥＝ｃ∥

ｕ ∥

（２） ｜（

ｕ，ｖ

）｜≦ ∥

ｕ ∥ ・∥ ｖ ∥

　　　　　（シュヴァルツの不等式）

（３） ∥

ｕ

＋

ｖ ∥ ≦ ∥ ｕ ∥ ＋

∥

ｖ

∥　　（三角不等 式）（２）　（

Σ

ｕ_ｉｖ_ｉ）^２ ≦ （

Σ

ｕ_ｉ^２） （

^ｉ＝ _１ Σ

ｖ_ｉ^２）

^ｉ＝ _１ ^ｉ＝ _１

ｎ ｎ ｎ

　ベクトルの直交

（

ｕ，ｖ

） 定理６＝０

. １ .

２

　零ベクトルでないベクトル　

ｕ

_１，・・・，

ｕ

ｒ　が互いに

直交すれば１次独立である。

ｃ_１

ｕ

_１＋・・・＋ｃ_ｒ

ｕ

_ｒ＝

０　 　

とおく。

０＝（

ｕ

_ｉ，ｃ_１

ｕ

_１＋・・・＋ｃ_ｒ

ｕ

_ｒ）＝

Σ

ｃ_ｊ

（

ｕ

_ｉ，

ｕ

_ｊ）＝ｃ_ｉ（

ｕ

_ｉ，

ｕ

^ｊ＝１_ｉ） 　

ｒ

（

ｕ

_ｉ，

ｕ

_ｉ） ≠０　だから　　ｃ_ｉ＝０　　

（１≦

ｉ

≦ｒ）

　　

正規直交基と直交行列

　正規直交基

｛

ｕ ¹

，・・・，

ｕ

n

｝：Ｖの基（

ｕ

_ｉ，

ｕ

_ｊ）＝

δ

_ｉｊ

（１ ≦ｉ，ｊ≦ｎ）

定理６

. ２ .

１　（シュミットの直交化）

｛ｖ

¹

，・・・，ｖ

ⁿ

｝：Ｖの１組の基

となる、正規直交基｛ｕ

¹

，・・・，ｕ

ⁿ

｝　が 存在する。

＝＜

ｖ ¹

，・・・，

ｖ ^r ＞ ^R

（１≦

ｒ≦ｎ）

＜

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ^r

＞ ^R

ｕ

_１＝

ｖ

_１／ ∥

ｖ

_１ ∥　　　 　　　∥

ｕ

_１

∥＝１

（

ｕ

_１，

ｕ

_２）＝０　，　　∥

ｕ

_２

＜∥＝１

ｕ ¹

，

ｕ ²

＞ ^R

＝ ＜

ｕ ¹

，

ｖ ²

＞ ^R

＝ ＜

ｖ ¹

，

ｖ

2 ＞ ^R ｖ’

_ｒ＋１＝

ｖ

_ｒ＋１－

Σ

（

ｖ

_ｒ＋１，

ｕ

_ｉ）

ｕ

_ｉ，

ｕ

_ｒ＋１＝

ｖ

’_ｒ＋１／ ∥

ｖ

_ｒ＋

１

∥

ｉ＝ １ ｒ

（

ｖ

’_ｒ＋１，

ｕ

_ｉ）＝０　（１≦

ｉ

≦ ｒ）　だから　

（

ｕ

_ｒ＋１，

ｕ

ｉ）＝０　

＜ｕ

¹

，・・・，ｕ

^{r ，} ｕ

r+1 ＞ ^R

＝ ＜

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ^r

， ｖ ^r+1 ＞ ^R

＝　＜ｖ

¹

，・・・，ｖ

r ， ｖ ^r+1 ＞ ^R

ｖ’

_２＝

ｖ

_２－（

ｖ

_２，

ｕ

_１）

ｕ

_１，　　　

ｕ

_２＝

ｖ

’_２／ ∥

ｖ

_２

^∥

v

^１＝

^{, v}

^２＝

^, v ³

＝

1 1 0

1 3 1

2 -1 1

u

_１^＝

　

＝　　　 　　　　　　 　　正規化

|| v

_１

||

1 1 0

1 1

1 0 1

√2

v’

_２

＝ v

_２^－（

v

_２

， u

_１

） u

_１ ＝ － ＝ 　　　

1 3 1

1 1 0 4

√ 2

1

√2

-1 1

直交化

1

u

_２ ＝

^v’

_２ ＝　　　 　　　　　 　　　正規化

|| v’

_２

||

1 1

√3

-1 1 1

v’

₃

＝ v

₃ －（

v

₃

， u

_１

） u

_１ ^－

（ v

₃

， u

₂

） u

₂ ＝ 　　　

5 6

1

-1

直交化

2

定理６

. ２ .

２

｛

ｕ ¹

，・・・，

ｕ ⁿ

｝：内積空間Ｖの正規直交 基

　ｕ

＝ａ

^１ ｕ ¹

＋・・・ ＋ａ

ⁿ ｕ ⁿ

，　

ｖ

＝ｂ

^１ ｕ ¹

＋・・・ ＋ｂ

ⁿ ｕ ⁿ

　と書くと　　　（

ｕ

，

ｖ

）＝ａ

^１

ｂ

^１

＋・・・

＋ａ

ⁿ ｂ ⁿ

　　（

ｕ

，

ｖ

）＝

Σ Σ

ａ

^ｉ

ｂ

^ｊ

（

ｕ

_ｉ，

ｖ

_ｊ）＝

ａ

^１

ｂ

^１

＋・・・ ＋ａ

^ｉ＝ _１ ^ｊ＝ _１ ⁿ ｂ ⁿ

ｎ ｎ

　直交変換

（Ｔ（

ｕ

） ，Ｔ（

ｖ

））＝ （

ｕ

，

ｖ

） 　　　 （

ｕ

，ｖ∈Ｖ）

定理６

. ２ .

３

｛ｕ

¹

，・・・，ｕ

ⁿ

｝：内積空間Ｖの正規直交 基

　　　

Ｔは直交変換　



　 （Ｔ（

ｕ

₁ ） ，・・・，Ｔ（

ｕ

_n ））

　　　　　　はＶの正規直 交基

　直交行列

ｔＰＰ＝Ｅ

ｎ

　　　（Ｐ：ｎ次の実 正方行列）

定理６

. ２ .

４

Ａ：ｎ次の実正方行列

　　Ｔ

^Ａ

（

ｘ

）＝Ａ

ｘ

　　　　（Ｔ

^Ａ

：Ｒ^ｎ→Ｒ

ｎ）　　と定義する。

　　　

Ａが直交行列　



　Ｔ

^Ａ

が直交変換 定理６

. ２ .

５

Ａ：ｎ次の実正方行列　　　Ａ＝｛

ａ ^１

，・・・

，

ａ ｎ

｝

　　　

Ａは直交行列　 　 ｛

ａ ^１

，・・・，

ａ

ｎ

｝はＲ^ｎ

　　　　　　　の正規直交 基

定理６

. ３ .

１

　実対称行列の固有値は全て実数である。

行列の（上）三角

化Ａ：正方行列 Ｐ^－１ＡＰ：上三角行列

行列Ａの（上）三角化：正則行列Ｐと上三角 行列

　　　　　　Ｐ^－１ＡＰを求 める

複素共役

複素数

α

＝ａ＋

bi

　（ｉ＝√

－１）　　　　

α

＝ａ－

bi

　：

α

の 複素共役

定理６

. ３ .

２

ｎ次実正方行列Ａの固有値が全て実数ならば Ａ

は直交行列を用いて上三角化できる。

λ

_１

λ

_ｎ

・・

＊

Ｐ^－１ＡＰ

＝ ０ ，　　ｄｅｔ

（Ｐ）＝１ 定理６

. ３ .

３

Ａがｎ次実対称行列ならば、次の直交行列Ｐ が存

在する。

λ

_１

λ

_ｎ

・・

０

Ｐ^－１ＡＰ

＝ ０ ，　　ｄｅｔ

（Ｐ）＝１

Ａ＝

^１

^{2 -1}

２

-2 2 -1 2 1

ｇ

_A

( ｔ )

＝｜ｔＥ－Ａ｜＝

＝

(t-1)

²

(t+2)+8

t-

１

-2 1 -

２

t+2 -2

1 -2 t-1

－

{(t+2)+8(t-

＝ (t-1)

²

(t+2)-9t+14 ＝ t

³

-12t+16 ＝ (t-2) 1)}

²

(t+4) λ ＝ 2,-4

λ ＝ 2

のとき

（ λ

Ｅ－Ａ）

ｘ＝

０

１

-2

1

-

２

4 -2 1 -2 1

ｘ＝ ０

１

-2 1

0 0 0 0 0 0

ｘ＝ ０

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