熊本大学 数理科学総合教育
線形写像 表現行列 演習問題１ 解答
問 1. 線形写像f: R3 →R2, f
x y z
=
[ 2 3 −1
−1 1 4 ]
x y z
，以下 問 答 ．
(i) R3 標準基底 R2 標準基底 関 f 表現行列 答 ． 解答. R3 標準基底 R2 標準基底
e1 =
1 0 0
,e2 =
0 1 0
,e3 =
0 0 1
, {
e′1 = [1
0 ]
,e′2 = [0
1 ]}
．
f(e1) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 1
0 0
= [ 2
−1 ]
= 2 [1
0 ]
+ (−1) [0
1 ]
= 2e′1+ (−1)e′2,
f(e2) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 0
1 0
= [3
1 ]
= 3 [1
0 ]
+ 1· [0
1 ]
= 3e′1+ 1·e′2,
f(e3) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 0
0 1
= [−1
4 ]
= (−1) [1
0 ]
+ 4 [0
1 ]
= (−1)e′1+ 4e′2
，表現行列
[ 2 3 −1
−1 1 4 ]
.
(ii) R3 基底A =
a1 =
1 0 0
,a2 =
1 1 0
,a3 =
1 1 1
R2 基底B= {
b1 = [1
1 ]
,b2 = [ 1
−1 ]}
関 f 表現行列F
F =
[f11 f12 f13 f21 f22 f23
]
．f(a1), f(a2), f(a3) b1, b2, fij(1 ≤i ≤2,1≤ j ≤3) 用 表
（表現行列 定義 確認 ）．
解答. 表現行列 定義 ，f(a1) = f11b1 +f21b2, f(a2) = f12b1 +f22b2, f(a3) = f13b1+f23b2.
(iii) 5 2次元 b1, b2, f(a1), f(a2), f(a3) 各列 並 得 2×5行列[b1, b2, f(a1), f(a2), f(a3)] 行基本変形 何回 施 得 階段行列
=
[1 0 f11′ f12′ f13′ 0 1 f21′ f22′ f23′ ]
， i, j (1 ≤ i ≤ 2,1 ≤ j ≤ 3) fij = fij′ 確認
．
1
熊本大学 数理科学総合教育 解答.
[b1,b2, f(a1), f(a2), f(a3)] =
[1 1 2 5 4 1 −1 −1 0 4 ]
→ · · · →
[1 0 1/2 5/2 4 0 1 3/2 5/2 0 ]
変形 ，確
f(a1) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 1
0 0
= [ 2
−1 ]
= 1 2
[1 1 ]
+ 3 2
[ 1
−1 ]
= 1
2b1+ 3 2b2,
f(a2) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 1
1 0
= [5
0 ]
= 5 2
[1 1 ]
+ 5 2
[ 1
−1 ]
= 5
2b1 + 5 2b2,
f(a3) =
[ 2 3 −1
−1 1 4 ] 1
1 1
= [4
4 ]
= 4 [1
1 ]
+ 0 [ 1
−1 ]
= 4b1+ 0b2,
成立 ．
問 2. R2 2組 基底A = {
a1 = [
1 1 ]
,a2 = [
1
−1 ]}
B = {
b1 = [
2 1 ]
,b2 = [
1 2
]}
，以下 問 答 ．
(i) A B 基底取 替 行列
P =
[p11 p12
p21 p22 ]
．b1, b2 a1, a2, pij(1≤ i, j ≤ 2) 用 表 （基底取 替 行列 定義 確認 ）．
解答. 基底取 替 行列 定義 ，b1 =p11a1+p21a2, b2 =p12a1+p22a2.
(ii) 4 2次元 a1, a2, b1, b2 各列 並 得 2×4行列[a1, a2, b1, b2] 行基本変形 何回 施 得 階段行列
=
[1 0 p′11 p′12 0 1 p′21 p′22 ]
， i, j (1≤i, j ≤2) pij =p′ij 確認 ． 解答.
[a1,a2,b1,b2] =
[1 1 2 1 1 −1 1 2 ]
→ · · · →
[1 0 3/2 3/2 0 1 1/2 −1/2
]
変形 ，確
b1 = [2
1 ]
= 3 2
[1 1 ]
+ 1 2
[ 1
−1 ]
= 3
2a1+ 1 2a2, b2 =
[1 2 ]
= 3 2
[1 1 ]
+ (
−1 2
) [ 1
−1 ]
= 3 2a1+
(
−1 2
) a2
成立 ．
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注 意. 線 形 写 像 f: Rn → Rm Rn 基 底 A = {a1,a2, . . . ,an} Rm 基 底
B={b1,b2, . . . ,bm} 関 表現行列F ，任意 x∈Rn 対
x=a1a1+a2a2+· · ·anan, f(x) =b1b1+b2b2+· · ·bmbm
表 ，
b1
b2 ... bm
=F
a1
a2 ... an
成立 ． Rn 各 基底A ，Rm 各 基底B 用 考 立場 ，線形写像f 行列F 左 掛 操作 見
．
本演習問題 線形写像 f: Rn → Rm Rn 基底 A = {a1,a2, . . . ,an} Rm 基底 B = {b1,b2, . . . ,bm} 関 表現行列 F ，[b1,b2, . . . ,bm|f(a1), f(a2), . . . , f(an)]
行基本変形 階段行列 際 右側 m× n 行列 一致 ， 階段行列 変形 結果 [ m 次単位行列 | F ] 形 ．同様 ，Rn 2 組 A = {a1,a2, . . . ,an} B = {b1,b2, . . . ,bn} 対 ，A B 基底取 替 行列 P ，[a1,a2, . . . ,an|b1,b2, . . . ,bn] 行基本変形 数回行 結果得 階段行列 [ n次単位行列 | P ] 右側 n次正方行列（実際 正則行列） 一致 ． 理由 以下 示
．基底取 替 行列 ，線形変換 id : Rn → Rn 基底B 基底A 関 表現行列 話 帰着 ，一般 表現行列 方 示 ． ，線形写像 f: Rn → Rm Rn 基底 A = {a1,a2, . . . ,an} Rm 基底B = {b1,b2, . . . ,bm} 与 ，A B 関
f 表現行列 F ．表現行列 定義
f(a1) =f11b1+f21b2+· · ·+fm1bm
f(a2) =f12b1+f22b2+· · ·+fm2bm
...
f(an) =f1nb1+f2nb2+· · ·+fmnbm
, F =
f11 f12 · · · f1n
f21 f22 · · · f2n ... ... . .. ... fm1 fm2 · · · fmn
，前者 連立式 行列 用 表
[f(a1), f(a2), . . . , f(an)] = [b1,b2, . . . ,bm]F
．B 基底 [b1,b2, . . . ,bm] 正則 注意
F = [b1,b2, . . . ,bm]−1[f(a1), f(a2), . . . , f(an)] (0.1) 成 立 ．
一方，行列 行基本変形 行 ，基本行列 左 掛 操作 対応 思 出 ．行列[b1,b2, . . . ,bm|f(a1), f(a2), . . . , f(an)] 行基本変形 階段行列 変形
， 正則行列Q 左 掛
Q[b1,b2, . . . ,bm|f(a1), f(a2), . . . , f(an)] = [Q[b1,b2, . . . ,bm]|Q[f(a1), f(a2), . . . , f(an)]]
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変形 階段行列 得 他 ．再 B 基底 Q[b1,b2, . . . ,bm] 必 m次単位行列 ，結果 Q= [b1,b2, . . . ,bm]−1 得 ．
[b1,b2, . . . ,bm|f(a1), f(a2), . . . , f(an)]
行基本変形 行 階段行列 結果 右側 m×n行列
Q[f(a1), f(a2), . . . , f(an)] = [b1,b2, . . . ,bm]−1[f(a1), f(a2), . . . , f(an)]
．(0.1) ， A B 関 f 表現行列 一致 ．
， 行基本変形 答 行列 求 ， 線形写像
表現行列 基底取 替 行列 定義 理解 ．
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