2.1 線形写像と表現行列（補足 : 合成写像と逆写像）

線形代数学2 No.7.5 2004.12.13

2.1 線形写像と表現行列（補足 : ^{合成写像と逆写像）}

¶ 合成写像 ³

2つの写像f :Rⁿ→R^m, g:R^m →R^pに対し,対応x7→g(f(x))によって決まる写像を fとgの合成写像といい,g◦f で表す.

µ ´

定理 6 (合成写像の線形性・表現行列)

• 2つの線形写像f, gの合成写像g◦f は線形写像.

• f の表現行列がA,gの表現行列がBならば,g◦fの表現行列はBA.

¶ 逆写像 ³

写像f :Rⁿ→Rⁿが,

条件「Rⁿのベクトルyに対して,f(x) =yとなるベクトルxはただ一つ」

を満たすとき,このベクトルyに対して, ただ一つ見つかったxを対応させる写像をf の 逆写像とよび,f⁻¹と表わす.

µ ´

定理 7 (逆写像の線形性・表現行列) f :Rⁿ → Rⁿを線形写像とし, f の表現行列をA とする.

• f が逆写像f⁻¹を持つならば,そのf⁻¹も線形写像で,表現行列はA⁻¹.

• Aが正則ならば,逆行列A⁻¹を表現行列にもつ線形写像がfの逆写像.

例題 15 f( Ã x

y

! ) =

à −2x+ 4y x+ 3y

!

できまる線形写像fの逆写像f⁻¹の表現行列を求めな さい.

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