2019年度・線形代数学・同演義II 2019年10月31日
§5 線形写像の表現行列―――授業で扱わなかった問題の解答例
5.4 前問の記号をそのまま用いる．さらに ΞをK2の標準的な基底とする．すな わち
Ξ=[e1,e2], ただし e1 = (1
0 )
, e2= (0
1 )
.
(1) 写像Ψ:V → K2を
Ψ(Y)= ( trY
tr(AY) )
によって定義する．これは線形写像である．基底Σ，Ξに関するΨ の表現 行列T を求めよ．
(2) Ψ◦Φ: V → K2が零写像（定義域のすべてのベクトルを 0に移す写像）
であることを確かめよ．
(3) (2)から直ちにImageΦ⊂ KerΨであることがわかるが，実は
ImageΦ=KerΨ (∗)
が成立する．(∗)を証明せよ．また (∗)を言い換えて，B ∈ M2(K)に対し，
[A,X] = B となるような X ∈ M2(K)が存在するための必要十分条件を述 べよ．
(1) まずEk（k =1，2，3，4）に対しtr(AEk)を求めておくと
tr(AE1)=tr (a 0
c 0 )
=a, tr(AE2)= tr (0 a
0 c )
=c, tr(AE3)=tr
(1 0 d 0 )
= 1, tr(AE4)= tr (0 1
0 d )
= d. したがって
Ψ(E1)= (1
a )
=1e1+ae2, Ψ(E2)= (0
c )
= 0e1+ce2, Ψ(E3)=
(0 1 )
= 0e1+1e2, Ψ(E4)= (1
d )
= 1e1+de2.
ゆえに求める表現行列は
T =
(1 0 0 1
a c 1 d )
.
(2) 2つの方法がある．
第1の方法（表現行列を用いる）．基底 Σ，Ξに関するΨ◦Φの表現行列は積T S で ある．なぜなら，ψΣ:V → K4，ψΞ: K2 →K2をそれぞれΣ，Ξの定める線形同型写像 とすれば（ψΞ は実際には恒等写像．ただしここでその事実は関係ない），
ΦS =ψΣ◦Φ◦ψΣ−1, ΦT =ψΞ◦Ψ◦ψΣ−1
で，
ΦT ◦ΦS =(ψΞ ◦Ψ◦ψΣ−1) ◦ (ψΣ◦Φ◦ψ−Σ1)= ψΞ ◦ (Ψ◦Φ) ◦ψΣ−1
だが，ここで左辺はΦT S に等しいからである（ΦT S = ΦT ◦ΦS とは(T S)x =T(Sx)と いうことで，これが成立するように行列の積は定義されていた）．そこでT Sを計算す ると
T S=
(1 0 0 1
a c 1 d ) ©
«
0 −c 1 0
−1 a−d 0 1
c 0 d−a −c
0 c −1 0
ª®®®
¬
=
(0 0 0 0
0 0 0 0
)
であり，ΦT S: K4 →K2は零写像である．したがってΨ◦Φ:V →K2も零写像．
第2の方法（直接計算する）．まず，一般にtr(AB)=tr(B A)が成り立つことを思い出 す（ここでは A，Bは任意の正方行列）．それを踏まえてΨ(Φ(X))の第1成分，第2成 分をそれぞれ計算すれば，
tr([A,X])=tr(AX−X A)= tr(AX) −tr(X A)=0,
tr(A[A,X])=tr(A(AX−X A))= tr(A(AX)) −tr((AX)A)= 0.
(3) はじめに「(2) から直ちに ImageΦ ⊂ KerΨ であることがわかる」という記述に ついて説明しておく．任意に Y ∈ ImageΦ をとると，これはある X ∈ V を用いて Y = Φ(X)と表される．したがってΨ(Y) = Ψ(Φ(X)) = 0であり，Y ∈ KerΨ．ゆえに ImageΦ ⊂ KerΨである．
さて，ImageΦ は KerΨ の部分空間なので，dim ImageΦ = dim KerΨ がわかれば ImageΦ= KerΨを結論できる．
Φについて，前問の(3)で，KerΦがE，Aで張られることがわかっていた．E，Aは 線形独立だから，dim KerΦ= 2である．ところでdim KerΦ+dim ImageΦ=dimV = 4 だから，dim ImageΦ=2が従う．
Ψについて，本問の(1)で表現行列T を求めた．T の第1行と第 2行は線形独立だ からrankT = dim ImageΦT = 2 である．よってdim ImageΨ = 2 でもある．そして dim KerΨ+dim ImageΨ =dimV =4だから，dim KerΨ= 2であることがわかる．
以上でdim ImageΦ=dim KerΨが確かめられたので，ImageΦ=KerΨがわかった．
â 一般に，行列 Aの定める線形写像 ΦA: Kn → Km についてdim ImageΦA = rankAです．
Aを行基本変形により階段型にしたものをA′とするとき，定理5.3の証明で説明したとおり，
dim ImageΦA=(A′の主成分の個数)=rankAだからです．
