2-1. 線形写像 ( つづき )

１０月２５日講義参考資料

注意：

•

11 ^月 1 ^{日は休講です} .

• このノートはホームページ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ shimizu/LectLB2017.html

（google検索：「清水達郎」＋「RIMS」＋「線形代数」）から ダウンロードできます．ただし講義の内容と一致するとは限 りません．

• 線形代数の理論的な部分に興味がある人は，指定参考書ととも に次の文献も参考にするとよい：『理系のための線形代数の基 礎』(代表著者：永田雅宣，紀伊国屋書店)

今日の講義を通してKをQ(有理数)，R(実数)，C^{（複素数）のいず} れかとする．

2-1. 線形写像 ( つづき )

命題2.5. f :V →W を線形写像とする．このとき (1) Imf ⊂W はW の線形部分空間である. (2) Kerf ⊂V はV の線形部分空間である．

Proof. (1)y1, y2∈W がy1, y2∈Imf とすると，x1, x2∈V があっ てf(x1) =y1, f(x2) =y2を満たす．任意のa, b∈Kに対し,

f(ax1+bx2) =af(x1) +bf(x2) =ay1+by2

であるから，ay₁+by₂∈Imf.

(2)任意のx₁, x₂∈Kerf,a, b∈Kに対し，

f(ax1+bx2) =af(x1) +bf(x2) = 0 であるから，ax1+bx2∈Kerf.

写像f :X →Y が,a̸=b∈Xならばf(a)̸=f(b)をみたすとき,f は単射であるというのだった．線形写像に対してはすべてのa, bを 調べなくても核を調べれば十分なことがわかる：

補題2.6. 線形写像f :V →W に対して以下はすべて同値．

(1) f は単射．

(2) Kerf ={0}. (3) dimKerf = 0.

Proof. 0次元ベクトル空間は，0個のベクトルからなる基底を持つ．

0個の基底の線形結合からは0しか作れないから，0次元ベクトル空 間は{0}^である．(「何も足さない」＝「0」と考える．0個の線形結

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合は何も足さないのだから0となる．似た考えとしては，「何もかけ ない」＝「１」として，0! = 1がある．)したがって(2)と(3)は同 値．(1)と(2)が同値であることを示す．

(1)⇒(2) x ∈ Kerf とする．f は線形写像なので f(x) = 0 = f(0)．これと単射性よりx= 0.よってKerf ={0}.

(2)⇒(1) x, y ∈V がf(x) =f(y)を満たすとする．f は線形写 像なのでf(x−y) =f(x）−f(y) = 0. よってx−y∈Kerf ={0}^． したがってx−y= 0, すなわちx=yなので単射.

写像f : X →Y が,任意のy ∈ Y に対してあるa∈ X が存在 し,f(a) =yとなるとき,fは全射であるというのだった．線形写像に 対してはすべてのy∈Y を調べなくても像の次元を調べれば十分な ことがわかる：

補題2.7. 線形写像f :V →W に対して以下はすべて同値．

(1) f は全射．

(2) Imf =W.

(3) dimImf = dimW.

Proof. (1) と(2) が同値なのは定義である．(2) ⇒ (3)は次元が well-definedであること(基底の元の数の一意性)から直ちに従う．

残る(3)⇒(2)を示す．一般に線形部分空間W^′ ⊂W がdimW^′= dimW(=:n)を満たすときW^′ =W となることを示せばよい．背 理法で示す．y∈W\W^′ があると仮定する．W^′の基底をひとつと りw1, . . . , wn ∈W^′とすると，w1, . . . , wn, yは線形独立である(← 先週の定理1.24の証明と同じ議論による)．よって 定理1.24(1)か ら，n+ 1≤dimW．これは矛盾．

単射でかつ全射である写像を全単射というのだった．全単射な写像 は逆写像を持つ．実際f :X →Y, x7→f(x)に対し，f⁻¹:Y →X をf(x)7→ xと定めれば，これはwell-definedであり，f ◦f⁻¹ = id_Y, f⁻¹◦f = id_Xを満たす．

定義2.8. 全単射線形写像を線形同型写像という．線形空間V とW の間に線形同型写像f :V →W があるとき，V とW は線形同型で あるという．

線形同型写像は逆写像を持つが，この逆写像も線形同型写像と なる．

命題 2.9. f :V →W を線形同型写像とすると，f⁻¹:W →V も 線形同型写像である．

Proof. 逆写像が線形写像であることを示せばよい．f は全射なの

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で，任意の y1, y2 ∈ W に対し，y1 = f(x1), y2 = f(x2)となる x1, x2が(単射なので唯一つ)存在する．任意のa, b∈Kに対して，

ay1+ay2=af(x1)+bf(x2) =f(ax1+bx2)なのでf⁻¹(ay1+by2) = ax1+bx2=af⁻¹(y1) +bf⁻¹(y2). よってf⁻¹は線形写像．

命題 2.10. f : V →W を線形同型写像とする．{v1, . . . , vn} ⊂V がV の基底なら，{f(v1), . . . , f(vn)} ⊂W はW の基底である．特 にdimV = dimW.

今日のメインテーマは次の次元定理を証明し,使えるようになるこ とである．

定理2.11(次元定理). 線形写像f :V →W に対し次が成り立つ: dim Kerf+ dim Imf = dimV.

Proof. v₁, . . . , v_k を Kerf ⊂ V の 基 底 と す る ．こ こ で k = dim Kerf で あ る ．v₁, . . . , v_k を 延 長 し て 得 ら れ る V の 基 底 を v₁, . . . , v_k, v_k+1, . . . , v_nとする．f(v_k+1), . . . , f(v_n)∈W がImf の 基底であることを示す．

vk+1, . . . , vnの線形結合∑n

i=k+1aiviがKerf に入っているとす ると，ak+1=· · ·=an = 0である(定理１．２４の証明と同じ議論)． よってak+1f(vk+1)+· · ·+anf(vn) = 0ならばak+1=· · ·=an = 0 であるから，f(vk+1), . . . , f(vn)∈W は線形独立である．

Imf ={f(v)|v∈V}^であり，V はv1, . . . , vnで生成されるので Imfはf(v1), . . . , f(vn)で生成される．f(v1) =· · ·=f(vk) = 0で あるから，Imfはf(vk+1), . . . , f(vn)で生成される．

以上より，dim Imf =n−k= dimV −dim Kerf. 系2.12.

(1) f :V →Wが単射ならばdimV ≤dimW. (2) f :V →Wが全射ならばdimV ≥dimW.

系 2.13. f :V → V が単射であることと全射であることは同値で

ある．

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問 1







1 1 2 0

0 1 1 −1 1 3 4 −2





によって定まる線形写像fA : R⁴→R³について以下の問に答えよ．

(あ) kerf_Aの基底を1つ求めよ．

(い) (あ）で求めたKerf_Aの基底を延長して得られるR^{4の基底を} 一つ求めよ．

(う) (い)の基底を写像fAで送ることで，ImfAの基底をひとつ求 めよ．

(え) (う)の基底を延長して得られるR³の基底をひとつ求めよ．

(お) (あ）の基底を{v1, v2, v3, v4},(え)の基底を{w1, w2, w3}^とお く．fA(vj) =∑

jbijwiによってbij ∈R^{を定めるとき},行列 B= (bij)∈M3,4(R)を求めよ．

問 2

休講中の課題＆予習：上の問 1 ^{，問２および余} 裕があれば参考書 4.4 ^節， 4.7 ^{節を予習．}

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