電 158 電気数学 I 第 5 回
1 次変換 ( 線形変換 , 線形写像 ) (2)
•
ベクトルの演算:
たし算とスカラー倍• 3
次元数ベクトルではベクトル積a × b
が定義されるa =
a 1 a 2
a 3
, b =
b 1 b 2
b 3
⇒ a × b =
a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
• 2
次元数ベクトルに違う形の積を導入(
仮にF
と書く) a =
( a 1 a 2
) , b =
( b 1 b 2
)
⇒ a F b = (
a 1 b 1 − a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
)
a = (
a 1 a 2
) , b =
( b 1 b 2
)
⇒ a F b = (
a 1 b 1 − a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
)
B
何がやりたいか• 2
次元数ベクトルに積「F
」を追加したものは複素数全体と 同じもの• e 1
方向の部分ベクトル空間が「実数全体」• e 2
は「虚数単位i
」,
高校数学で「2
乗すると− 1
になる新 しい数」として導入されたものと一致B
積「F
」の性質の確認(1) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
• b F a = (
b 1 a 1 − b 2 a 2 b 1 a 2 + b 2 a 1
)
= (
a 1 b 1 − a 2 b 2 a 2 b 1 + a 1 b 2
)
= a F b
積F
は可換, ベクトル積と違うB
積「F
」の性質の確認(2) a =
( a 1 a 2
) , b =
( b 1 b 2
)
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
)
• a F (b F c) = (
a 1 (b 1 c 1 − b 2 c 2 ) − a 2 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ) a 1 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ) + a 2 (b 1 c 1 − b 2 c 2 )
)
= (
(a 1 b 1 − a 2 b 2 )c 1 − (a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 2 (a 1 b 1 − a 2 b 2 )c 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 1
)
= (a F b) F c
積F
は結合的B
積「F
」の性質の確認(3) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
• a F (b + c) = (
a 1 (b 1 + c 1 ) − a 2 (b 2 + c 2 ) a 1 (b 2 + c 2 ) + a 2 (b 1 + c 1 )
)
= a F b + a F c
加算との関係は通常の積と同じB
積「F
」の性質の確認(4) a =
( a 1 a 2
) , b =
( b 1 b 2
)
⇒ aFb =
( a 1 b 1 − a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
)
• e 1 = (
1 0
)
⇒ e 1 F e 1 = (
1 × 1 − 0 × 0 1 × 0 + 0 × 1
)
= e 1 , (
a 1 0
) F
( b 1
0 )
= (
a 1 × b 1 − 0 × 0 a 1 × 0 + 0 × b 1
)
= (
a 1 b 1 0
) e 1
方向の加算とF
は数の加算,
乗算と同じe 1
方向の部分ベクトル空間を実数(のコピー)
と解釈B
積「F
」の性質の確認(6) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
• e 1 = (
1 0
) , e 2 =
( 0 1
)
⇒ e 1 F e 2 = (
1 × 0 − 0 × 1 1 × 1 + 0 × 0
)
= e 2 , e 1 F e 2 = e 2 F e 1 = e 2 (積 F
の可換性も使う),e 1
は積F
に関する単位元( × 1
と同じはたらき)
B
積「F
」の性質の確認(7) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
• b = 1 a 2 1 + a 2 2
( a 1
− a 2 )
とすると
a F b = 1
a 2 1 + a 2 2 (
a 2 1 + a 2 2 0
)
= e 1
b = 1/a
と解釈できる(割り算ができる)
B i 2 = − 1
となること(1) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
e 2 = (
0 1
)
⇒ e 2 F e 2 = (
0 × 0 − 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0
)
= − e 1
B i 2 = − 1
となること(2) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
e 2 = (
0 1
)
⇒ e 2 F e 2 = (
0 × 0 − 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0
)
= − e 1
記号の書き換え
:
e 1 e 2 F e 2 F e 2
1 i × (場合により略す) i 2
B i 2 = − 1
となること(3) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
e 2 = (
0 1
)
⇒ e 2 F e 2 = (
0 × 0 − 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0
)
= − e 1
i 2 = − 1
記号の書き換え
:
e 1 e 2 F e 2 F e 2
1 i × (場合により略す) i 2
B i 2 = − 1
となること(4) a =
( a 1
a 2 )
, b = ( b 1
b 2 )
⇒ a F b =
( a 1 b 1 − a 2 b 2
a 1 b 2 + a 2 b 1 )
e 2 = (
0 1
)
⇒ e 2 F e 2 = (
0 × 0 − 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0
)
= − e 1
i 2 = − 1
複素数の式
i 2 = − 1
と同じ!
•
複素数とは, 2
次元数ベクトルにa F b = (
a 1 b 1 − a 2 b 2 a 1 b 2 + a 2 b 1
)
と いう積演算を追加したもの•
通常は,e 1
を略し,e 2
のみ記号i(虚数単位)
で置き換え•
基本ベクトル分解: (
x y
)
= xe 1 + ye 2 ⇒ x + iy
•
複素数は実数を材料として構成される;
上記以外の構成法もあるB
複素平面(
複素数) =
平面ベクトル(2
次元数ベクトル)+
積F
e 1 e 2
0 x
y
0 x
y
i
実部 虚部
aFb= 複素平面
„a1b1−a2b2 a1b2+a2b1
«
後学期の回路理論で使うので覚えておくこと
B
複素数の加算と乗算(1)
z = (
z 1 z 2
)
= z 1 e 1 + z 2 e 2 , w = (
w 1 w 2
)
= w 1 e 1 + w 2 e 2
= z 1 1 + z 2 i = w 1 1 + w 2 i z + w =
(
z 1 + w 1
z 2 + w 2 )
= (z 1 + w 1 )e 1 + (z 2 + w 2 )e 2
= (z 1 + w 1 )1 + (z 2 + w 2 )i
複素数の加算は実部と虚部に分けて
(
高校で習った規則)
B
複素数の加算と乗算(2)
e 1 F e 1 = e 1 , e 1 F e 2 = e 2 F e 1 = e 2 , e 2 F e 2 = − e 1 1 × 1 = 1, 1 × i = i × 1 = i, i × i = − 1 z F w =
( z 1 w 1 − z 2 w 2
z 1 w 2 + z 2 w 1 )
= (z 1 w 1 − z 2 w 2 )e 1 + (z 1 w 2 + z 2 w 1 )e 2
= z 1 w 1 e 1 F e 1 + z 2 w 2 e 2 F e 2 + z 1 w 2 e 1 F e 2 + z 2 w 1 e 2 F e 1
= (z 1 e 1 + z 2 e 2 ) F (w 1 e 1 + w 2 e 2 )
= z 1 w 1 (1 × 1) + z 2 w 2 (i × i) + z 1 w 2 (1 × i) + z 2 w 1 (i × 1)
= z 1 w 1 1 − z 2 w 2 1 + z 1 w 2 i + z 2 w 1 i
積は
1 × 1 = 1, 1 × i = i × 1 = i, i 2 = − 1
から機械的に計算で きる(高校で習った規則)
• x
軸方向にk
倍: (
k 0 0 1
)
• k > 1,
たとえば(
2 0 0 1
)
なら
x
軸方向に2
倍拡大O x
y
O x
y
• 0 < k < 1,
たとえば(
0.5 0 0 1
)
なら
x
軸方向に半分に縮小O x
y
O x
y
• k = − 1,
すなわち( − 1 0 0 1
)
なら
x
軸方向の折り返しO x
y
O x
y
• y
軸方向にk
倍: (
1 0 0 k
)
•
相似変換(
全体をk
倍):
( k 0 0 k
)
• (
1 0 0 − 1
)
は
y
軸方向の折り返し•
( − 1 0 0 − 1
)
は原点に関する対称変換
(
すなわちx
軸とy
軸の双方に関する折り返し)
• (
0 1 1 0
)
は直線
y = x
に関する折り返しO x
y
O x
y
• (
cos θ − sin θ sin θ cos θ
)
は原点のまわりに角度
θ
だけ回転• θ > 0
なら反時計回り• θ < 0
なら時計回り• θ = 0
なら動かない• θ = 90 ◦
なら...
(
cos θ − sin θ sin θ cos θ
)
= (
0 − 1 1 0
)
x y
− 1 1 1
− 1
x y
− 1 1 1
− 1
• θ = − 90 ◦
なら...
(
cos θ − sin θ sin θ cos θ
)
= (
0 1
− 1 0 )
x y
− 1 1 1
− 1
x y
− 1 1 1
− 1
•
行列A
に対応する線形写像をf A
とする•
ベクトルv 6 = 0
がある定数λ
に対してf A (v) = λv
となる ときλ...
固有値v... (固有値 λ
に対応する)固有ベクトル•
この章では固有値と固有ベクトルのいくつかの性質を調べる•
詳しい議論は8
章• λ
を固有値, v
を対応する固有ベクトルとする• λ > 0
のとき,
線形写像f A
はベクトルv
の向きを変えないλ > 1
ならv
の方向に拡大, 0 < λ < 1
ならv
の方向に縮小• λ < 0
のとき,
線形写像f A
はベクトルv
の向きを反転する| λ | > 1
ならv
の拡大, 0 < | λ | < 1
なら縮小• λ = 0
のとき,
この方向のベクトルはすべて零ベクトルにな る(潰れる)
• λ
が複素数のこともある教科書に記述がないが
,
非常に重要なので, 53
ページに書き 込むこと•
平面上の回転に対応する線形変換は複素数の固有値を持つ•
固有値については第8
章で詳しくやる•
ここではいくつか例を示す• A = (
0.5 0 0 2
)
とする
• A (
1 0
)
= (
0.5 0
)
= 0.5 (
1 0
)
だから
(
1 0
)
は固有値
0.5
に対 応する固有ベクトル• A (
0 1
)
= (
0 2
)
= 2 (
0 1
)
だから
(
0 1
)
は固有値
2
に対応す る固有ベクトル• A = (
0.5 0 0 2
)
は
x
軸方向を0.5
倍, y
軸方向を2
倍にする 線形写像O x
y
O x
y
• A = (
3 − 1
− 1 3 )
とする
• A (
1 1
)
= (
2 2
)
= 2 (
1 1
)
だから
(
1 1
)
は固有値
2
に対応す る固有ベクトル• A (
1
− 1 )
= (
4
− 4 )
= 4 (
1
− 1 )
だから
(
1
− 1 )
は固有値
4
に 対応する固有ベクトル• A = (
3 − 1
− 1 3 )
は以下のような写像
x y
O O
y
x
• A = (
0 0 0 1
)
とする
• A (
1 0
)
= (
0 0
)
= 0 (
1 0
)
だから
(
1 0
)
は固有値
0
に対応す る固有ベクトル• A (
0 1
)
= (
0 1
)
= 1 (
0 1
)
だから
(
0 1
)
は固有値
1
に対応す る固有ベクトル• A = (
0 0 0 1
)
により
x
軸方向は押し潰されてしまうO x
y
O x
y
• A = (
0 − 1 1 0
)
(90 ◦
回転)
とする• A (
1 i
)
= ( − i
1 )
= − i (
1 i
)
だから
(
1 i
)
は固有値
− i
に対 応する固有ベクトル• A (
1
− i )
= (
i 1
)
= i (
1
− i )
だから
(
1
− i )
は固有値
