数Ⅱ 総合演習１

数Ⅱ 総合演習１

(式と証明①)

＜６０分＞ 第三学年 組 番 氏名 １

(1) (3x2)³ を展開せよ．

(2) 8x³125y³ を因数分解せよ．

(3) x⁶ 1 を因数分解せよ．

２

(1) (3x2)⁶ の展開式で x⁴の係数 を求めよ．

(2)

8

2 1

2 



 



 

x x の展開式で xの係数 ^{を求めよ．}

(3) (abc)⁷ を展開したときの a³b²c²の係数 ^{を求めよ．}

３

(1) x⁴x³2x²x1 ^を x²4x1 で割ったときの 商と 余り を求めよ．

(2) x2 5 のとき x⁴x³2x²x1 の値を求めよ．

４

(1) 次の式を簡単にせよ．

①

4 2 3 2 3

3 2

2

2 

 





 x

x x

x

x ②

x



 1 1 1 1 1

1

(2) 実数x が 1 4

x x をみたすとき，次の値を求めよ．

①

2

2 1

x

x  ②

3

3 1

x x 

③

4

4 1

x

x  ④ x1x

５

(1) 以下の式が x についての恒等式となるように，定数a, b, c の値を求めよ．

①

1 1

2

2 3

2



 

 





x c bx x a x x

x x

② x²x4a(x1)(x2)b(x2)(x4)c(x4)(x1) (2) (xyz)(x²y²z²xyyzzx)3xyz x³y³z³

を証明せよ．

６

(1) abc のとき a³b³3abcc³ が成り立つことを 証明せよ．

(2) ( 0)

4 3

2  

 

y  y z z x

x _{をみたすとき，}

2 2

2 y z

x

zx yz xy







 の値を求めよ．

７

x, y, z, a, bは実数 ^とする．

(1) x² xyy²≧0 を証明せよ．また，等号が成り立つのは どのようなときか．

(2) x²y²z²xyyzzx≧0 を証明せよ．また，等号が成り 立つのはどのようなときか．

(3) a≧b, x≧y ^のとき， (a2b)(x2y)≦3(ax2by) を 証明せよ．

８

(1) 正の実数a, b, c に対して，次の不等式を証明せよ．

また，等号が成り立つのはどのようなときか．

① ≧2

b a a

b ② 1 1 1 9 )

( ≧



 



  



b c a b c a

(2)  2 (x0) x x

y の最小値を求めよ．

１

の（答） (1) 27x³54x²36x8 (2) (2x5y)(4x²10xy25y²)

(3) (x1)(x1)(x²x1)(x²x1)

２

の（答） (1) 4860 (2) 448

(3) 210

３

の（答） (1) 商 x²3x15 ^余り 62x16 (2) 14062 5

４

の（答） (1) ①

) 2 )(

1 (

4







 x x

x _② x

(2) ① 14 ② 52 ③ 194 ④ 2 3

５

の（答） (1) ① a1, b3, c1 ② a4, b2, c5 (2) 略

６

の（答） (1) 略 （cab を代入して c を消去）

(2) 35

23 _{（条件式を}

k とおき， x, y, z　をk ^で表す）

７

の（答） (1) 証明略（平方完成），等号は xy0 で成立．

(2) 証明略（平方完成），等号は xyz で成立．

(3) 証明略（右辺－左辺の実行）

（等号は ab または xy で成立．）

８

の（答） (1) 略

（相加・相乗平均の利用，等号は

① ab ， ② abc のとき成立）

(2) 相加・相乗平均の関係から， y≧2 2(最小値), 等号は x 2 ^{のとき成立．}