数Ⅱ 自主演習⑫

数Ⅱ 自主演習⑫

（加法定理）

基 本 編

１ 次の値を求めよ．

(1)

 12

sin 7

⁽²⁾





 

 

cos 12 

(3)

 12

tan 11

⁽⁴⁾

sin  8

₍₅₎



8

cos 5

⁽⁶⁾

tan 12 

２^＊ 次の値を求めよ．

(1)





 



  

 0 2

5

sin  3  

のとき，

cos 2 2 , sin , 2 cos , 2

sin    

(2)





 



  

 2 0 2

tan   

のとき，

cos 2 , 2

tan  

３ 次の式を r

sin (    )

の形に変形せよ．ただし， r

 0 ,      

とする．

(1)^＊

3 cos   sin 

(2)

2 sin   6 cos 

標 準 編

Ａ^＊ 次の値を求めよ．

(1)

         , 2

0 2

^で

13 sin 5 5 ,

sin   3  

のとき，

sin (    ), cos (    )

(2)

    

2 , 3

0 2   で

5 cos 1

, 10

sin   3   

のとき，

tan (    ), tan (    )

(3)

   2

 3



で

5

sin    4

のとき

tan 2 2 , sin , 2

sin   

Ｂ 次の関数の最大値，最小値を求めよ．ただし，

0

≦



＜

2 

とする．

(1)

3 sin   2 cos 

(2)^＊

3 sin   4 cos   1

Ｃ 次の方程式，不等式を解け．ただし，

0

≦



＜

2 

とする．

(1)^＊

3 sin   cos   2

⁽²⁾

3 cos   1  cos 2 

(3)

3 cos   sin 

≧

0

⁽⁴⁾

sin   sin 2 

Ｄ 次の 2 直線のなす角θを求めよ．ただし，

0 ≦  ＜  2

とする．

(1)^＊

1

2 , 1

3 2

1    

 x y x

y

(2)

2 x  3 y  5 , 5 x  3 y  6

Ｅ 次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの

x

の値 も求めよ．ただし，

0 ≦  ＜ 2 

とする．

(1)

y  cos 2 x  2 3 cos x

^(2)＊

y  cos

²

x  cos 2 x  3 sin x

基 本 編 の 解 答

１ (1)

4 2 6 sin4 cos3 cos4 sin3 4 sin 3 12

sin7    



 

 



     



(2)

4 2 6 sin6 sin4 cos6 cos4 6 cos 4 cos12

cos 12    



 

 







 



       

(3) 2 3

3 1

3 1 3 tan2 tan4 1

3 tan2 tan4 3

2 tan 4 12

tan11  



 









 

 



 

 

 



_{(4) }



 



 

 

 

 

 0

sin8 2

2 2 sin8 4

2 2 2 cos4 1

sin² 8

  





(5) 



 



 

 



 

 

 0

8 cos5 2

2 2 8

cos5 4

2 2 2

4 cos5 1 8

cos²5

  



 (6) 



 



 













  0

tan12 3

12 2 tan )

3 2 ( cos6 1

cos6 1

tan²12 ²

 



 



２ (1)



cos 0



5 4 5 1 3 cos

2



 



 











より ,

25 sin 7 2 1 2 cos 25, cos 24 sin 2 2

sin





 





  ²





2 0_



2_



より 0

cos2 , 2 0

sin









だから

10 10 3 2 cos 1 cos2 10 ,

10 2

cos 1

sin



2  







 





(2) ,

3 4 tan

1 tan 2 2

tan 2 

 



 

5 1 tan 1 cos 1

2

2 

 

 

より

 





 



 

 

 



 0

cos2 10

5 5 2

cos 1 cos2 , 0 cos 5

cos



1 

  





３ (1) 



 

 













 

 cos 2sin 3

2 sin 3 2 2 1 )

(^与式

   

(2) 



 

 













 

 cos 2 2sin 3

2 sin 3 2 2 1 2 )

(^与式

   

標 準 編 の 解 答

Ａ (1)

  

^{cos 0}



13 cos 12 2

13 sin 5 , 0 5 cos

cos 4 0 2

5

sin 3   



 



  





 



 



  



         



より  より  だから

65 ) 63 ( cos 65, ) 16 (

sin

















(2)

5 sin 2

2 3 5

cos 1 , 10 cos 1

0 2 10

sin 3  



 



  











 



  



       



より より よって tan



3, tan



2

7 1 2 3 1

2 ) 3 ( tan , 2 1 3 1

2 ) 3 (

tan 





 



 



 





   

(3) 5

cos 3 2

3 5

sin 4  



 



  





   



より ,

25 cos 24 sin 2 2

sin  



  

5 5 2 sin2 2 0

sin 5, 4 2 cos 1

sin²



2  







 







 















4 3 2

2 ,

4 1 cos 2

1 tan 2

5, 1 2 cos 1 cos 2

2 2

2     



  



0

tan



2

2

tan2





（ 2

cos 1

cos 1

tan2 



 







としてもよい）

Ｂ (1)

   

_^









     



 0 2 1 sin 1

13 cos 3 , 13 sin 2

sin 13 )

(与式

  

は

 

を満たす角で ≦

 

のとき ≦

 

≦ 最大値 13, 最小値 13

＜補＞ acos



bsin



 a²b²cos(







) (ab0でない) と合成することもできる．

つまり，

   

_^









     



 0 2 1 cos 1

13 cos 2

, 13 sin 3 cos

13 )

(与式

  

は

 

を満たす角で ≦

 

のとき ≦

 

≦ と合成できる．

(2)

   





 



     





 0 2 1 sin 1

5 cos 3 5, sin 4 1

sin 5 )

(与式

  

は

 

を満たす角で ≦

 

のとき ≦

 

≦ 最大値6, 最小値4

（あるいは

   





 



     



 0 2 1 cos 1

5 cos 4 5, sin 3 cos

5 )

(与式

  

は

 

を満たす角で ≦

 

のとき ≦

 

≦ ）

Ｃ (1)

2 2 sin 6

6 2 sin 2 )

( 



 

 







 

 



   

与式 より

      

12 , 11 12

5 4

, 3 4

6   



(2) (与式)  2cos²



3cos



20  (2cos



1)(cos



2)0, 1≦cos



≦1 より

   

3 , 4 3 2 2

cos 1  

(3)

           

3 7 2 3

3 , , 3

3 0 sin 3 0

sin 2 )

(    



 

 





 

 

 ≧ ≧ ≦ ≦ ≦

与式 ゆえに

   

2



3 , 5 3

0≦ ≦2 ≦ 

(4) (与式)  2sin



cos



sin



0  sin



(2cos



1)0 より かつ ① または かつ ② 2 cos 1 0 2 sin

cos 1 0

sin

















①より ,

0 3 3 2

5 0 3

0







かつ「 ≦







または











」 







②より

       

3 5 3

5 2 3

0  かつ     

    

3 , 5

0  3  



x y

O

x y

O

t y

O

t y

O

Ｄ 与えられた直線のうち前者を



₁

,

後者を



₂ とし，



₁

, 

₂ が

x

軸 の正方向となす角をそれぞれ



₁

, 

₂ とする．

(1) _{1 2}

,

_{2 1}

2 tan 1

3 ,

tan   1        

とおくと，

) (

tan

tan   

₂

 

₁

1 2

1 2

tan tan 1

tan tan











 



₁

 1





₁



₂

1 tan

tan    

( )

4   

    

 



²

(2)

,

3 5 3 : 2

1

y   x 



3 6 3 : 5

2

y  x 



として，



₁



₂

3 tan 5

, 3

tan 

₁

  2 

₂



であるから，

) ( tan

tan   

₁

 

₂



₂



₁

2 1

2 1

tan tan 1

tan tan











 

 3

3

  



Ｅ (1)

y  cos 2 x  2 3 cos x  2 cos

²

x  2 3 cos x  1

と変形し， 1,123

 1 1 

cos x  t 

≦

t

≦ とおくと，

2 5 2 2 3 1 3 2 2

2

2

  





 



 







 t t t

y

（右図参照）

 1



t

のとき， 最大値

1  2 3

2

 3

t

のとき， 最小値

2

 5

2 

0

≦

x 

より _^









 

2 , 5 2

3



 



1,123















x x

t

1 cos 1

だから， 最大値

1  2 3

（x

 

のとき）

  6 , 11 6 2

cos 3 2

3    



x x

t だから， 最小値

2

 5

（

  6 , 11

 6

x のとき）

(2)

y  cos

²

x  cos 2 x  3 sin x  ( 1  sin

²

x )  ( 1  2 sin

²

x )  3 sin x   3 sin

²

x  3 sin x  2

と変形して， ^_^ 4^_^

,11 2 1

 1 1 

sin x  t 

≦

t

≦ とおくと， ^1,2

4 11 2 3 1 2 3 3

2

2

 



 

  













t t t

y （右図参照）

2

 1

t 

のとき， 最大値

4 11

 1

t

のとき， 最小値

 4

_1,4

 2

0

≦

x 

より



 6 , 11 6 7 2

sin 1 2

1     



 x x

t

だから， 最大値

4

11

_（

 

6 , 11 6

 7

x

^のとき）

1 2 sin

1 









 x x

t

だから， 最小値

 4

（

2

 

x

^のとき）



