数Ｂ 総合演習１

数Ｂ 総合演習１

＜５０分＞ 第三学年 組 番 氏名

１ 次の各問いに答えよ．

(1) 第3項が31, 第12項が 5である等差数列 {a_n} がある．

① この数列の 一般項a_n を求めよ．

② この数列の 初項 から 第n項 ^までの 和 Sn の最大値と そのときの nの値^{を求めよ．}

(2) 初項が3, 公比が 2, 末項が768 の 等比数列の和 を求めよ．

(3) 等比数列 {a_n} において，初項 から 第n項 までの和を S_n とする． S₂10, S₆910 であるとき， 数列 {a_n} の 一般項 を 求めよ．ただし， a₁0 とする．

２ 次の和 を求めよ．

３ 次の各問いに答えよ．

(1) 数列 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43,  の 一般項a_n を求めよ．

(2) a_n pn²3n で表される 数列 {a_n} ^{の階差数列が} 公差 2 の等差数列であるような 定数p の値 ^{を求めよ．}

４ 次の和 を求めよ．

５ 次の 和 S を求めよ．

1 1

3 ) 1 2

( ^







 ^{n k}

k

k S

６ 3 で割って 1 余る自然数の列を次のように群に分ける．ただし 第n群 ^には 2^n1個 の数が入るものとする．







 , 43 ,

25 , 22 19 , 16 , 13 , 10 7 , 4 1

(1) 第n群 の末項（最後の項）を求めよ．

(2) 第n群 ^の 総和S を求めよ．

(3) 4000は 第何群の第何番目の数であるかを求めよ．

(1) (3 7)

11 1

 

 k

k

(2) ¹

1

3 ^

ⁿ ^k k

(3) (2 1)(3 1)

0



 

 k k

n k

(4) 2n4(n1)6(n2)2n1

(1) ( 1) 1

1 

 k k

n k

(2) ( 2) 1

1 

 k k

n k

(3)

2 3 1 3

42 1

1

1   

 k k

k

＜答＞

１ (1) ① a_n 4n43

② S_n ^は n10 ^{で 最大値} 210 ^をとる．

(2) (S₉ )1533 (3) a_n 5(3)^n1

２ (1) 275 (2) (3 9) 2

1 ^n2 (3) ( 1)(4 7 2) 2

1 n n2 n (4) ( 1)( 2) 3

1n n n

３ (1) 1 2 ² 1 ( 2)

1

1

≧ n n n k a

n

k

n  ^   



で，n1 の場合も成立． ∴ a_n n²n1 (n≧1)

(2) （a_n1a_n b_n とおくと，b_n p(n1)²3(n1)(pn²3n)2pnp3 で，これが公差 2 の等差数列だから） p1

４ （部分分数分解の利用） (1) 



 





 

 も可

1 1 1

1 n

n

n ₍₂₎



 



 



 





 

 





 も可

2 1 1 1 2 3 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 4

) 5 3 (

n n n

n n

n (3)

3 2 4

５ （（等差）×（等比）の和は SrS を計算） S(n1)3ⁿ1

６ （群数列は， 第n群 の末項までの項数に注目）

(1) 32ⁿ5

(2) S92^2n372^n2 (3) 第11群 の 311番目