数Ⅱ 自主演習⑨

(1)

数Ⅱ 自主演習⑨

（軌跡と領域）

基本編

１次の点

P

の軌跡の方程式を求めよ．

(1)

2

点

A (  2 , 0 ), B ( 1 ,  1 )

から等距離にある点

P

(2)^*

2

点

A (  3 , 0 ), B ( 3 , 0 )

からの距離の比が

1 : 2

である点

P

(3)^*

2

点

A ( 1 , 0 ), B (  1 , 0 )

からの距離の平方の和が

10

^である点

P

(4)

2

点

A (  1 , 1 ), B ( 3 , 2 )

について

AP

²

 BP

²

 1

を満たす点

P

(5) 点

A ( 2 , 1 )

と直線

x  2 y  3

上の点

Q

を結ぶ線分

AQ

の中点

P

(6)^* 点

A ( 1 , 1 )

と放物線

y  ( x  2 )

² 上の点

Q

を結ぶ線分

AQ

の中点

P

２

t

^が

{ }

の値^{をとるとき，}点

( x , y )

はどのような図形上にあるか．

(1)

 t

^{は任意の実数}



t y

t x

 









 1 3

2

(2)

 0 1 

1 2 4

1 2

2 ≦

t

≦

t t y

t x

 











３次の不等式の表す領域を図示せよ．

(1)

x  2 y  1

(2)

y   2 x

²

 3 x

(3)^*

y

≧

2 x

²

 x  3

(4)^*

x

²

 y

²

 4 x  1  0

標準編

Ａ次の点

P

の軌跡の方程式を求めよ．

(1)

2

直線

2 x  y  3  0 , x  2 y  4  0

から等距離にある点

P

(2)^*

a

の値が変化するとき，放物線

y  x

²

 2 a x  a  2

の頂点

P

(3)

k

の値が変化するとき，放物線

y  x

²

 ( k  5 ) x  k

の頂点

P

(4) 直線

y  2 x  k

が円

x

²

 y

²

 5

と異なる

2

点

Q, R

で交わるとき，線分

QR

の中点

P

(5)^* 直線

y  m ( x  1 )

と放物線

y  x

² が異なる

2

点

A , B

で交わるとき，線分

AB

の中点

P

Ｂ^* 円

C : ( x  1 )

²

 ( y  1 )

²

 4

と

2

点

A ( 5 , 1 ), B ( 3 , 4 )

がある．点

P

が円

C

上を動くとき，

 ABP

の重心

G

の軌跡を求めよ．

Ｃ次の不等式の表す領域を図示せよ．

(1)

  

 3 12

2

≦

y x

x

y

(2)^*



 









 3 2

2

9

2

y x

(3)

( x  2 y  4 )( x  y  1 )

≧

0

(4)

( x  y  2 )( x

²

 y

²

 4 )  0

⁽⁵⁾^*

x  y

≦

1

Ｄ^* 連立不等式

3 x  y

≧

0 , x  2 y

≦

0 , x  3 y  10

≦

0

^の表す領域

D

を図示せよ．また，点

( x , y )

が領域

D

を動くとき

 x  y

のとる値の最大値と最小値を求めよ．

Ｅ

x

²

 y

²

 2 x  4 y  4  0

ならば

2 x  y  1  0

を図示せよ．

(2)

x y

O

x y

O

x y

O

x y

O

基本編の解答

１

P ( x , y ), Q ( X , Y )

とする．

(1)

AP  BP  ( x  2 )

²

 y

²

 ( x  1 )

²

 ( y  1 )

²

 3 x  y  1  0  or y  3 x  1 

（

AB

の垂直二等分線）

(2)

2 AP  BP  4 {( x  3 )

²

 y

²

}  ( x  3 )

²

 y

²

^ ^x

²

^ ^y

²

^ ¹⁰ ^x ^ ⁹ ^ ⁰  ^or ⁽ ^x ^ ⁵ ⁾

²

^ ^y

²

^ ¹⁶ 

（アポロニウスの円）

(3)

AP

²

 BP

²

 10  {( x  1 )

²

 y

²

}  {( x  1 )

²

 y

²

}  10

 x

²

 y

²

 4

(4)

AP

²

 BP

²

 1  {( x  1 )

²

 ( y  1 )

²

}  {( x  3 )

²

 ( y  2 )

²

}  1

 4 x  y  6  or y   4 x  6 

(5)

2 2 , 2 1

2 , 1

2 2      

 

 Y X x Y y

X y

x

を

X  2 Y  3

に代入して，

( 2 x  2 )  2 ( 2 y  1 )  3

 2 x  4 y  3  0

(6)

2 1 , 2 1

2 , 1

2 1      

 

 Y X x Y y

X y

x

を

Y  ( X  2 )

²^{に代入して，}

2 y  1  ( 2 x  3 )

²

 y  2 x

²

 6 x  5

２ (1)

t

を消去^して

y  3 ( x  2 )  1

^より直線

y  3 x  7

(2)

t

を消去して

1 1 ,

2 2 1 2

4 1

²

2









 



 



  

 

 



   x x y x x

y

また，

1 1 3

2 0 1 1

0

≦ ≦ ≦

x

≦ ≦

x

≦

t   

を考えて，

の部分

≦

≦ の

放物線

y  x

²

 x  1 1 x 3

３求める領域は，各図中の斜線部．ただし，境界線のうち実線は含み，破線は含まない．

(1)

2 1 2 1 



 x

直線

y

の下方

(2)

8 9 4 2 3

2



 

 

  



 x

放物線

y

の上方

8 9

2 3 4 3

(3)

8 25 4 2 1

2



 

 

  

 x

放物線

y

の上方

及び線上

 

 



   8 , 25 4 1

(4) 円

 x  ² 

²

 y

²

 ³

の内部

3 2 

3 2 

標準編の解答

Ａ

P ( X , Y )

とおく．

(1) 2 直線のなす角の二等分線を考えて，

2 3 ( 2 4 ) 3 1 0 3 7 0

2 1

4 2 )

1 ( 2

3 2

2 2 2

2

             





 







 Y X Y X Y X Y X Y X Y

X

または

y x Y

X ,

を

,

に書き直して

 x  3 y  1  0

または

3 x  y  7  0

(2)

y  ( x  a )

²

 a

²

 a  2

より

X   a , Y   a

²

 a  2

から

a

を消去して

Y   X

²

 X  2

 y   x

²

 x  2

(3)

k k k

x

y    



 



 





²

2

) 5 4 ( 1 2

5

より

k Y k k

X     (  5 )

²

 4

, 1 2

5

から

k (  2 X  5 )

を消去して

Y   X

²

 2 X  5

 y   x

²

 2 x  5

(4)

y  2 x  k , x

²

 y

²

 5

より

y

を消去して

x

²

 ( 2 x  k )

²

 5  5 x

²

 4 kx  k

²

 5  0

として，

Q (  , 2   k ), R (  , 2   k )

で，

この 2 次方程式の解を

 , 

とおくと解と係数の関係より

X     k , Y  2 X  k 5

2 2





から

k

を消去して

Y X

2  1



また，

y  2 x  k

と

x

²

 y

²

 5

が異なる 2 点で交わる条件は

5 5 5 5 )

1 (

2

² ²

















k k k

だから

X k k

X 2

5 5

2   





より

5 2 2

2 5   5     

 X X

以上から，

 ² ² 

2 1   



 x x

y

(5)

y  m ( x  1 )

と

y  x

² より

y

を消去して，

x

²

 mx  m  0 

①

A, B

が存在する条件は (①の判別式)＞0 であるから，

, 4

, 0 0

2

4 m m m 

②

m     

A (  , m (   1 ), B (  , m (   1 ))

で， 2 次方程式①の解を

 , 

とおくと，解と係数の関係より

) 1 ( 2 ,

1 2   

  m Y m X

X   

③

これから

m

を消去すると，

Y  2 X ( X  1 )  2 X

²

 2 X

②，③より

X  0 , 2  X

以上から，

y  2 x

²

 2 x  x  0 , 2  x 

(3)

x y

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

O P

A B

C G

x y

O A

D B

x y

O A

B

Ｂ直線

AB

は円

C

と共有点をもたないから，

 PAB

がつねに存在する．

) , ( ), ,

( p q G X Y

P

^{とおくと，}^（直線

AB

と

13

の中心間距離

12

円

C

は半径

2

より大きい）

 









 

 

 



 

5 3

8 3 3

5 3

8 Y q

X p Y q

X p

P

は

C

上の点であるから，

( p  1 )

²

 ( q  1 )

²

 4

^であり，

9 ) 4 2 ( ) 3 ( 4 ) 6 3 ( ) 9 3

( X 

²

 Y 

²

  X 

²

 Y 

²



よって，

G

^の軌跡は





 



     







 0

9 4 113 9 6

) 4 2 ( ) 3

( x

²

y

²

or x

²

y

²

x y

円

Ｃ求める領域は，各図中の斜線（影）部．ただし，境界線のうち実線は含み，破線は含まない．

(1)

x y y

x  3  12  2

5 12

(2)

3 2 x  y  5

9 5 12

2 9

2y  x

(3)

0 1 



 y x 0 4 2  

 y x

 

 



 5 , 8 3 2

(4) (5)

3 4 2

12 3 2 ) 1 (







 x y

y x

≦

² ³ 3 2 ) 2 (









 x y

y x



















 





















1 2 2 1 1

2 2 1

0 1

0 4 2 0 1

0 4 ) 2

3 (

x y

x or y

x y

y x

y or x y

x y x

≧

≦

≧

≦

≧



 



 

















 



 



 



























4 2 4

2 0 4

0 2 0

4 0 ) 2

4 (

2 2 2

2

2 2 2

2

y x

x or y y x

x y

y x

y or x y

x y x



 











) 0 ( 1

) 0 ( 1 )

5 (

y x y

≦

≧

≦

Ｄ

3 x  y  0    

① ①





②



 0  2 

 y

x

③



③

0  10

3  

 y x

3 直線①，②，③の交点は

O ( 0 , 0 ), A ( 1 , 3 ), B ( 4 , 2 )

となるから，

D

② 求める領域

D

は

 OAB

の周及び内部（右図参照）．

k  2

k y x  



 :

とおく．

k x y k

y

x     



k   2



が

D

と共有点をもつような

k

の値の範囲を考えればよい．図を参照して，

k

は



が

A

を通るときつまり

x  1 , y  3

のとき

k

は最大となり，その値は

2 ,

B

を通るときつまり

x  4 , y  2

のとき

k

は最小となり，その値は

 2 .

ゆえに，最大値

2 ,

最小値

 2

Ｅ不等式

x

²

 y

²

 2 x  4 y  4  0

^{の表す領域を}

A ,

^不等式

2 x  y  1  0

の表す領域を

B

とする．（右図参照）

A

は円

( x  1 )

²

 ( y  2 )

²

 1

の内部，

B

は直線

y  2 x  1

の上方であり，グラフより

B

A 

である．

したがって，

x

²

 y

²

 2 x  4 y  4  0

ならば

2 x  y  1  0

である．