数Ⅱ 総合演習２

(1)

数Ⅱ 総合演習２

(式と証明②)

＜８０分＞第三学年組番氏名１ (1) 2

次方程式

( 2  i ) x

²

 ( 5  i ) x  3 ( 1  2 i )  0 の実数解を

求めよ．

(2)

z² 512i

をみたす

複素数

z を求めよ．

(3) 2

次方程式

x

²

 3 x  8  0 の解を求めよ．

２ (1) 2

次方程式

x

²

 2 x  4  0 の 2 解を  ,  とする．

①  

²



²

を求めよ．

②  

³



³

を求めよ．

③ 

²と



²

を 2 解とする 2 次方程式を 1 つ作れ．

(2) 2

次方程式

x

²

 ax  3 a  1  0 の 2 解の比が 1 : 3 のとき，

その 2 解と

定数

a

の値

を求めよ．

(3) x, y に関する次の連立方程式を解け．

 

















②

①



 0 4 2 4 4

6

2

y x y xy

x

xy y x

３ (1) x

ⁿ

を x

²

 5 x  6 で割った余りを求めよ．ただし，

は自然数の定数

n である．

(2) 3 x

¹³

 7 x

⁶

を x

²

 1 で割った余りを求めよ．

(3) x

の整式

f (x ) を ( x  1 )

² および

( x  1 )

²

で割ったときの余りが，それぞれ 2

x

 1 , 3

x

 4 であるとする．

) (x

f ^を ( x  1 )

²

( x  1 ) で割ったときの余りを求めよ．

４ (1) x

の整式

f (x ) を x  2 ^{で割った余りが} 1 , x  1 ^で割った余りが 4 ^のとき， f (x ) ^を ( x  2 )( x  1 ) ^{で割った余りを} 求めよ．

(2) x

の

3

次式

f ( x )  x

³

 ( a  b ) x

²

 ( 2 a  b  1 ) x  b  5 が

2

 1

x で割りきれるとき，定数 a, b

の値

^{を求めよ．}

また，このとき，

方程式

f ( x )  0 の解を求めよ．

５ 1

の3乗根

のうち虚数であるものの 1 つを  とする．

(1) 3

次方程式

x

³

 1 の解は， 1 ,  , 

²

であることを示せ．

(2) 

²

 

⁴

 

⁶ の値

を求めよ．

(3) 

⁵

 2 

²

 1  a   b をみたす

実数

a, b

の値

を求めよ．

６次の方程式を解け．

(1) x

³

 4 x

²

 x  12  0 (2) 2 x

³

 3 x

²

 6 x  2  0

７ (1)

方程式

x

³

 8 x  2  0 の 3 個の解を  ,  ,  とするとき，

, ,   





      , 

²

 

²

 

²

の値をそれぞれ求めよ．

(2) x  y  z  8 , x

²

 y

²

 z

²

 26 , xyz  12 ^{のとき，} z

y

x , , を求めよ．

８ f ( x )  x

³

 x

²

 px  q ^{に対して，} 3

次方程式

f ( x )  0 が

 1

x を解にもつとする．

(1) q ^を p ^で表せ．

(2) 3

次方程式

f ( x )  0 が 3 つの異なる実数解をもつ

定数

p の条件を求めよ．

９

^＊

次のそれぞれの問いに答えよ．

(1) t  x  1 x とおくとき，

2

2 1

2 x x x

x    を t

の式

^で表せ．

(2)

方程式

x

⁴

 2 x

³

 13 x

²

 2 x  1  0 を解け．

(2)

１の（答） (1) x   3

(2)

x

 2  3

i

,  2  3

i

(3)

2 23

3 i

x 



２の（答）

(1) ① 

²



² 4

② 

³



³ 16

③ x

²

 4 x  16  0

(2) , 6 33 ( )

3 2 33 3 ,

) 33 6 (

4   







複号同順



x

a

(3) ( x , y )  ( 1  5 , 1  5 ), ( 1  5 , 1  5 )

３の（答） (1) ( 3

ⁿ

 2

ⁿ

) x  3  2

ⁿ

 2  3

ⁿ

(2) 3 x  7

(3)  x

²

 4 x  2

４の（答） (1) x  3

(2) a  1 , b  2 解は

x

  1 ,  3

５の（答） (1) 略

(2) 

²

 

⁴

 

⁶

 

²

   1  0 (3) a   3 , b   2

６の（答） (1)

2 17 , 1

3 

x 

(2) , 1 3

2 1 

 x 

７の（答）(1)       0 ,        8 ,   2 , 16 ) (

2 )

(

²

2 2

2

                



(2) ( x , y , z )  ( 1 , 3 , 4 ), ( 1 , 4 , 3 ), ( 3 , 1 , 4 ), ) 1 , 3 , 4 ( ), 3 , 1 , 4 ( ), 1 , 4 , 3 (

８の（答） (1)

q

 

p

 2 (2) p   1 ( p   5 )

９の（答）＜

^＊

相反方程式＞

(1)

t t

x x x

x

1 ( 2 ) 2

1 2 )

(

²

2

   



 

  

 



 



 

 与式

2

 2 

 t t

(2) 与式の両辺を x

²

(  x  0 ) で割ると 1 0

13 2 2 )

( 

²

   

₂



x x x

与式

x

(1)の結果から

3 , 5 0

15 2

0 13 ) 2 2 (

2 2





















t t

t t t

x x

t   1 より tx  x

²

 1  x

²

 tx  1  0 0 1 3 0

1

5

²

2

     

 x x

または

x x

2 5 3 2

21 5   

 

 x

または

x

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