博 士 （ 理 学 ） 廣 川 真 男
学位論文題名
An Inverse Problem foraQuantum Particle Interacting withaBose Field and Long‑Time Behavior of Canonical CorrelationFunCdonSinanIn
丘niteVbluHleLimit
（ボース場と相互作用した量子系の粒子に対するある逆問題と
￣
無 限 体積 極限 におけるカ ノニカル相 関函数の長 時間挙動）
学位論文内容の要旨
本論 文 で は 、 無限 体積 極限に おける 位置の 作用素 もし くは運 動量の 作用素 のカ ノニカ ル相関 函数の 長 時 間 挙 動 を 扱 う 。 ま ず、 有 限 体 積 のパ ラ メ ー タ をレ>0と し て、 無 限 自 由 度の ボ ー ス 粒 子の 適 当 な 条 件を 満 た す 任 意の物 理系と 熱平 衡状態 にある 量子調 和振 動子を 考える 。本論 文で扱 うモ デルは 、 例 え ば、 レ ー ザ ー が熱浴 を通過 する ときに 観測さ れる、 熱浴 による 振動と 相互作 用する レー ザーの 光 子 、 また 例 え ぱ 、 材 料表 面 に 弱 い レー ザ ー を 照 射し た と き に 観測 される 、材料 表面の フォ ノン振 動 と 相 互 作 用 す る レ ー ザ ー の 光 子 の 取 り扱 い を 数 学 の中 で 可 能 に す るも の で あ る 。有 限 温 度T>Oで の観 測で、 調和振 動子 の位置 の作用 素もし くは 運動量 の作用 素のカ ノ二カ ル相 関函数R´ （tl，f2）が 与 え られ た と き 、R´(tl，t2） に 対 し て、 あ る 適 当 な条 件 下 で 無限体 積極限 レ→ooを取り 、逆温 度 p三1/Tに対す る極限 関数Rp(tl，t2）三limレ ̲+ooR´（ ￡1，t2)を得て 、このRp（tl，t2）に対する長 時間 挙動を 言義論 する ことが 本論文 の目的 であ る。
パラ メ ー タ レ>0に 対 し て 、r、 ′ 三27r Z/Vと お き （ こ こでZは 整 数 全体 の 集 合 ） 、有 限体積 にお け る 物 理 系 の 状 態 空 間 を 表 す ヒ ル ベ ル ト 空 間 ア ´ をL2（R)OFbvで与 え る 。 こ こで 、L2（R)は 実 数 体 上の2乗 可 積 分関 数全体 の集合 、ワツ はt2(Fッ ）上 の対称 フオッ ク空間 （ただ し、 印(rア） はrッ を 添 字と す る2乗 総和 可 能 な 数 列 全体 の 集 合1。今 、 aとa゛ を それぞ れ量子 調和振 動子の ァ´ に作 用 す る消 滅 作 用 素 と生成 作用素 とし 、bモ と6；（たEr、,)を それ ぞれボ ース粒 子のア ´に作 用す る消 滅 作 用素 と 生 成 作 用素と する。 本論 文では 、系の 時間発 展を 支配す るハミ ルトニ アンと 呼ば れるァ ´ 上 の 自己 共 役 作 用 素Hッ が 存 在 す ると 仮 定 す る 。し か し な が ら、 こ こ で は 具体 的 な ロ ッの 形を特 定 しな い。
最初 に 、 本 論 文で は、 ある条 件を満 たす任 意の（ 自己 共役作 用素で 与えら れる ）観測 量のカ ノニカ ル相 関函数R´ （t1，t2）に対 して次 のよ うな逆 問題を 解いた ：自己 共役 作用素H´をR´(tl，t2）のみ で決 まる係 数とa，n．、bk，6；（たerッ） で記述 される 回転 波近似 （RWA）と呼ばれる自己共役作用素 Hふ ‐で 次 の 条 件 を満 た す よ う に 推定 す る 。 そ の条 件 と は 「 多粒 子 系 の 量 子論 の 意 味 でHw‐ のゼ口 以外 のエネ ルギー ・レ ベルが 、R｀(tl，t2）のフールエ・ラプラス変換の正の極と一致し、R｀(tl，t2） はHふー による ハイゼ ンベル グ描 像の真 空期待 値（二 点相 関函数 ）げ´ （tl、t2）で記 述でき る」 こと で あ る 。 次 に 、 無 限 体 積 極 限 を 取 る こと で 、Hvwょ が 、 ヒ ル ベル ト 空 間 アoo三 ぴ （R）Oみ に 作 用 す るRWAの 自 己 共 役 作 用 素 ロRWAに ノ ル ム ・ レ ゾ ル ベ ン ト の 意 味 で 収束 す る こ と を示 し た 。 こ こ で 、 み はL2（R)上の 対 称 フ オ ック 空 間 。 こ のこ と と 、 最 初の 結 果 を 位 置 の作 用 素 と 運 動量 の 作 用 素に 適用し 、R´（fl，Z2）のW´（モJ，t2）による表現を使って、無限体積におけるカノニカル相関函数 Rず（tl、f2）を 得る。 このと き同時 に、R´(tl，t2）のときと同じように、無限体積版の二点相関函数 W （fJ、f2）によるR.7（モ1，t2）の表現が求まるので、この表現を通してRp (tl，t2）の長時間挙動を 議論 し、そ れに関 する 結果を 得た。
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学位論文審査の要旨 主 査
教 授
新 井 朝 雄 副 査
教 授
岸 本 晶 孝 副 査
教 授
中 路 貴 彦 副査
助教授
井上昭彦
学位論文題名
An Inverse Problem foraQuantum Particle Interacting withaBose Field and Long‑Time BehaviorolfCanoniCal COrrela
虹
OnFunCdonSinanIn丘
niteVOlumeLiInit（ボース場と相互作用した量子系の粒子に対するある逆問題と 無限 体 積極限 におけるカ ノニカル相 関函数の長 時間挙動）
近 年 ， 量 子 力学 的 粒 子 と 量子 場 の 相 互 作用 に 関 す る 種 々の モデル ガ無 限次元 解析学 あるい は厳 密 な 数 理 物理 学 の 観 点 から 研 究 さ れ てき て い る ． この 種 の モ デル の数学 的研究 におけ る重 要を課 題 の ひ と っ は， 粒 子 の 相 関関 数 あ る い は真 空 期 待 値 の長 時 間 挙 動を 調べる ことで ある． しか し，相 互 作 用 の い くっ か の ク ラ スを 除 い て は ，相 関 関 数 の 長時 間 挙 動 にっ いて， 非摂動 的で厳 密な 結果は 得 ら れ て い ない の が 現 状 であ る ． 本 論 文は ， こ の 問 題に 対 し て ，あ る新し い観点 からの 寄与 をあた え る もので ある．
こ の 論 文 で は，1個 の 量 子力 学 的 粒 子がボ ース 場と正 温度に おいて 相互 作用を する系 を考え る．
し か し ， 従来 の 方 法とは 異なり ，は じめか らハミ ルトニ アンは 特定 せず， それは ，ある 種の 条件を み た す 抽 象 的な 自 己 共役演 算子で よい とする ．まず ，有限 体積の 系に おいて ，物理 量の集 合の 中にボ ゴ リ ュ ー ボ フ内 積 と よ ば れる 内 積 を 導 入し ，こ れによ って ，粒子 のカ丿 二カル 相関 関数RV（Zl，t2)を 定 義 す る ．こ こ で ， レ 冫0は 系 の 体 積を 表 す バ ラ メー 夕 一 ，t1，Z2ERは 時 間 を 表 すバ ラメ ータ ーで あ る ． 関 数Rvの 基本 的性質 が調 べられ る．本 論文の 主定 理は， 回転波 近似と よばれ るハ ミルト ゛ニア ン に 関 す る2点 真 空 期 待値Wy (tlIt2） を 用 い て ，Rv（tl，t2)を 表し たこと である ．これ は，2点関 数 が わ か って い る ときに ，系の ハミ ルトニ アンを 推定す るとい う， ある種 の逆問 題を解 いた ことに な り ， こ の 意味 で も 重要な 結果で ある ．この 定理を 証明す るため の方 法の基 礎とな るのは ，抽 譲的に 定 式 化 さ れ た， 統 計 力 学 にお け る 森 の 理論 を う ま く 応用 す る こ とで ある． 著者は ，すで にこ の理論 に つ いても いくっ かの独 創的な 結果 を出し ている ．
い ま 言 及 し た 主 定 理 に 基 づ い て ， 回 転 波近 似 の 真 空 期待 値Wvの 無限 体 積 極 限wGi，Z2） ： ＝ limyー ーげレ （tl，t2）をとることにより，いくっかの条件のもとで，Rvの無限体積極限R（Zユ，t2)：＝
limyー ーRv（Zl｜Z2） の存在 ガ示さ れる． 関数w(tl，t2)の長 時間挙 動に関 してす でに知 られ ている結 果 を応用 するこ とによ り，R（tl，Z2）の 長時間 挙動 が導か れる．
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こうして，著者は，あるー般的なクラスのハミルトニアンに関するカノニカル相関関数の表現 定理とその応用として，カノニカル相関関数の長時間挙動に関する定理を確立している．以上の結 果は，すべて非摂動的であり，独創的な新しい結果である．本論文で得られた成果は，この分野の研 究の進展に貢献するところ大なるものがある．
よっ て，著者 は，北 海道大 学博士 （理学 ）の学 位を授 与され る資格あ るもの と認め る．
