博 士 （ 理 学 ） 米 田 力 生
学位論文題名
Chracterizations of Bloch space and Besov spaces by oscillations
（振動によるBloch 空間とBesov 空間の特徴づけ）
学位論文内容の要旨
複 素 平 面 上 の 開 単 位 円 板 をDと し 、D上 の 正 規 化 さ れ た2次 元Lebesgue測 度 をdA(z)＝rclrd0,/7r と する。 そしてdA（z）二 ニ石誓 躰と表 示する 。ま た〆（z， り）：＝jlog芒悟曇轟，ヤ：（W）二二二ニミ畿とす る 。 こ の と き0くrくooに 対 し て 、D（z，r） ：tuED; p(z、 り ） くr） はBergman discと 呼 ば れ 、 ID(z，7． ）IはD(z，r） の 正 規 化 さ れ た 面 積 を 表 示 す る も の と す る 。 あ るD上 の 関 数 ′ に 対 し て 、 SUPwED(z,r)1ア(z) ‑′ （り）1を ´の振 動｀卩 去珂JD(z,r)I′(z)一ア （り）IdA(り） や爾 輛fD(z,r)Iん(z) ‑
′ （ り ）ldA(w)を ァの平 均振動 と呼ぶ こと にする 。ここ でA(Z)： 二ニ面 吉襾fD(z,r)′ （仙）dA（M）と する。
11くpく 十姉 批て丶Besov堋 引川IIBp：：（ 勿ご ！川す げ旧門 地）） ；く十 ∞を
満 た すD上 の 解 析 関 数 全 体 か ら な る 空 間 で あ る 。 特 にp二 ニ き は め はDiriclet空 間 と な っ て い +oc
る 。p二 ニ1に 対 し て 、Besov空 間Biは ァ(z)〓 ど0nザ 〜(z)， ヒ10↑ エIく+OO(hED)を 満 た すD n：1'a=1
上 の解析 関数全 体か らなる 空間で あると する。Bloch空間はII，′lIB:= sup{(l ‑ lzl．2）lr′（z）i；ごEDt く 十ooを 満 た すD上 の 解 析 関 数 全 体 か ら な る 空 間 で あ り 、Bと 表 示 さ れ る 。 こ こ で 表 記 法 の 都 合 上 、Boo：Bと書く ことに する。
本 研 究 に お い て 扱 っ て い る 主 要 な 問 題 は 、D上 の 解 析 関 数 が い つBloch空 間 、Besov空 間 に 属 す る の か を 振 動 や 平 均 振 動 と ぃ う 概 念 を 用 い て 特 徴 づ け る こ と で あ る 。K．Zhuは 次 の よ う な 結 果 を 証 明 し た ：rE（0，oo） と す る 。 そ の と き1くp≦oO、D上 の 解 析 関 数 ア （z） に 対 し て 次 の （1） 〜 （4） は 同値で ある：
川 ′嘱（2）Sup川 か触 肚川剛 幟（3）高 厶ほJmH川m川 りED（ごtr）
甜 （D，川； （4）高厶 にJ弛Hm丱小 帖駅馴u
し か し 、 こ の 結 果 はp二 ニ1の 場 合 に 対 し て は （2） 〜 （4） を 満 た すD上 の 解 析 関 数 は 定 数 し か な い た め 適 用 出 来 な い 。 そ こ で 、 「D上 の 解 析 関 数 ノ に 対 し て 、n≧2の と き 、 す べ て の1≦p≦ooに 関 し て 、 ´（z） が 空 間Bに 属 す る 必要 十 分 条 件 は （1―lz｜2） ゾ （n）（z）E己p（D，dりであ る」 （定理 A） と い う 結 果 を 利 用 し て 、 我 々 はpニ ニ1の 場 合 に も 適 用 出 来 る 次 の よ う な 定 理 を 導 き 出 し た （ 定 理2．3、 定 理3．3） ：rE（0，oo） と し 、 ↑z＝Q十p、Q，pE號 と な る 整 数n20を 固 定 す る 。 そ の と き、D上の 解析関 数/（z）に対 して次 の（1）〜 （4）は同 値であ る：
(1) f e Bp; (2) sup (1‑ 1212)a(l ̲ IWI2)Lilf(n)(Z) ̲ f cn)(.iy)l e Lp(D,dA);
りED(zjr）
―95 ‑
(3)
(4)
1
Dz‑r)l J(z,,') (1 ‑ 1212)a(l ̲ IWI2)13｜丿1（n）（Z) ̲ f ) (w)ld.A(w)E Lp( D, clA);
1
D z )l J(z,.)(l ‑ 12[2)a(l ̲ iwl2)pIJ( ).(z) ̲ f U)(w)ldA(w) ci Lp(D,dA)
この結果は孔＞―1のとき、p二ニ1の場合も含めたすべての1く
p
くooに対して成立していると 同時に、n ‑0のとき はK.Zhu
の結果そのものであ るという意味でこの完全な一般化となってい る。また空間Bpの別 の特徴づけとして、K.Stroethoffは次のような結果を示した：2くpくooの と き 、D
上 の 解 析 関 数 ノ に 対 し て 、 ′(z)
が 空 間Bp
に 属 す る 必 要 十 分 条 件 はムん （ト川 弔p （l 小冖き 1 咢三掣i 川洲地）く十oo ．…H
この結果は
1
くpく2の場合、条件（＊）を満たすD
上の解析関数は定数しかない。そこで1くp<2
のときにも適用出来るこのタイプの新たな′の振動、平均振動を導入した：rE（0，こxコ）と し、l‑a十p、a，pE睨とする。そのとき、ッ潔‥（1 −H サ（二l ・・川ず｜等掣1 面烏Lcz..)H 印H1 −IIWI ） ｜等掣｜川り）
これらの振動、平均振動をそのまま利用して空間Bpを特徴づけることも出来るが、それだけでは先 程と同様に
p
二二1のときには適用出来ない。そこで再度、定理Aを考慮して、すべての1＜−p≦ oo に対して成立する次のような定理を導き出した（定理2.7、定理3．5）wE（0，oo)とし、n＝Q十夙a
，pE號となる整数72 >1を固定する。そのとき、D上の解析関数/(z)に対して次の（1）〜（3）は 同値である：川，′E Bp ；（2 ）んし諜り（11 川アくll 川ず
（3 ）厶（高厶ーメ1 ・I ポHH 卸）″
′い1）（z）ニよ！ニニ：2！劃
Z―・飢´ ｜ /（nー1）（z）―´ （n―1） （り）
dA(z)
く+oo
；dA（ り ） ） dA（z）く 十oo
この結果は
n
≧2のと き、すべての1くpくoo
に対して成立している。本研究で は他にも幾つ かの振動、平均振動を定義し、それらを利用して注2.4、9.6、2.8、2.10、3.4、3.6で空間を特徴 付けている。例えばっぎのような平均振動を定義した：1
禰 厶
(z.,)log
十（ （1―11212)a
いゅ 冖′ （ 冖1）（z）ーノ （n―1） （り）
dA r)
さらにこれらの結果は、little Bloch空間、n−
Bloch
空間、littlea―Bloch空間、Q一Besov空間（これらの定義はここでは省略する）にも応用出来 ることも系
2.5
、2.9、第5章で証明した。―96―
丶 丶―
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学位論文審査の要旨
主 査
教 授
中 路 貴 彦 副 査
教 授
井 上 純 治 副 査
教 授
岸 本 晶 孝 副 査
教 授
林
実 樹 廣
学位論文題名
Chracterizations of Bloch space and Besov spaces by oscillations
（振動によるBloch 空間とBesov 空間の特徴づけ）
単 位 開 円 板 上 の 正 則 関 数 の な す
Banach
空 間 で あ るBesov
空 間Bp
（l<p
＜ ーoo)
は 、Bergrna.n
空 間 上 のHa.nkel
作 用素 の 研 究に 現 れ たこ と も あっ て 、深く 研究され てき た 。Bcx,
はBloch
空 間 、B2
はDirichlet
空 間 と 呼 ば れ て い る 。 ヰ は 、1
くp
≦oo
の と き は 微 分を 用 い て定義さ れるが 、p=ニ1のときf
まそ の様な定 義はで きない。S.Axler
，K.Zhu
やK.Stroethoff
等に よ っ て研 究 さ れ、p
二 ニ1の と き も含 む 全 てのp
に つい て の 自然 な 特 徴 付 け が あ る 。 本 論 文 で は 、 全 て のBesov
空 間Br,
（l<p
＜ ―oo)
の 関 数の 様 々 な振 動 を 用いての特徴付けに成功している。K.Zhu
は い く っ か の 振 動 を 用 い てBp
（1
くp
≦oo
） の 特 徴 付 け を 与 え て い る が 、 し か しp=l
の と き に 成 功 し て い な い 。 本 論 文 で はP=
ニ1
の と き も 含 むBp
の い く っ かの 振 動 を用いて の特徴 付けを微 分を用 いて与え ている。K.Stroethoff
は、 ある振動 を 用 い て 」Bv
（2
くp
くoo)
の 特 徴 付 け を与 え た が、 こ れ は 明ら か に1
＜ ―p
＜ー2
の 場合 に適用できない。本論文では、Jく.Strc)cLhoffの′11
いた振動に類似した振動を用いて全ての」郎（1＜―p oo）の特徴付けを与えている。
