学位論文題名PROLONGATIONS OF CANONICAL SYSTEMS ON JET SPACES

博 士 （ 理 学 ） 澁 谷 一 博

     学 位 論 文 題 名

PROLONGATIONS OF CANONICAL SYSTEMS     ON JET SPACES

（ジェット空間の正準微分式系の延長）

学位論文内容の要旨

  Engel

】

Goursat

，

Cartan

らに よ っ て

1

未 知 関数1独 立変数 のk階の

jet

空間上 の高階 接 触 微分式 系の特 徴付け の研究 がなさ れた． この微 分式系は ランクが2の微分式系でありそ の 高階派 生系の ランク がーっ ずつ上 がりk階 派生系 が接空 間全体に一致するという性質を も つ，逆 にこの 性質を 持っも のを（ 長さkの）Goursat flagと定義してjet空間の特徴付け に な る と

Goursat

は肯 定的 に考え ていた ．しか し1978年に

Giaro‑Kumpera‑Ruiz

に より否 定 的に解 決された（【GKR]）．っまり長さが3のGoursat flagはジェネリックには3階のjet だ が特異 点を持っている，これを彼らは指摘した．一般に長さが3以上のGoursat fiagは特 異点を持つ，

  

こ れ に 対 し

m

未 知 関 数

n

独 立 変数 の

1

階 の

jet

空間 に 対 し ては

1979

年 に

Bryant([B]

） がっm未知関数n独立変数の高階のjet空間に対しては1982っ1983年にYamaguchi([Yl]［Y2]） が特徴付けを与えた．

  Goursat fiag

はjetではない特異点を含んでいるが，ではそれはどのようなものなのか？と い う問い に対し

2001

年に

Montgomery

・ZhitomirskiiがGoursat flagであるものはMonster

Goursat Manifold(3

次 元接触多 様体から延長を繰り返して構成される多様体）にあらわれ ることを示した（[MZ]）．

  

本 研究 で は 多未 知関数 多独立 変数の

jet

空間に 対応す るMonster Goursat Manifoldが どのようなものであるかを明らかにした，

  

そ の候補 は自然 に考えら れてっそれはYamaguchiによるjet空間のグラスマン構成（ひと つ 低階のjet空間上 の高階 接触微分式系のfiber方向に横断的な積分要素全体からなる空間 を考え，微分式系を定める構成）のときの横断性条件を落とし、全ての積分要素を集めるこ と を 考 える ； す な わち

m

未 知 関 数

n

独 立 変数の

k

階のjet空 間（ナ （m，n） ，Ck）に 対し

E(Jk(TT7.,T7.)) =U Ex   ,   Ex := {n ‑ dim integraZ elements of Ck}

    xEJk

と定める，

  

このとき，一般にE(Jk(Tnっn））はvarietyになり，多様体にならない

  n

＝1のと き は 特 別で こ の 構 成（

n =1

の と き は 特に ラ ン ク

1

延 長と 呼ば れる） ででき たもの はvarietyに ならず 多様体に なり、 またこ の操作 は繰り 返し行 うこと ができる．m 未知 関 数

1

独 立 変 数の

1

階 の

jet

空 間か ら ラ ン ク1延 長を 繰 り 返 して 構成 される ものが

m

未 知 関 数1独立 変 数 の 拡張 さ れ た

Monster Goursat Manifold

に な る ， 特に

m‑l

の と き

― 55―

が元々Montgomery‑ZhitomirskiiがMonster Goursat Manifoldと呼んでいるものである，

拡張されたMonster Goursat Manifoldはm‑fiagになる，ここでm‑flagとはランクが

m

十1 の微分式系でありその高階派生系のランクがmずつ上がる性質をもっもので、さらにk階 派生系が接空間全体に一致するとき長さkという．

  

これに対し本研究ではMontgomery‑Zhitomirskiiの結果の拡張としてm未知関数1独 立変数の拡張された

Monster Goursat Manifold

の特徴付けを(Cartanランク，Engelラン クを用いて特徴付けることによって）与えた（［SY]）．

  っ ぎ にm未 知 関 数 n独 立 変 数 の 場 合 に 対 応 す る 拡 張 さ れ たMonster Goursat Manifold を 考 え よ う と す る とn‑lの と き と 本 質 的 に 違 い ， ま ず 問 題 に な る の が ， 上 で も 述 べ た が 、 一般 にvarietyにな り ，多 様 体に な らな いこ と であ る ，

  本 研 究で はこ れ に対 し,E(Jk(mっ れ） ）が ぃ つ多 様 体に な るか を 明ら かに し た，（［S1］j［S2］） ．す な わ ち 自 明 な 場 合 （1独 立 変 数 ま た は 1未 知 関 数 で 1階 の 場 合 ） 以 外 で は1未 知 関 数2独 立 変 数 の2階 のjet空 間 の 接 触 微 分 式 系 の 積 分 要 素 全 体 の 集 合 だ け が 多 様 体 に な り 、 そ の 他 の 場合 は 特異 点を 持 ち多 様 体に な らな い とい うこ と を示 し た．

  こ の 結 果 に よ り1未 知 関 数 2独 立 変 数 の 2階 のjet空 間 に 対 す る 延 長 ま た は 拡 張 さ れ た Monster Goursat Manifoldを 定 義す る こと がで き た．

  ま た こ の 拡 張 さ れ たMonster Goursat ManifoldはGoursat fiagの と き と 同 様 に ジ ェ ネ リ ッ ク に は1未 知 関 数2独 立 変 数 の3階 のjet空 間 を 含 ん で い る が 特 異 点 を 持 っ て い る ．   こ れ に 対 し 余 次 元1っ 余 次 元2の 積 分 要 素 ， さ ら に 余 次 元2の 積 分 要 素 は 双 曲 的 っ 放 物 的 っ 楕 円 的 積 分 要 素 に 分 類 し て っ そ れ に 対 応 し て 本 質 的 に4つ の 特 異 点 が あ ら わ れ る こ と を 田 中 理 論 を 用 い て 明 ら か に し ， さ ら に 各 特 異 点 に 対 し 標 準 座 標 系 を 与 え た （[S2]） ．

  参考 文 献

    [B] Bryant, R. :  Some aspect of the local and global theory of Pfaffian systems, Thesis, University of North Carolina, Chapel Hill, 1979.

    [GKR] Giaro, A., Kumpera, A. et Ruiz, C.:  Sur la lecture correcte d'un resultat d'Elie Cartan, C.R.Acad.Sc.Paris, 287, Ser.A(1978), 241‑244.

  [MZ] Montgomery, R. and Zhitomirskii, M.: Geometric approach to Goursat fiags, Ann.Inst. H.Poincare‑AN 18(2001), 459‑493.

   [Sl] Shibuya, K. : A set of integral elements of higher order jet spaces, to appear.

   [S2] Shibuya, K. : On the prolongation of 2‑jet space of 2 independent and l dependent variables, to appear.

  [SY] Shibuya, K. and Yamaguchi, K.: Drapeau theorem for differential systems, to appear.

  [Yl] Yamaguchi, K.: Contact geometry of higher order, Japan.J.Math 8(1982), 109‑

176.

  [Y2] Yamaguchi, K.: Geometrization of jet bundles, Hokkaido Math.  J. 12 (1983), 27‑40.

ー 56ー

学位論文審査の要旨

     学 位 論 文 題 名

PROLONGATIONS OF CANONICAL SYSTEMS     ON JET SPACES

     （ ジ ェ ッ ト 空 間 の 正 準 微 分 式 系 の 延 長 ）

    1 独立1 従属変数のジェット空間上の接触微分式系の特徴付けとして，古典的 にGoursat Flag によるものが知られていた。Goursat Flag とはランク2 の微分式 系（パッフ系）であって，その高階派生系のランクが1 づっ上がるものと定義さ れる。k 次の派生系が接空間全体と一致する時，Goursat Flag は長さk であるとい う。Goursat Flag による接触微分式系の特徴付けはジェネリックなものであり，一 般 に， 長さ が 3 以上の Goursat Flag は特 異点を持つ。一方， m 未知関数n 独立変 数 の 1 階の ジェ ット空 間に 対し ては ，1979 年にR.L.Bryant が，m 未知関数n 独立 変数の高階のジェット空間に対しては，1982 ）83 年にK.Yamaguchi がその接触微分 式系の特徴付けを与えた。長さが3 のGoursat Flag に対して，特異点が生じる事 実は1978 年に，Giaro ーKumpera −Ruiz によって初めて明示的に示された。これに 対して，2001 年に，Montgomery −Zhitomirskii はMonster Goursat manifold を構 成し，すべてのGoursat Flag は局所的には， Monster Goursat manifold の一部と 局 所同 型と なる こと を示 した 。こ れに 対して，申請者は， 1 独立m 従属変数の1 階ジェット空間よルランク 1 延長によって構成される，（その高階派生系のランクが m づっ 上が る） 長さk のm ― Flag をカ ルタ ン階数なぃしエンゲル階数によって特 徴付けて，Montgomery ーZhitomirskii の仕事を拡張した。

     基本的に，この問題は，ジェット空間上の接触微分式系の特徴付けに係わる問 題である。微分式系として，高階の接触微分式系はーつ低階の接触微分式系の積 分要素を集めた空間に定義される微分式系となるが，ジェット空間の構成にはこの 積分要素に自然を横断性条件が付く。1 独立変数の場合に，この横断性条件を無      ―57 ―

三 一

郎

佳 周

剛

口 屋

川

山 泉

石

授 授

授

教 教

教

査 査

査

主 副

副

視 し て 得ら れ た のが

Monster manifold

で ある。こ の観点か ら，申 請者は， さらに ， 多 独 立 変 数 の 場 合 に こ れ が ， いつ 可 能 であ る か を見 極 め た： す な わち

m

未 知関 数

11

独 立変 数 の

k

階 の

jet

空 間 （ナ （

m

，

n

） ，

Ck)

に 対 し

L‑(Jk (177,

〕n))＝UEエ

    XGJk

    yjx := {n ‑ di.m i'ntegral eletme,nts of Ck

と定める。

  

こ の と き ， 一 般 に

E(J

た

 (777,

）

n

）） は

variety

に な り ）多 様 体 にな ら な い。

  

申請者 は，本 論文にお いて， この

E

（ナ（m）

n

））が 多様体と なるの は，これ まで 知 ら れ た 場 合 （ 上 に あ げ た

1

独 立変 数 の 場合 と

1

従属 変 数

1

階 の 場 合） を 除 け ば，

2

独 立

1

従 属 変 数 の

2

階 ジ ェ ッ ト空 間 の 場合 の み であ り ， 他の 場 合 には ， 必 然 的に 積分要素全体の空間に特異点が生じることを示した。さらに，この

E

（ア（

1

．2））は，

Goursat Flag

と 同 様 に ， ジ ェネ リ ッ クに は

1

未知 関 数

2

独 立 変 数 の

3

階 の ジェ ッ ト 空 間を 含 ん でい る が 特異 点 を 持 って い る 。申 請 者 はこ の 特 異点 の 状 況を 調 ベュ 余 次 元

1

， 余 次 元

2

の 積 分 要 素 ， さ ら に 余 次 元

2

の 積 分 要 素 は 双 曲 的 ， 放 物 的 ， 楕 円 的 積 分 要 素 に 分 類 で き る こ と を 示 し ， 各 特 異 点 に 対 し て標 準 座 標を 与 え た 。

    

学 位申 請 論 文で 得 られ た結果は ，

Goursat Flag

の拡 張を与 えたのみ たらず ，多 変数化の新局面を開拓したものといえる。

  

審 査 員 一同 は ， 申請 者 が北海道 大学博士 （理学 ）の学位 を授与 されるに 十分な 資 格を有するものと認める。

ー 58 ‑