多様体のトポロジー入門

微分幾何学 I

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多様体のトポロジー入門

田崎博之

2007年度

微分幾何学

Differential Geometry I

開講授業科目概要

写像度を使って多様体のトポロジーを解き明かす。

目 次

第1章 準備 1

1.1 多様体とC^∞級写像 . . . . 1

1.2 正則値の逆像 . . . . 10

1.3 Sardの定理の証明 . . . . 24

第2章 多様体のトポロジー 28 2.1 法2の写像度 . . . . 28

2.2 向きの付いた多様体 . . . . 35

2.3 線形群の連結性 . . . . 41

2.4 ベクトル場とEuler数 . . . . 46

第3章 フレーム付きコボルディズム 65 3.1 フレーム付きコボルディズム . . . . 65

3.2 まつわり数 . . . . 75

3.3 Hopf不変量 . . . . 82

参考文献について 83 参考文献 . . . . 84

第 1 _{章 準備}

1.1

_多様体と

_級写像

定義 1.1.1 U ⊂R^kとV ⊂R^lを開集合とする。UからV への写像f :U →V の すべての偏微分∂ⁿf /∂xi1· · ·∂xinが存在し連続になるとき、f をC^∞級写像と呼 ぶ。より一般に任意の部分集合X ⊂ R^kとY ⊂ R^l をとり、XからY への写像 f :X →Y について考える。各x∈Xに対してxの開近傍U ⊂R^kとC^∞級写像 F : U → R^lが存在し、F|^U∩X = f|^U∩X となるとき、f : X → Y をC^∞級写像と 呼ぶ。

C^∞級写像の合成がC^∞級写像になることと、恒等写像がC^∞級写像になること は、開集合上定義されたC^∞級写像の場合に成り立つことからわかる。

定義 1.1.2 部分集合X ⊂ R^kからY ⊂ R^lへの写像f : X → Y が逆写像f⁻¹ : Y →Xを持ち、fとf⁻¹がともにC^∞級写像になるとき、fを微分同型と呼ぶ。

定義 1.1.3 部分集合M ⊂R^kが次の条件を満たすとき、Mをm次元多様体と呼 ぶ。各点x∈M はR^k内の開近傍W を持ち、W ∩MはR^mの開集合Uと微分同 型になる。微分同型g :U →W ∩Mは、W ∩Mのパラメータ付けと呼ばれ、そ の逆写像W ∩M → U は、W ∩Mの座標系と呼ばれる。各点x ∈M はR^k内の 開近傍Wを持ち、W ∩M がx一点になるとき、M を0次元多様体という。

多様体の一点に対してその近傍のパラメータ付けと座標系は一意的定まるわけ ではない。

例 1.1.4 2次元単位球面

S² ={(x, y, z)∈R³ |x²+y²+z² = 1} が2次元多様体になることを示す。

U ={(x, y)∈R² |x²+y² <1} はR²の開集合になり、

W₊ ={(x, y, z)∈R³ |z >0}

はR³の開集合になる。写像

g :U →W₊∩S² ; (x, y)7→³

x, y,p

1−x²−y²

´

は微分同型になることを示す。gは定義よりC^∞級写像になる。gの逆写像は g⁻¹ :W₊∩S² →U ; (x, y, z)7→(x, y)

によって定まり、g⁻¹もC^∞級写像になる。よって、gは微分同型になる。

W₋ ={(x, y, z)∈R³ |z <0}

とおくと、W+の場合と同様にUとW₋∩S²の間に微分同型を構成することがで きる。さらに、zの役割を他の変数x, yに置き換えても同様の微分同型を構成する ことができる。したがって、S²は2次元多様体になる。

n次元単位球面

Sⁿ ={(x1, . . . , xn+1)∈Rⁿ⁺¹ |x²₁+· · ·+x²_n+1 = 1} についても、同様の議論でn次元多様体になることがわかる。

多様体の接ベクトル空間とその性質を考えるために、Euclid空間の開集合から 開集合へのC^∞級写像の微分の基本的性質を復習しておく。

U ⊂ R^kとV ⊂ R^lを開集合とする。x ∈ U におけるU の接ベクトル空間を T_xU = R^kによって定める。U からV へのC^∞級写像f : U → V のxにおける 微分

dfx :R^k →R^l をh∈R^kに対して

df_x(h) = d dt

¯¯

¯¯

t=0

f(x+th) = lim

t→0

1

t(f(x+th)−f(x))

によって定める。t 7→ x+thとf の合成はC^∞級写像になり、合成関数の微分の 公式から

df_x(h) = d dt

¯¯

¯¯

t=0

f(x+th) = Xk

j=1

∂f

∂x_j(x)h_j =

·∂fi

∂x_j(x)

¸

 h₁

... hk





が成り立つ。したがって、df_xは線形写像になり、R^kとR^lの標準基底に関するdf_x の表現行列は、(∂fi/∂x_j(x))になる。

命題 1.1.5 (合成写像の微分) f :U →V とg :V →W をEuclid空間の開集合か ら開集合へのC^∞級写像とする。このときx∈Uに対して

d(g◦f)_x =dg_f(x)◦df_x

が成り立つ。すなわち、二つの写像を合成してから微分したものは、それぞれ微 分してから合成したものに等しい。

U ⊂U⁰ ⊂R^kを開集合とし、i:U → U⁰を包含写像とする。このとき、任意の x∈U に対してdi_xはR^kの恒等写像になる。

線形写像L:R^k →R^lと任意のx∈R^kに対して、dLx =Lが成り立つ。

命題 1.1.6 fを開集合U ⊂R^kから開集合V ⊂R^lへの微分同型とすると、k =l となり、任意のx∈Uに対して

df_x :R^k →R^k は線形同型になる。

証明 f :U →V の逆写像をg :V →Uで表すと、g◦fはUの恒等写像になる。

命題1.1.5より、d(g◦f)_x =dg_f(x)◦df_xはR^kの恒等写像になる。同様にdf_x◦dg_f(x) はR^lの恒等写像になる。したがって、dfx:R^k →R^lは線形同型になり、k =lが 成り立つ。

命題1.1.6の逆の主張が局所的には成り立つことを示しているのが、次の逆写像

定理である。

定理 1.1.7 (逆写像定理) 開集合U ⊂R^kから開集合V ⊂R^kへのC^∞級写像の点 x∈U における微分が線形同型のとき、xの開近傍U⁰が存在し、fのU⁰への制限 f|U⁰はU⁰からf(U⁰)への微分同型になる。

定義 1.1.8 M ⊂R^kをm次元多様体とする。x∈Mに対して、xの開近傍のパラ メータ付けg :U → Mでu ∈ U, g(u) = xとなるものをとる。ここで、U はR^m の開集合である。gの微分dg_u : R^m → R^kの像をT_xM と表し、M のxにおける 接ベクトル空間として定める。

上の定義において、多様体の接ベクトル空間の定め方が、パラメータ付けのとり方 に依存しないことを示しておく必要がある。もう一つのパラメータ付けh:V →M でv ∈V, h(v) = xとなるものをとる。h⁻¹◦gはuのある開近傍U₁からvのある 開近傍への微分同型になる。

dh_v◦d(h⁻¹◦g)_u =dg_u

になるので、dhv(R^m) =dg_u(R^m)が成り立つ。さらにT_xMはm次元ベクトル空 間になる。

定義 1.1.9 M ⊂ R^k, N ⊂ R^lを多様体とし、f : M → N をC^∞級写像とする。

x∈Mをとる。fはC^∞級なので、R^k内のxの開近傍WとC^∞級写像F :W →R^l が存在し、f|^W∩M =F|^W∩M が成り立つ。そこで、

df_x =dF_x|^TxM :T_xM →T_f(x)N によってfのxにおける微分dfxを定義する。

上の定義において、dFx(T_xM)⊂T_f(x)N となることと、微分df_xの定め方が、f の拡張F のとり方に依存しないことを示しておく必要がある。パラメータ付け

g :U →M ⊂R^k, h:V →N ⊂R^l

でg(U)がxの開近傍になり、h(V)がf(x)の開近傍になるようにとる。さらに必 要なら、g(U) ⊂ W とf(g(U)) ⊂ h(V)が成り立つようにU を小さくとる。する と、C^∞級写像

h⁻¹◦f◦g :U →V

が定まる。これはEuclid空間の開集合から開集合へのC^∞級写像である。また、

h◦(h⁻¹◦f◦g) = F ◦g

となるので、u=g⁻¹(x), v =h⁻¹(f(x))とおくと、命題1.1.5より dhv◦d(h⁻¹◦f ◦g)u =dFx◦dgu

が成り立つ。これより、

dF_x(T_xM) = dF_x◦dg_u(R^m) =dh_v ◦d(h⁻¹◦f◦g)_u(R^m)⊂dh_v(Rⁿ) =T_f(x)N となり、dFx(TxM)⊂T_f(x)Nが成り立つ。さらに、

dg_u :R^m →T_xM, dh_v :Rⁿ→T_f(x)N はともに線形同型写像だから、逆写像を考えることができ、

dfx =dhv◦d(h⁻¹◦f◦g)u◦(dgu)⁻¹ となるので、dfxはF のとり方に依存しない。

命題 1.1.10 f : M → N とg : N → P を多様体から多様体へのC^∞級写像とす る。このときx∈Mに対して

d(g◦f)_x =dg_f(x)◦df_x が成り立つ。

M ⊂Nを多様体とし、i:M →Nを包含写像とする。このとき、任意のx∈U に対してdi_xは包含写像T_xM ⊂T_xN になる。

証明 命題1.1.5を適用すればよい。

命題 1.1.11 f : M → N を多様体の間の微分同型とすると、任意のx ∈ Mに対 して

df_x:T_xM →T_f(x)N は線形同型になる。特に、dimM = dimN が成り立つ。

証明 Mをm次元多様体とし、N をn次元多様体とする。定義より M ⊂R^k, N ⊂R^l

となっている。xはR^k内の開近傍W_M を持ち、WM ∩MはR^mの開集合U_M と 微分同型になる。さらにf(x)はR^l内の開近傍WN を持ち、WN ∩N はRⁿの開 集合U_N と微分同型になる。UM からW_M ∩M への微分同型をg_M とし、UN か らW_N ∩N への微分同型をg_N とする。接ベクトル空間の定義(定義1.1.8)より、

dg_M : R^m → T_xM とdg_N : Rⁿ → T_f(x)N は線形同型になり、g_N⁻¹ ◦f ◦ g_M は g⁻_M¹(x) ∈ R^mの開近傍からg_N⁻¹(f(x)) ∈ Rⁿの開近傍への微分同型になる。命題 1.1.6より

d(g_N⁻¹◦f ◦g_M) :R^m →Rⁿ は線形同型になる。命題1.1.5より

d(g⁻_N¹◦f ◦g_M) = dg_N⁻¹◦df_x◦dg_M

となり、dg_N⁻¹とdg_M は線形同型だから、dfも線形同型になる。さらに、次の等式 が成り立つ。

dimM =m =n = dimN

定理 1.1.12 (逆写像定理) 多様体の間のC^∞級写像f :M →Nのx∈ Mにおけ る微分df_x :T_xM →T_f(x)N が線形同型のとき、xの開近傍Uが存在し、fをUに 制限すると微分同型になる。

証明 命題1.1.11の証明中の設定をそのまま使うことにする。

d(g_N⁻¹ ◦f ◦g_M) =dg⁻_N¹◦df_x◦dg_M :R^m →Rⁿ

は線形同型になり、定理1.1.7よりg_M⁻¹(x)∈R^mの開近傍U⁰が存在し、

(g_N⁻¹◦f◦gM)|^U0 :U⁰ →g_N⁻¹◦f◦gM(U⁰)

は微分同型になる。したがって、f|^gM(U⁰)はU = g_M(U⁰)からf(U)への微分同型 になる。

定義 1.1.13 f : M → N を等しい次元を持つ多様体の間のC^∞級写像とする。

x∈M に対して、dfx :T_xM →T_f(x)Nが線形同型になるとき、xをfの正則点と 呼ぶ。M の正則点ではない点を臨界点と呼ぶ。y∈N に対して、f(x) =yとなる fの臨界点xが存在するとき、yをfの臨界値と呼ぶ。Nの臨界値ではない点を正 則値と呼ぶ。

命題 1.1.14 f :M →Nを等しい次元を持つ多様体の間のC^∞級写像とし、Mは コンパクトであると仮定する。このとき、f の正則値y ∈N に対して、f⁻¹(y)は 有限集合になる。

証明 f⁻¹(y)はコンパクト多様体M内の閉部分集合になるので、f⁻¹(y)もコン パクトになる。定理1.1.12より、各x ∈f⁻¹(y)の開近傍Uxが存在し、fをUxに 制限すると微分同型になる。特に、Ux∩f⁻¹(y) ={x}となり、f⁻¹(y)は離散位相 を持つ。したがって、f⁻¹(y)は有限集合になる。

命題 1.1.15 f :M →Nを等しい次元を持つ多様体の間のC^∞級写像とし、Mは コンパクトであると仮定する。fの正則値y∈Nにf⁻¹(y)の元の個数#f⁻¹(y)を 対応させる関数は、局所定数になる。

証明 命題1.1.14より、fの正則値yの逆像f⁻¹(y)は有限集合になるので、

f⁻¹(y) ={x₁, . . . , x_k}

とおく。定理1.1.12より、各xi ∈ f⁻¹(y)の開近傍Ui が存在し、f をUi に制限 すると微分同型になる。必要ならU_iを小さく取り直すことにより、i 6= jならば U_i∩U_j =∅となるようにできる。Vi =f(U_i)とおくと、各V_iはyの開近傍になる。

よって、V1∩· · ·∩Vkもyの開近傍になる。M−U1−· · ·−Ukはコンパクト多様体M 内の閉部分集合になるので、コンパクトになる。これより、f(M−(U₁∪ · · · ∪U_k)) もコンパクトになり、Nの閉部分集合になる。

f⁻¹(y)⊂U₁∪ · · · ∪U_k だから、

M −f⁻¹(y)⊃M −(U₁∪ · · · ∪U_k).

y /∈f(M −f⁻¹(y))だから、

y /∈f(M −(U1∪ · · · ∪Uk)).

以上より、f(M −(U₁∪ · · · ∪U_k))はyを含まない閉部分集合だから、

V =V₁∩ · · · ∩V_k−f(M −(U₁∪ · · · ∪U_k))

はyの開近傍になる。y⁰ ∈V に対して、V の定め方より、f⁻¹(y⁰)⊂U₁∪ · · · ∪U_k が成り立つ。よって、#f⁻¹(y⁰) =k = #f⁻¹(y)となり、y 7→#f⁻¹(y)は局所定数 関数である。

上の命題の応用を一つ示す。

定理 1.1.16 (代数学の基本定理) 定数でない複素多項式は、零点を持つ。

証明 定数でない複素多項式P(z)をとる。複素数全体Cを平面R²と同一視す ると、P はR²からR²へのC^∞級写像とみなせる。これが2次元球面S²からS² へのC^∞級写像を誘導することを以下で示す。

S²の北極(0,0,1)に関する立体射影をh₊ :S²− {(0,0,1)} → R²で表す。すな わち、(x1, x₂, x₃)∈S²− {(0,0,1)}に対して

(0,0,1) +t(x₁, x₂, x₃−1) = (tx₁, tx₂,1 +t(x₃−1)) の第三成分が0になる点を対応させることになるので、

1 +t(x3−1) = 0 t = 1

1−x₃. よって、

h₊(x₁, x₂, x₃) =

µ x₁

1−x₃, x₂ 1−x₃

¶

((x₁, x₂, x₃)∈S²− {(0,0,1)}).

これによって、写像f :S² →S²を f(x) =

( h⁻₊¹◦P ◦h₊(x) (x∈S² − {(0,0,1)}) (0,0,1) (x= (0,0,1))

で定める。fがS²− {(0,0,1)}でC^∞級写像になることは、fの定め方からわかる。

(0,0,1)の近傍でもfがC^∞級写像になることを示すために、S²の南極(0,0,−1)に 関する立体射影h₋ :S²− {(0,0,−1)} →R²を導入する。すなわち、(x1, x₂, x₃)∈ S²− {(0,0,−1)}に対して

(0,0,−1) +t(x1, x2, x3+ 1) = (tx1, tx2,−1 +t(x3+ 1)) の第三成分が0になる点を対応させることになるので、

−1 +t(x₃+ 1) = 0 t= 1

1 +x₃.

よって、

h₋(x₁, x₂, x₃) =

µ x1

1 +x₃, x2

1 +x₃

¶

((x₁, x₂, x₃)∈S²− {(0,0,−1)}).

z ∈C=R²に対して

h₋◦f◦h⁻₋¹(z) = h₋◦h⁻₊¹◦P ◦h₊◦h⁻₋¹(z)

となるので、まず、h+◦h⁻₋¹(z)を計算しておく。h⁻₋¹(z)を求めるためには、直線 (0,0,−1) +t(z₁, z₂,1) = (tz₁, tz₂,−1 +t)

とS²との交点を求めればよい。

t²z₁²+t²z₂²+ 1t²−2t = 1 t²(z²₁ +z₂²+ 1)−2t= 0

t = 2

1 +z²₁+z₂². よって

h⁻₋¹(z1, z2)

= (0,0,−1) + 2

1 +z²₁+z₂²(z₁, z₂,1)

= 1

1 +z₁²+z₂²(2z₁,2z₂,−1−z₁²−z₂²+ 2)

= 1

1 +z₁²+z₂²(2z₁,2z₂,1−z₁²−z₂²).

これより、z =z₁+√

−1z₂ = (z₁, z₂)∈C=R² に対して、

1− 1−z²₁+z₂²

1 +z₁²+z₂² = 2(z₁²+z₂²) 1 +z₁²+z²₂ となり、

h₊◦h⁻₋¹(z) = 1 +z₁²+z₂² 2(z²₁+z₂²)

µ 2z₁

1 +z₁²+z₂², 2z₂ 1 +z₁²+z²₂

¶

= 1

z₁²+z²₂(z₁, z₂)

= z

|z|²

= 1/¯z.

これより、h₋◦h⁻₊¹(z) = 1/¯zもわかる。

P(z) = a₀zⁿ+a₁zⁿ⁻¹+· · ·+a_n (a₀ 6= 0)