多様体入門課題 2007

(1)

多様体入門課題

2007

年

12

月

26

日出題

2008

年

1

月

9

日〆切問題

3.1.1 R ³ − { 0 }

から

R ⁶ − { 0 }

への写像

φ

を

φ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x ² ₁ , x ² ₂ , x ² ₃ , x ₁ x ₂ , x ₂ x ₃ , x ₃ x ₁ ) ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ − { 0 } )

によって定める。

(1) π ₂ : R ³ −{ 0 } → P ²

と

π ₅ : R ⁶ −{ 0 } → P ⁵

を自然な射影とする。

π ₅ ◦ φ = Φ ◦ π ₂

を満たす写像

Φ : P ² → P ⁵

が存在することを示せ。(このような写像

Φ

を

φ

が誘導する写像と呼ぶ。)

(2)

写像

Φ : P ² → P ⁵

は

C ^∞

級になることを示せ。

(3)

写像

Φ

の微分写像と階数を求めよ。

解説

問題

3.1.1 (1)

写像

Φ : P ² → P ⁵

が

π ₅ ◦ φ = Φ ◦ π ₂

を満たすと仮定すると、任意の

(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ − { 0 }

に対して

Φ(π 2 (x 1 , x 2 , x 3 )) = π 5 (φ(x 1 , x 2 , x 3 )) = π 5 (x ² ₁ , x ² ₂ , x ² ₃ , x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 3 x 1 )

が成り立つ。そこで、Φ(π

2 (x ₁ , x ₂ , x ₃ )) = π ₅ (x ² ₁ , x ² ₂ , x ² ₃ , x ₁ x ₂ , x ₂ x ₃ , x ₃ x ₁ )

によって写像

Φ : P ² → P ⁵

を定めればよい。ただし、P

²

の元

π ₂ (x ₁ , x ₂ , x ₃ )

を表している

(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ − { 0 }

は一通りに定まるわけではないので、π

2 (y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = π ₂ (x ₁ , x ₂ , x ₃ )

のときに

π ₅ (y ₁ ² , y ₂ ² , y ₃ ² , y ₁ y ₂ , y ₂ y ₃ , y ₃ y ₁ ) = π ₅ (x ² ₁ , x ² ₂ , x ² ₃ , x ₁ x ₂ , x ₂ x ₃ , x ₃ x ₁ )

が成り立つことを示しておく必要がある。π

2 (y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = π ₂ (x ₁ , x ₂ , x ₃ )

ならば、ある

λ ∈ R − { 0 }

が存在して

(y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = λ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (λx ₁ , λx ₂ , λx ₃ )

が成り立つ。このとき、

π ₅ (y ₁ ² , y ₂ ² , y ₃ ² , y ₁ y ₂ , y ₂ y ₃ , y ₃ y ₁ ) = π ₅ (λ ² x ² ₁ , λ ² x ² ₂ , λ ² x ² ₃ , λ ² x ₁ x ₂ , λ ² x ₂ x ₃ , λ ² x ₃ x ₁ )

= π ₅ (x ² ₁ , x ² ₂ , x ² ₃ , x ₁ x ₂ , x ₂ x ₃ , x ₃ x ₁ )

となり、

Φ

の定義の妥当性がわかる。このことを英語では

well-defined

と表現する。

(2) P ^a (a = 2, 5)

の開集合を

U _i ^a = { π _a (x _j ) ∈ P ^a | x _i 6 = 0 } (1 ≤ i ≤ a + 1)

1

(2)

によって定める。U

_i ^a

における局所座標を

φ ^a _i (π a (x j )) =

Ã x ₁

x _i , . . . , x ˆ _i

x _i , . . . , x _a+1 x _i

!

によって定めると、逆写像は

(φ ^a _i ) ⁻ ¹ (x ₁ , . . . , x _a ) = π _a (x ₁ , . . . ,

i

^

1 , . . . , x _a )

となる。これらより、

φ ⁵ ₆ ◦ Φ ◦ (φ ² ₃ ) ⁻ ¹ (x ₁ , x ₂ ) =

Ã

x ₁ , x ² ₂ x ₁ , 1

x ₁ , x ₂ , x 2

x ₁

!

であり、これは座標

x ₁ , x ₂

の分数関数になっている。他の座標近傍系の組合せに関しても座標の分数関数になり、Φは

C ^∞

級写像になる。

(3) (2)

で求めた

U ₃ ² ⊂ P ²

と

U ₆ ⁵ ⊂ P ⁵

に関する

φ

の局所表示を使って微分写像の表現行列は次のようになる。

_

 

 

1 0

− ^x _x

²²²

1

2x

2

x

1

− _x ¹

²

1

0 0 1

− ^x x

²²₁

1 x

1



 

 

.

この表現行列の第

1

行目と第

4

行目に注目すれば、どの点でも階数は

2

であることがわかる。他の座標近傍系の組合せに関しても同様に微分写像を計算でき、階数は

2

であることがわかる。

2

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