多様体入門課題
2008年2月13日出題 2008年2月27日〆切
問題 3.3.1 a, b, . . . , hを実定数とする。R2場のベクトル場X, Y を(x1, x2)∈R2に 対して
X(x1,x2) = (ax1+bx2, cx1+dx2), Y(x1,x2)= (ex1+f x2, gx1+hx2)
によって定める。かっこ積[X, Y]を求めよ。また、ベクトル場XとY を定めてい る線形変換と[X, Y]はどのような関係にあるか。
解説
問題 3.3.1 与えられたベクトル場を座標の方向微分による線形結合で表現すると
X(x1,x2) = (ax1 +bx2) ∂
∂x1 + (cx1 +dx2) ∂
∂x2, Y(x1,x2) = (ex1+f x2) ∂
∂x1 + (gx1+hx2) ∂
∂x2 となる。ベクトル場のかっこ積の局所座標表示を使うと
[X, Y] = {(ax1 +bx2)e−(ex1+f x2)a+ (cx1+dx2)f−(gx1+hx2)b} ∂
∂x1 +{(ax1+bx2)g−(ex1+f x2)c+ (cx1+dx2)h−(gx1+hx2)d} ∂
∂x2
= {(cf −gb)x1+ (be−f a+df −hb)x2} ∂
∂x1 +{(ag−ec+ch−gd)x1+ (bg−f c)x2} ∂
∂x2
を得る。他方、ベクトル場X, Y を定めている行列
à a b c d
!
,
à e f g h
!
の次の式で定義される交代積を計算すると
"Ã
a b c d
!
,
à e f g h
!#
=
à a b c d
! Ã e f g h
!
−
à e f g h
! Ã a b c d
!
=
à ae+bg af +bh ce+dg cf +dh
!
−
à ea+f c eb+f d ga+hc gb+hd
!
=
à bg−f c af +bh−eb−f d ce+dg−ga−hc cf −gb
!
となり、ベクトル場のかっこ積[X, Y]の−1倍を定める行列になることがわかる。
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