多様体入門課題
2007年11月21日出題 12月5日〆切 問題 2.3.1 2次元単位球面
S2 =n(v1, v2, v3)∈R3 |v12+v22+v23 = 1o
上定義された関数
F(v1, v2, v3) =v21+ 2v22−v32 ((v1, v2, v3)∈S2)
の微分が0になる点をすべて求めよ。さらにF の最大値と最小値を求めよ。
解説
問題 2.3.1 提出されたほとんどの解答はLagrangeの未定乗数法を使うものだった
ので、ここではそれとは異なるS2の局所座標系を使う解説をする。i = 1,2,3に 対して、S2の開集合Ui±を次のように定める。
Ui+ ={(v1, v2, v3)∈S2 |vi >0}, Ui− ={(v1, v2, v3)∈S2 |vi <0}
S2の元はどれかの成分は0ではないので、Ui±のうちのいずれかに含まれる。よって、
S2 =U1+∪U1−∪U2+∪U2−∪U3+∪U3−
が成り立つ。Ui±上の局所座標系を次のように定める。
φ±1 :U1± →R2 ; (v1, v2, v3)7→(v2, v3), φ±2 :U2± →R2 ; (v1, v2, v3)7→(v1, v3), φ±3 :U3± →R2 ; (v1, v2, v3)7→(v1, v2).
これらの像
φ±1(U1±) =n(v2, v3)∈R2 ¯¯¯v22+v32 <1o, φ±2(U2±) =n(v1, v3)∈R2 ¯¯¯v12+v32 <1o, φ±3(U3±) =n(v1, v2)∈R2 ¯¯¯v12+v22 <1o
はR2の開集合になり、φ±i の逆写像を次のように具体的に表示できる。
(φ±1)−1(v2, v3) =
µ
±q1−v22−v32, v2, v3
¶
((v2, v3)∈φ±1(U1±)), (φ±2)−1(v1, v3) =
µ
±q1−v21−v32, v1, v3
¶
((v1, v3)∈φ±2(U2±)), (φ±3)−1(v1, v2) =
µ
±q1−v21−v22, v1, v2
¶
((v1, v2)∈φ±3(U3±)).
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これらより、各局所座標近傍Ui±における関数F の局所座標表示を次のように得 ることができる。(v2, v3)∈φ±1(U1±)に対して
F ◦(φ±1)−1(v2, v3) = (1−v22−v32) + 2v22−v32 = 1 +v22−2v32,
(v1, v3)∈φ±2(U2±)に対して
F ◦(φ±2)−1(v1, v3) =v21+ 2(1−v21 −v32)−v32 = 2−v12−3v32,
(v1, v2)∈φ±3(U3±)に対して
F ◦(φ±3)−1(v1, v2) =v21+ 2v22−(1−v12−v22) =−1 + 2v21 + 3v22.
以上の局所座標表示より、
U1±上では dF = 2v2dv2−4v3dv3, U2±上では dF =−2v1dv1−6v3dv3, U3±上では dF = 4v1dv1+ 6v2dv2.
したがって、F の微分dF が0になる点はU1±では(v2, v3) = (0,0)になり(±1,0,0)、
U2±では(v1, v3) = (0,0)になり(0,±1,0)、U3±では(v1, v2) = (0,0)になり(0,0,±1) になる。F のそれぞれの局所座標近傍での局所座標表示より、F は(0,±1,0)で最 大値2をとり、(0,0,±1)で最小値−1をとることがわかる。
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