多様体入門課題
2008
年1
月30
日出題2008
年2
月6
日〆切 問題3.2.1 R
3− { 0 }
からR
3への写像φ
をφ(x
1, x
2, x
3) = 1
x
21+ x
22+ x
23(x
1x
2, x
2x
3, x
3x
1) ((x
1, x
2, x
3) ∈ R
3− { 0 } )
によって定める。(1) π : R
3−{ 0 } → P
2を自然な射影とする。φ = Φ ◦ π
を満たす写像Φ : P
2→ R
3 が存在することを示せ。(このような写像Φ
をφ
が誘導する写像と呼ぶ。)(2)
写像Φ : P
2→ R
3はC
∞級になることを示せ。(3)
写像Φ
の微分写像と階数を求めよ。解説
問題
3.2.1 (1)
写像Φ : P
2→ R
3がφ = Φ ◦ π
を満たすと仮定すると、任意の(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3− { 0 }
に対してΦ(π(x
1, x
2, x
3)) = 1
x
21+ x
22+ x
23(x
1x
2, x
2x
3, x
3x
1)
が成り立つ。そこで、これによって写像
Φ : P
2→ R
3を定めればよい。ただし、P
2の元π(x
1, x
2, x
3)
を表している(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3− { 0 }
は一通りに定まるわけで はないので、π2(y
1, y
2, y
3) = π
2(x
1, x
2, x
3)
のときに1
x
21+ x
22+ x
23(x
1x
2, x
2x
3, x
3x
1) = 1
y
12+ y
22+ y
32(y
1y
2, y
2y
3, y
3y
1)
が成り立つことを示しておく必要がある。π(y1
, y
2, y
3) = π(x
1, x
2, x
3)
ならば、あ るλ ∈ R − { 0 }
が存在して(y
1, y
2, y
3) = λ(x
1, x
2, x
3) = (λx
1, λx
2, λx
3)
が成り立つ。このとき、1
y
21+ y
22+ y
23(y
1y
2, y
2y
3, y
3y
1) = 1
λ
2x
21+ λ
2x
22+ λ
2x
23(λ
2x
1x
2, λ
2x
2x
3, λ
2x
3x
1)
= 1
x
21+ x
22+ x
23(x
1x
2, x
2x
3, x
3x
1)
となり、Φの定義の妥当性がわかる。1
(2) P
2の開集合をU
i= { π(x
j) ∈ P
2| x
i6 = 0 } (1 ≤ i ≤ 3)
によって定める。U1, U
2, U
3における局所座標をそれぞれφ
1(π(x
j)) =
µ x2
x
1, x
3
x
1¶
, φ
2(π(x
j)) =
µ x1
x
2, x
3
x
2¶
, φ
3(π(x
j)) =
µ x1
x
3, x
2
x
3¶
によって定めると、逆写像は
φ
−11(x
1, x
2) = π(1, x
1, x
2), φ
−21(x
1, x
2) = π(x
1, 1, x
2), φ
−31(x
1, x
2) = π(x
1, x
2, 1)
となる。これらより、Φ ◦ φ
−11(x
1, x
2) = 1
1 + x
21+ x
22(x
1, x
1x
2, x
2), Φ ◦ φ
−21(x
1, x
2) = 1
x
21+ 1 + x
22(x
1, x
2, x
1x
2), Φ ◦ φ
−31(x
1, x
2) = 1
x
21+ x
22+ 1 (x
1x
2, x
2, x
1)
であり、これは座標
x
1, x
2の分数関数になっている。他の座標近傍系の組合せに関 しても座標の分数関数になり、ΦはC
∞級写像になる。(3) (2)
で求めたU
1, U
2, U
3⊂ P
2に関するΦ
の局所表示を使った微分写像の表現 行列を求める。∂
∂x
1Φ ◦ φ
−11(x
1, x
2)
= 1
(1 + x
21+ x
22)
2(1 + x
21+ x
22− x
12x
1, x
2(1 + x
21+ x
22) − x
1x
22x
1, − 2x
1x
2)
= 1
(1 + x
21+ x
22)
2(1 − x
21+ x
22, x
2(1 − x
21+ x
22), − 2x
1x
2)
∂
∂x
2Φ ◦ φ
−11(x
1, x
2)
= 1
(1 + x
21+ x
22)
2( − x
12x
2, x
1(1 + x
21+ x
22) − x
1x
22x
2, 1 + x
21+ x
22− x
22x
2)
= 1
(1 + x
21+ x
22)
2( − 2x
1x
2, x
1(1 + x
21− x
22), 1 + x
21− x
22)
よりU
1におけるΦ
の微分写像の表現行列は1 (1 + x
21+ x
22)
2
1 − x
21+ x
22− 2x
1x
2x
2(1 − x
21+ x
22) x
1(1 + x
21− x
22)
− 2x
1x
21 + x
21− x
22
2
となる。この行列の階数を求めるために、1,
2
行、1,3
行、2,3
行の小行列式を求 める。¯ ¯
¯ ¯
¯
1 − x
21+ x
22− 2x
1x
2x
2(1 − x
21+ x
22) x
1(1 + x
21− x
22)
¯ ¯
¯ ¯
¯ = (1 − x21+ x
22)
¯ ¯
¯ ¯
¯
1 − 2x
1x
2x
2x
1(1 + x
21− x
22)
¯ ¯
¯ ¯
¯
= x
1(1 + x
21+ x
22)(1 − x
21+ x
22),
¯ ¯
¯ ¯
¯
1 − x
21+ x
22− 2x
1x
2− 2x
1x
21 + x
21− x
22¯ ¯
¯ ¯
¯ = (1 − x21+ x
22)(1 + x
21− x
22) − 4x
21x
22
= 1 − (x
21+ x
22)
2,
¯ ¯
¯ ¯
¯
x
2(1 − x
21+ x
22) x
1(1 + x
21− x
22)
− 2x
1x
21 + x
21− x
22¯ ¯
¯ ¯
¯ = (1 + x21− x
22)
¯ ¯
¯ ¯
¯
x
2(1 − x
21+ x
22) x
1− 2x
1x
21
¯ ¯
¯ ¯
¯
= x
2(1 + x
21+ x
22)(1 + x
21− x
22).
これら三つの行列式が同時に
0
にならなければ元の行列の階数は2
になり、これら 三つの行列式が同時に0
になれば元の行列の階数は1
以下になる。三つの行列式 が同時に0
になるための必要十分条件は、x
1(1 − x
21+ x
22) = 1 − (x
21+ x
22)
2= x
2(1 + x
21− x
22)
が成り立つことである。この条件を満たす点のすべては、(
± 1, 0), (0, ± 1)
の4
点に なる。よって( ± 1, 0), (0, ± 1)
以外の点では元の行列の階数は2
になる。(x1, x
2) = ( ± 1, 0)
では元の行列は1 4
0 0
0 ± 2
0 2
となり、階数は
1
になる。(x1, x
2) = (0, ± 1)
では元の行列は1
4
2 0
± 2 0 0 0
となり、階数は
1
になる。以上より、U
1の点φ
−11( ± 1, 0) = π(1, ± 1, 0), φ
−11(0, ± 1) = π(1, 0, ± 1)
においてΦ
の微分写像の階数は1
になり、それ以外の点ではΦ
の微分 写像の階数は2
になる。U
2, U
3におけるΦ
の局所座標表示は、U1における局所座標表示の成分の順序が 異なるだけなので、微分写像の表現行列も行成分の順序が異なるだけである。よっ て、U2の点φ
−21( ± 1, 0) = π( ± 1, 1, 0), φ
−21(0, ± 1) = π(0, 1, ± 1)
においてΦ
の微分 写像の階数は1
になり、それ以外の点ではΦ
の微分写像の階数は2
になり、U3の 点φ
−31( ± 1, 0) = π(1, ± 1, 0), φ
−31(0, ± 1) = π(1, 0, ± 1)
においてΦ
の微分写像の階数 は1
になり、それ以外の点ではΦ
の微分写像の階数は2
になる。したがって、P2 の
