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多様体入門課題 2008

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多様体入門課題

2008

年

1

月

30

日出題

2008

年

2

月

6

日〆切 問題

3.2.1 R

3

− { 0 }

から

R

3への写像

φ

を

φ(x

1

, x

2

, x

3

) = 1

x

21

+ x

22

+ x

23

(x

1

x

2

, x

2

x

3

, x

3

x

1

) ((x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

− { 0 } )

によって定める。

(1) π : R

3

−{ 0 } → P

2を自然な射影とする。

φ = Φ ◦ π

を満たす写像

Φ : P

2

→ R

3 が存在することを示せ。(このような写像

Φ

を

φ

が誘導する写像と呼ぶ。)

(2)

写像

Φ : P

2

→ R

3は

C

∞級になることを示せ。

(3)

写像

Φ

の微分写像と階数を求めよ。

1

参照

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