多様体入門課題
2007
年9
月26
日出題10
月3
日〆切問題
2.1.1 X = R
2− { (0, 0) }
にR
2 の自然な位相から定まる相対位相を入れる。R
2の原点(0, 0)
を通る直線全体の集合をY
で表す。Xの元x
に対して(0, 0)
とx
を通る直線を対応させる写像をf : X → Y
で表す。このf : X → Y
による商空間Y
は円S
1= { (u, v) ∈ R
2| u
2+ v
2= 1 }
と位相同型になることを証明せよ。問題
2.1.2
(1) C
2級関数F (x, y )
に関する方程式F (x, y) = 0
の定める陰関数y = f(x)
が極 値をとる点において、∂
2F
∂x
2,
∂F
∂y
が正ならばf(x)
は極大になり、∂
2F
∂x
2,
∂F
∂y
が負ならばf (x)
は極小になることを示せ。(2)
方程式x
4+ x
2y
2+ y
4= 1
の定める陰関数y = f (x)
が極値をとる点を求め、極大極小を判定せよ。
