多様体入門課題解説 2007

多様体入門課題解説

2007

年

10

月

17

日出題

10

月

24

日〆切

問題

2.2.1 R

³内の次の二次曲面は

R

³の自然な位相から定まる相対位相に関して

2

次元

C

^∞級多様体になることを示せ。

(1)

楕円面

(a, b, c > 0)

E =

(

(x, y, z) ∈ R

³

¯ ¯

¯ ¯

¯

x

²

a

²

+ y

²

b

²

+ z

²

c

²

= 1

)

(2)

一葉双曲面

(a, b, c > 0)

H =

(

(x, y, z) ∈ R

³

¯ ¯

¯ ¯

¯

x

²

a

²

+ y

²

b

²

− z

²

c

²

= 1

)

解説

問題

2.2.1 (1) R

³の自然な位相は

Hausdorff

になるので、

E

の相対位相も

Hausdorff

になる。

E

の開集合

U

₁^±

, U

₂^±

, U

₃^±を次のように定める。

U

₁⁺

= { (x, y, z) ∈ E | x > 0 } , U

₁⁻

= { (x, y, z) ∈ E | x < 0 } , U

₂⁺

= { (x, y, z) ∈ E | y > 0 } , U

₂⁻

= { (x, y, z) ∈ E | y < 0 } , U

₃⁺

= { (x, y, z) ∈ E | z > 0 } , U

₃⁻

= { (x, y, z) ∈ E | z < 0 } .

E

の元はどれかの成分は

0

ではないので、U₁^±

, U

₂^±

, U

₃^±のうちのいずれかに含まれ る。よって、

E = U

₁⁺

∪ U

₁⁻

∪ U

₂⁺

∪ U

₂⁻

∪ U

₃⁺

∪ U

₃⁻ が成り立つ。

U

₁^±

, U

₂^±

, U

₃^±から

R

²への写像を次のように定める。

φ

^±₁

: U

₁^±

→ R

²

; (x, y, z) 7→ (y, z), φ

^±₂

: U

₂^±

→ R

²

; (x, y, z) 7→ (x, z), φ

^±₃

: U

₃^±

→ R

²

; (x, y, z) 7→ (x, y).

これらは連続写像になり、像

φ

^±₁

(U

₁^±

) =

(

(y, z) ∈ R

²

¯ ¯

¯ ¯

¯

y

²

b

²

+ z

²

c

²

< 1

)

,

φ

^±₂

(U

₂^±

) =

(

(x, z) ∈ R

²

¯ ¯

¯ ¯

¯

x

²

a

²

+ z

²

c

²

< 1

)

,

φ

^±₃

(U

₃^±

) =

(

(x, y) ∈ R

²

¯ ¯

¯ ¯

¯

x

²

a

²

+ y

²

b

²

< 1

)

1

は

R

²の開集合になる。φ^±₁

, φ

^±₂

, φ

^±₃ の逆写像を次のように具体的に表示できる。

(φ

^±₁

)

⁻¹

(y, z) =



 ± a

s

1 − y

²

b

²

− z

²

c

²

, y, z



 ((y, z) ∈ φ

^±₁

(U

₁^±

)),

(φ

^±₂

)

⁻¹

(x, z) =



 x, ± b

s

1 − x

²

a

²

− z

²

c

²

, z



 ((x, z) ∈ φ

^±₂

(U

₂^±

)),

(φ

^±₃

)

⁻¹

(x, y) =



 x, y, ± c

s

1 − x

²

a

²

− y

²

b

²



 ((x, y) ∈ φ

^±₃

(U

₃^±

)).

形からこれらも連続写像になる。よって

φ

^±₁

: U

₁^±

→ φ

^±₁

(U

₁^±

), φ

^±₂

: U

₂^±

→ φ

^±₂

(U

₂^±

), φ

^±₃

: U

₃^±

→ φ

^±₃

(U

₃^±

)

はすべて位相同型写像になる。以上より、局所座標近傍系

{ (U

_i^±

, φ

^±_i

) | i = 1, 2, 3 }

によって

E

は

2

次元位相多様体になる。

上記局所座標近傍の二つが共通部分を持つとき、座標変換が

C

^∞級になること を示す。どの場合もほぼ同じなので

(U

₁⁺

, φ

⁺₁

)

と

(U

₂⁺

, φ

⁺₂

)

の場合を考える。

φ

⁺₁

◦ (φ

⁺₂

)

⁻¹

(x, z) =



 b

s

1 − x

²

a

²

− z

²

c

²

, z





となり、C^∞級であることがわかる。よって、Eは

C

^∞級多様体になる。

(2) R

³の自然な位相は

Hausdorff

になるので、Hの相対位相も

Hausdorff

になる。

H

の開集合

U

₁^±

, U

₂^±を次のように定める。

U

₁⁺

= { (x, y, z) ∈ H | x > 0 } , U

₁⁻

= { (x, y, z) ∈ H | x < 0 } , U

₂⁺

= { (x, y, z) ∈ H | y > 0 } , U

₂⁻

= { (x, y, z) ∈ H | y < 0 } .

H

の元の

x, y

成分は同時に

0

にはならないので、U₁^±

, U

₂^±のうちのいずれかに含ま れる。よって、

H = U

₁⁺

∪ U

₁⁻

∪ U

₂⁺

∪ U

₂⁻ が成り立つ。

U

₁^±

, U

₂^±から

R

²への写像を次のように定める。

φ

^±₁

: U

₁^±

→ R

²

; (x, y, z) 7→ (y, z), φ

^±₂

: U

₂^±

→ R

²

; (x, y, z) 7→ (x, z).

これらは連続写像になり、像

φ

^±₁

(U

₁^±

) =

(

(y, z) ∈ R

²

¯ ¯

¯ ¯

¯

y

²

b

²

− z

²

c

²

< 1

)

,

φ

^±₂

(U

₂^±

) =

(

(x, z) ∈ R

²

¯ ¯

¯ ¯

¯

x

²

a

²

− z

²

c

²

< 1

)

2

は

R

²の開集合になる。φ^±₁

, φ

^±₂ の逆写像を次のように具体的に表示できる。

(φ

^±₁

)

⁻¹

(y, z) =



 ± a

s

1 − y

²

b

²

+ z

²

c

²

, y, z



 ((y, z) ∈ φ

^±₁

(U

₁^±

)),

(φ

^±₂

)

⁻¹

(x, z) =



 x, ± b

s

1 − x

²

a

²

+ z

²

c

²

, z



 ((x, z) ∈ φ

^±₂

(U

₂^±

)).

形からこれらも連続写像になる。よって

φ

^±₁

: U

₁^±

→ φ

^±₁

(U

₁^±

), φ

^±₂

: U

₂^±

→ φ

^±₂

(U

₂^±

)

はすべて位相同型写像になる。以上より、局所座標近傍系

{ (U

_i^±

, φ

^±_i

) | i = 1, 2 }

に よって

H

は

2

次元位相多様体になる。

上記局所座標近傍の二つが共通部分を持つとき、座標変換が

C

^∞級になること を示す。どの場合もほぼ同じなので

(U

₁⁺

, φ

⁺₁

)

と

(U

₂⁺

, φ

⁺₂

)

の場合を考える。

φ

⁺₁

◦ (φ

⁺₂

)

⁻¹

(x, z) =



 b

s

1 − x

²

a

²

+ z

²

c

²

, z





となり、C^∞級であることがわかる。よって、Hは

C

^∞級多様体になる。

3