2.3 指数関数・対数関数（解答）

微分積分学１ No.5 2005. 5.18

2.3 指数関数・対数関数（解答）

問題 10 極限値 lim

h→0

e^2h−1

h ^{を求めなさい}.

h→0lim

e^2h−1 h = lim

h→0

µe^2h−1 2h ×1

2

¶

= 1 2

問題 11 次の関数を微分しなさい.

(1)y = 4xe^3x+1

y⁰ = 4×(x)⁰×e^3x+1+ 4×x×(3x+ 1)⁰×e^3x+1= 4e^3x+1+ 12xe^3x+1= 4e^3x+1(1 + 3x)

(2)y = 3 log(−2x+ 3)

合成関数の微分の公式より,導関数は,

y= 3×(−2x+ 3)⁰× 1

−2x+ 3 = (−6)× 1

−2x+ 3 = −6

−2x+ 3 = 6 2x−3 (3)y =x²e^x

積の微分の公式より,導関数は,

y= (x²)⁰×(e^x) + (x²)×(e^x)⁰ = (2x)×(e^x) + (x²)×(e^x) =x(2 +x)e^x

(4)y = sinxlogx

積の微分の公式より,導関数は,

y= (sinx)⁰×(logx) + (sinx)×(logx)⁰= (cosx)×(logx) + (sinx)× 1 x

= (cosx)(logx) +sinx x (5)y = e^1−x

3x

商の微分の公式より,導関数は,

y= (e^1−x)⁰×(3x)−(e^1−x)×(3x)⁰

(3x)² = (1−x)⁰×(e^1−x)×(3x)−(e^1−x)×3 9x²

= −e^1−x×(3x−3)

9x² = −e^1−x(x+ 1) 3x² (6)y = 3^x

logy= log 3^x=xlog 3より,y=e^{xlog 3}.

従って,y⁰ = log 3×e^{xlog 3}= log 3×3^x= 3^x(log 3)