第 3 章 指数関数・対数関数

MM 物理数学

第 3 章 指数関数・対数関数

1 指数関数から対数関数へ 1.1 指数関数を描く 1.2 指数関数の性質

1.3 身近なところの指数関数 1.4 滑らかな指数関数曲線を描く 1.5 指数関数から対数関数へ 2 指数関数と対数関数のまとめ 3 指数関数・対数関数の例題と問題 4 対数グラフの描き方

4.1 対数グラフ 4.1.A.両対数グラフ 4.1.B.片対数グラフ 4.1.C 対数グラフの演習

第 3 章 提出課題（課題No3）

1 指数関数から対数関数へ

1.1 指数関数を描く

右のようにx軸方向2目盛り置きにy軸方向の直線をx軸から描く．

次の指示にしたがって図を描きなさい．

指示1 図の左端に8目盛りの直線を引く．つぎの直線は前の直線の半分の長さとする．0 0 1 2 3 4 h

以下これ（前の直線の半分の長さを次の直線の長さとする）を繰り返す．

指示2 図の左端に1目盛りの直線を引く．つぎの直線は前の直線の2倍の長さとする．

以下これ（前の直線の2倍の長さを次の直線の長さとする）を繰り返す．

指示3 図の左端に8目盛りの直線を引く．つぎの直線は前の直線の3/4の長さとする．

以下これ（前の直線の3/4の長さを次の直線の長さとする）を繰り返す．

指示4 図の左端に適当な長さの直線を立てる．つぎの直線は前の直線と同じ長さとする．

以下これ（前の直線と同じ長さを次の直線の長さとする）を繰り返す．

答えは次のページにあるが，みずに実行してみよ．

番号iの直線の長さをh _i とする．0番目の直線の長さh ₀が基準の長さである．

0 1 2 3 4

0 h

0 1 2 3 4

0 h

0 1 2 3 4

0 h

0 1 2 3 4

0 h

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

= 2

1

0

1 h

h

2 0 1

2 2

1 2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

3 0 2

3 2

1 2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

4 0 3

4 2

1 2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

L L L

( )

2

0 1=h × h

( )

₀

( )

²

1

2=h × 2 =h × 2 h

( )

₀

( )

³

2

3 =h × 2 =h × 2 h

( )

₀

( )

⁴

3

4 =h × 2 =h × 2 h

L L L

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

= 4

3

0

1 h

h

2 0 1

2 4

3 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

3 0 2

3 4

3 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

4 0 3

4 4

3 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=h h

h

L L L

( )

1

0 1=h × h

( )

0

( )

²

1

2=h × 1 =h ×1 h

( )

0

( )

³

2

3=h × 1 =h × 1 h

( )

0

( )

⁴

3

4=h × 1 =h × 1 h

L L L

上の傾向から（ ）の中の数値を a とすると上の4つの場合が同じ式 h_i =h₀×aⁱ

と書けることがわかるであろう．h 0は最初に与える定数であり，h i とa ⁱ のi は共通なので任意の実数でも成立 する．いま，縦軸のh _i をy に，横軸の i をxに読み替えると

y =h₀×a^x

になる．このように一定の割合（ a ）で増えたり減ったりする関数を「指数関数（xが数値の肩に乗っている関 数）」という．このときのxを「指数」といい，aを指数関数の「底」という．

( )

^{x x}

x

h h

h

y ⎟ = × ⁻ = × ⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

= 2 2

2 1

1 0 0

指示1の式は 0

指示2の式は y =h₀×

( )

2^x =h₀×2^x となり，共に底が2の指数関数である．

1.2 指数関数の性質

まず，いろいろな底の指数関数をみて見よう．底が10，2の指数関数はそれぞれy =10^x，y =2^x となる．

y=10x y =2^x

-6 -4 -2 O 2 4 6

2 4 6 8 10

ｘ ｙ

-6 -4 -2 O 2 4 6

2 4 6 8 10

ｘ ｙ

-6 -4 -2 O 2 4 6

2 4 6 8 10

ｘ ｙ

課題1 上の図形をfunctionviewで描け．

「functionview 陽関数の欄に 10^( a x ) と 2^( b x ) をタイプせよ．」

「パラメーターa , bを変化させてみよ．」

この結果，y =10^ax のaを0.3にすると y =2^bx のb = 1のときの図と重なることがわかるであろう．

たとえば，x =1のときy=10¹=10，このときy=2^bx =10が成立するのは図をみるとb = 3.3となっている．

つまり，y =10^xと同じxの値を用いるならばy =2^3.3xとすれば2つの関数形のyの値が同じになるので

x

y =10x =2^3.3

が成立し，10=2^3.3 となる．つまり，底が10の指数関数を底が2の指数関数で書き直すことができることにな る． これを底の変換という．（対数でよく使う）

底の変換ができるので，指数関数の底はなんでもよいことになる．底が10の指数関数は10 =10¹ ，10²=100 などわかりやすいのでよく使用されるが，底が2の指数関数はコンピュータ関係以外はあまり使われないようで ある．科学技術，自然現象では底が2.71828…（ネイピア数）の指数関数がよく使われる．この数値を使うと微 分積分が楽になるからである．

1.3 身近なところの指数関数

底がe = 2.718281828459045 の指数関数 y=e^x について

指数関数は身近なところにも現れている．このときの関数形は一般に底がeの指数関数で，次のようになる．

Aeax

y= 多くの場合，横軸は時間軸である．

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

ｘ ｙ

A=1 , y = e A=1 , y = e

これらを組み合わせると

) cosh(

2e A ax

Ae

y = ^ax + ^−ax = ⋅

この形を 懸垂曲線 とよび つり橋の形 になる．つり橋，鎖の垂れ，電線の垂れ など 自分自身の 重さで垂れ下がっている場合の現象で現れる．

x 人口の増加 ^–x 冷却曲線

-3 -2 -1 O 1 2

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

-3 -2 -1 O 1 2

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

-2 -1 O 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

-2 -1 O 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

-2 -1 O 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 1

ｘ ｙ

O 1 2 3 4 5 6

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

ｘ ｙ

O 1 2 3 4 5 6

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

ｘ ｙ

O 1 2 3 4 5 6

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

ｘ ｙ

A=1 , y=－e A=1 , y = A ( 1－e

A=1 , y =－e ^{x -x –ax} )

体温計の温度上昇 電池の充電

水の沸騰までの温度変化

-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 ｙ

-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 ｙ

-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 ｙ

cosh(ax)はハイパボリックコサイン(ax)と読む，

第1章の関数形の形を見よ．

0 1 2 3 4 0

h0

1.4 滑らかな指数関数曲線を描く

基準の大きさh₀を2倍，さらに2倍などと繰り返してゆくとi回目には h₀×2ⁱ

となることを見出した．上の式の結果の値をy，i 回目のi をxとすると y =h₀×2^x

と書ける．2倍でなく一般的にa倍とすると y =h₀×a^x

と書け，底をaとする指数関数となる．

さて，これまでの議論はi，あるいはxは整数の場合であった．2¹=2，2²=4であるから，

たとえば1と2の間の実数1.25ときの2^1.25の値は図から2.5くらいになりそうであることがわかる．

実際には

( )

^{2 2 2 2 1.4142 2 1.189 2.378}

2 2 2 2 2 2 2 2

2 ²

2 1 1 2 1 4

1 25

. 0 25

. 0 1 25 .

1 ⎟⎟ = × = × = × = × =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

×⎛

=

×

=

×

=

= ⁺

を繰り返し使って行けばかなり細かな値まで計算することができ，滑らかな曲線となる．

と

y=10x で確かめてみよう．10⁰ =1，10¹=10ですから，0≤ x ≤1の範囲の計算をして図示することにする．

01683793 3.16227766

10

10 ²

1

=

=

1.77827941

01683793 3.16227766

10 10⁴

1

=

=

=

1.3335 77827941

. 1 10 10⁸

1

=

=

=

1 10⁰ =

3335 . 1 10⁸

1

= 7782 . 1 10⁸

2

=

2.3712 10⁸

3

=

1622 . 3 10⁸

4

=

4.2168 10⁸

5

=

5.6234 10⁸

6

=

7.4988 10⁸

7

=

10 10 10^{8 1}

8

=

=

0 0.5 1.0

0 5

10 各点を直線で結んでいるが滑ら かな曲線にみえる．

点の間隔を10^1/16にすれば もっと滑らかになる．

点の間のyの値は補間で求める．

1.5 指数関数から対数関数へ

指数関数y =10^xにおいてyを求める作業をする場合の順番は x ⇒ 10^x ⇒ y

たとえば，x = 0.5 ならば 10^0.5 を実行し y =3.16 を得る．逆に，yからxを求めようとするときは

y ⇒ 10^x ⇒ x の順番になる．

たとえば，y = 7となるxを求める場合, 10^x =7から 計算で出す方法はまだないので頼りになるのは右図だけである．

0 0.5 1.0

0 5 10

x y

右図は多数の計算した点を基に描いたのでデータはある．

ちなみに

64 55 64

54

10 7.2339 7

6.9783

10 = < < =

64 0.859375 55 x

0.84375 64

54 = < < =

なので，xは の間の数となる．2点を通る直線の式は

(

1

)

1

1 2 x x

x x

y y y

y −

−

= −

− ^{2 1}

(

y y₁

)

x₁

y y

x

x x − +

−

= −

y=7 y1=6.9783 y2=7.233

x1=54/6 4

x2=55/64 x

∴

1

2 2 1

より補間でxを求めると

( )

54 0.8451

9783 . 6 64 7

54 64 55

= +

− −

= x

64 9783

. 6 2339 .

7 −

となる．（正確な値はx = 0.845098）

この方法で

y = 1 からy = 10までのxを求めると右図になる．

0 0.5 1.0

0 5 10

x y

このときのxの目盛りを指数関数から逆に求めた ので対数目盛りという．

y = 7のときの対数目盛りの値はx = 0.8451

であった．いちいちこのような文章で表現するのは 大変なので

log 7 = 0.8451

のように書くことにするのである．

このページの解答はｐ9「2 指数関数と対数関数のまとめ」を参照せよ．

問題1.5.1

電卓で次の対数の値を求めなさい．

log 1 = log 10 = log 100 = log 0.1 =

log 2 = log 20 = log 200 = log 0.2 =

log 3 = log 30 = log 300 = log 0.3 =

log 4 = log 40 = log 400 = log 0.4 =

log 5 = log 50 = log 500 = log 0.5 =

log 6 = log 60 = log 600 = log 0.6 =

log 7 = log 70 = log 700 = log 0.7 =

log 8 = log 80 = log 800 = log 0.8 =

log 9 = log 90 = log 900 = log 0.9 =

問題1.5.2

問題1.5.1のlog 1 からlog 100 までの目盛りを下のようにグラフ用紙に描きなさい．

そして，真ん中の直線をはさみでカットしなさい．（下の図の目盛りはあまり正確でない）

1 2 3 5 10 20 30 50 100

1 2 3 5 10 20 30 50 100

A B

目盛りAの2に目盛りBの1を一致させなさい．

Bの目盛り3の位置のA目盛りの読みが6であることを確認しなさい．

1 2 3 5 10 20 30 50 100

A

1 2 3 5 10

B

目盛りは対数をとったときの線であるので，目盛り線の 和，差 はつぎのようになる．

目盛りA2 + 目盛りB3 ＝ 目盛りA6

log 2 + log 3 ＝ log 6 2 × 3 ＝ 6 log x + log y = log x y

目盛りA6 － 目盛りB3 ＝ 目盛りB1のAの値2

log 6 － log 3 ＝ log 2 6 ÷ 3 ＝ 2 log x － log y = log x /y

昔は，掛け算，割り算をこのような道具（計算尺）で行った．

2 指数関数と対数関数のまとめ

2.1. 指数関数

y

x 1<a 0<a<1

0 1

図 y = a ^x a を1に等しくない正数，x を実数の変数とするとき,

ax

y =

を「指数関数」という.

1.1 1 < a のとき増加関数で, このグラフは点 ( 0, 1)を通り, x → + ∞ のとき y → + ∞

x → − ∞ のとき y → 0

1.2 0 < a < 1 のとき減少関数で，このグラフは点 ( 0, 1)を通り, x → + ∞ のとき y → 0

x → − ∞ のとき y → + ∞

2.2. 逆関数

y = (f x ) をx について解いたものをx =F y )( とおく．xとyを交換したy =F x( ) ，y =f(x) を互いに他の 逆関数であるという． これらの関数のグラフは，線分 y=xに対して線対称である.

3. 対数関数

x y = x y

図 y = a ^x (実線)とy = loga x (点線)

指数関数の逆関数を対数関数という． すなわち,

ax

y =

をxについて解いて y x =log_a

この式で x と y を交換して, x

y =log_a

このときの y を｢a を底とするx の対数｣という．

4. 対数の性質

y

x > ならば (a > 1) 4.1 log_aa =1，log_a1=0 4.5 log_ax >log_ay

b c a

a a _{b c}

b

c b log log

log

log = log = ×

4.2 log_a(xy)=log_ax+log_ay 4.6

4.3 log_a(x/y)=log_ax−log_ay 4.7 log_ba×log_ab=1

4.4 log_ax^m =mlog_ax (m は任意の実数)

「対数の性質」は絶対におぼえておかなくてはならない

5. 自然対数

L L 2.718281828459045

! 3

1

! 2

1

! 1

1+ 1 + + + =

=

e eの定義

h e

h

h ⎟ = =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→ 1 1 2.718281828 x と書く． lim

を底とする対数を｢自然対数｣といい，log _e

ただし,常用対数との混乱を避けるため ln x と書くこともある．

科学計算（微分，積分）で出てくる対数は自然対数である．

5.1 log_ee =1，log_ee^m =m x x e

x x

e 10 10

10

10 2.302585093 log

434294482 .

0 log log

log = log = = L×

5.2 L

6. 常用対数

10を底とする対数 log₁₀xを｢常用対数｣といい，底を省略して単にlogxと書く．このときx を｢真数」という．

6.1 log₁₀10=1， log₁₀10^m =m x x

x x ^e _e

e

e 0.434294482 log

30585093 .

2 log 10

log

log = log = = L×

6.2 L

7. 指標と仮数

n の範囲の数n の常用対数 n n <

log 1 = 0 ，log 10 = 1 であるから，1≦ <10 log は0≦log 1となる数である．

この数値の小数第4位までを表にまとめたものが4桁常用対数表である. この対数表があれば，どんな正の数の 対数でもすぐに求めることができる. 関数電卓には8～13桁の常用対数表, 自然対数表が組み込まれている. 対数表から log 3.45 = 0.5378 であることを用いれば

+ log 3.45 = 1 + 0.5378 log 34.5 = log (10 ×3.45) = log 10

2 2

log 345 = log (10 ×3.45) = log 10 + log 3.45 = 2 + 0.5378

3

log 3450 = log (103 ×3.45) = log 10 + log 3.45 = 3 + 0.5378

-1 -1 + 0.5378

log 0.345 = log (10 ×3.45) = log10 + log 3.45 = − 1

-2

-2 ＋log 3.45 = − 2 + 0.5378 log 0.0345 = log (10 ×3.45) = log 10

-3

-3 + 0.5378

log 0.00345 = log (10 ×3.45) = log 10 + log 3.45 = − 3

以上のことから, 一般的に正の数N，整数 m と1 ≦ A < 10 までの実数Aを用いると, N =10^m×A ( ただし 1 ≦ A <10 )

となる．したがって，Nの常用対数は,

logN =log(10^m×A)=log10^m+logA =m+α

と書き表せる．log Nの値は対数表からlogA=α ( 0≦α< 1 ) を求めればよい．このときm を「指標」, ( 0≦α_{<1 )}を「仮数」という.

α

3 指数関数・対数関数の例題と問題

問題3.1

次の等式を証明せよ．

y y x

x

a a

a log log

log = −

1

log_aa = log_axy = log_ax+log_ay

(1) log_a1=0 (2) (3) (4)

c a a

b c logb

log = log

(5) log_ax^m =mlog_ax (6) 解答は 左欄の「対数の性質の証明」を見よ．

問題3.2

h e

h

h ⎟ = =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→ 1 1 2.718281828

eの定義 lim となることを電卓で確かめよ．

例3.1

底eを底10に変換

8 log 3025 . 43429 2 . 0

8 log log

8 8 log

log = ¹⁰ = ¹⁰ = × ₁₀

e e

10

この形の変換は，数式を対数グラフに描くときによく用いられる．電卓で確かめよ．

問題3.3

次の式のxの値を求めよ．

(1) log₄8=x (2) log₂₇3=x (3) log₅0.2=x 解答へ

問題3.4

A=log_ax , B =log_ay , C =log_az のとき，次の式をA，B，Cで表わせ．

z y x

a

log 4 log ²₅

z y x (1) log_a x²yz³ (2) (3) a 解答へ

問題3.5

次の式を簡単にせよ．

49 2log 3 1 log 4 2 log7 3 log5

2 − + +

4 log 2 log 8

log₃ + ₃⁴ − ₃ (2)

(1)

9 log50 70 log 3 25

log27− + log₂12+log₂8−log₂3 (3) (4)

解答へ

問題3.6

、 として次の値を求めよ。

3010 . 0 2

log = log3=0.4771

108

log log³54

(1) log6 (2) log5 (3) (4) log0.6 (5)

解答へ

問題3.7

次の式を簡単にせよ。

(1) log₂3⋅log₃4⋅log₄2 (2) log₂3⋅log₃5⋅log₅7⋅log₇8 (3) (log₂3+log₄9)(log₃2+log₉4)

解答へ

問題3.8

次の方程式を解け。

(1) log(x−1)+log(x+2)=1 (2) (logx)²−2logx²+3=0

(3) log₂x+log₂(x−6)=4 (4) log(x−1)−log(x²−5x+4)+1=0

(5) (logx)²−logx² =0 (6) 2logx³−(logx)²−8=0 (7) x^logx =1000x²

解答へ

問題3.9

47¹⁰⁰は168桁の数である。47²⁵は何桁か。

解答へ

問題3.10

次の値を電卓で求めよ。（まず，底の変換をせよ．）

(1) log_45.6123= (2) log₂₀e³ =

解答へ

4 対数グラフの描き方

4.1 対数グラフ

平面上で直交する2直線を x 軸, y 軸とする. これらの両軸上に対数目盛りをつけたものを両対数グラフといい, 軸の一方だけに対数目盛り(一般的には y 軸)を, 他方(一般的には x 軸)には普通の等目盛りをつけたものを片 対数グラフという.

これらのグラフ用紙は，急激に変化する関数のグラフを描くのに用いられる. たとえば, y = b xa (xが変数, a, bは任意の実数)は, 両対数グラフ上で直線となる．

(xが変数, a, bは任意の実数)は, 片対数グラフ上で直線となる．

y = b eax

0 1 2 0

10

6

2 4 8

0.1 1 10

10

1

0.1

図 べき乗関数は両対数グラフ上では直線となる

べき乗関数y =2x^2(実線)とy =2x³(鎖線)は，両対数グラフ上では傾きが異なる直線となる．

図 指数関数は片対数グラフ上では直線となる

指数関数y =2e^{2x(実線)と}y =2e^3x(鎖線)は，片対数グラフ上では傾きが異なる直線となる．

片対数グラフ用紙の縦軸は，常用対数目盛りが普通である．

1 10

2

0 0.5 1

5

0 0.5 1 0

10

6

2 4 8

4.1.A 両対数グラフ 微分積分の計算は自然対数，

それをグラフにするときは常用対数 べき乗関数 y =bx^a の両辺の対数をとる． である．

よって，グラフにするときは 底の変換が必要である．

logy =log(bx^a)=logb+logx^a = logb+alogx 縦軸に log y ( = Y ), 横軸に log x ( = X )をとるならば, Y = B + a X , ただし, B = log b

となり, べき乗関数は，両対数グラフ上で直線となる．

両対数グラフの直線の傾きaと切片Bは，

1 2

=

1 2

log log

log log

x x

y a y

−

= − ， 切片B = log b

Y = B + a X において，切片BはX = 0のときのYの値である. よってlog b は， X = 0 = log 1 のとき の log y の値である．

4.1.B 片対数グラフ

指数関数 y be^ax の両辺の対数をとる．

logy =log(be^ax)= logb+loge^ax =logb+axloge =logb+(aloge)x 縦軸に log y ( = Y ), 横軸に x ( = X ) をとるならば,

Y = B + A X , ただし, B =log b , A = a log e となり, 指数関数は，片対数グラフ上で直線となる．

片対数グラフの直線の傾きaと切片Bは，

1 2

1 2 log log

x x

y A y

−

= −

A = a log eから,

1 2

1 2 log log

log 1

x x

y y

a e

−

= − ， 切片B = log b

Y = B + A X において，切片BはX = 0のときのYの値である. よってlog b は， X = x = 0 のときの log y の値である．

4.1.C 対数グラフの演習

問題4.1.C.1

次の①，②のデータをA4判1 mm方眼用紙にプロットしなさい．

この2組は同じように見えるが，①，②には明らかな違いがある．

データ ①

時刻 t (s) 1.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.0

速度v (m/s) 20.0 5.00 1.25 0.56 0.31 0.20

データ ②

時刻 t (s) 1.00 2.00 3.00 5.00 7.00 9.00 速度v(m/s) 12.1 7.36 4.46 1.64 0.64 0.22

問題4.1.C.1解答へ

問題4.1.C.2

問題4.1.C.1の①，②のデータを両対数グラフ用紙にプロットしなさい．

①のグラフは直線となっているはずである．傾きと切片を求め，式を決定せよ．

問題4.1.C.2解答へ

問題4.1.C.3

問題4.1.C.1の①，②のデータを片対数グラフ用紙にプロットしなさい．

②のグラフは直線となっているはずである．傾きと切片を求め，式を決定せよ．

問題4.1.C.3解答へ

微分積分の計算は自然対数，

それをグラフにするときは常用対数 である．

よって，グラフにするときは 底の変換が必要である．

解 答

問題3.3(1)解答

2 3 2 1 1 4 2log 4 1 log 4 log 4 log 2 log 4 log 2 4 log 8

log ² _{4 4}

1 4 4

4 4

4

4 = × = + = + = + = + =

問題3.3(2)解答

3 1 1 3 27 1 3log 27 1 log 3

log ³ ₂₇

1 27

27 = = = × =

問題3.3(3)解答

1 1 0 5 log 1 5 log log 1 2 . 0

log₅ = ₅ = ₅ − ₅ = − = −

問題 3.3 の別解（底の変換を使う） こちらの方が本道

2 3 2 log 2

2 log 3 2 log

2 log 4 log

8 8 log

log₄ = = ₂³ = =

(1)

3 1 3 log 3

3 log 3

log 3 log 27 log

3 3 log

log₂₇ = = ₃ = =

(2)

2 1 log 1

1 2 log 2 log 10 log

10 log 2 log ) 2 / 10 log(

) 10 / 2 log(

5 log

2 . 0 2 log . 0

log₅ =−

−

= −

−

= −

=

= (3)

戻る

問題3.4(1)解答

C B A z y

x

z y

x yz

x

a a

a

a a

a a

3 2

log 3 log log

2

log log

log

log ^{2 3 2 3}

+ +

= +

+

=

+ +

= 問題3.4(2)解答

C B A z y

x

z y

z x y x

a a

a

a a

a a

2 1 4

log 1 2 log 1 4log

1

log log

log

log ^{4 4}

− +

=

− +

=

− +

=

問題3.4(3)解答

C B A z y

x

z y

z x y x

a a

a

a a

a a

5 2

log 5 log log

2

log log

log

log ²₅ ^{2 5}

− +

=

− +

=

− +

=

戻る

問題3.5(1)解答

2 4log 2 5 log 2 2 4log 2 1 log 3 4 log 2 log 8

log₃ + ₃⁴ − ₃ = ₃ + ₃ − ₃ = ₃

問題3.5(2)解答

2 10 log 2

7 log 3 log 2 2 log 2 7 log 3 log 2 2 log 2 10 log 2

7 log 3 log 2 2 log 2 7 log 3 log 2 2 log10 2

7 2log 3 2 log 2 4 log 7 log 3 log 2 5 log 2

49 2log 3 1 log 4 2 log7 3 log5 2

=

=

+ +

+

−

−

−

=

+ +

+

−

−

=

+ +

+

−

−

=

+ +

−

問題3.5(3)解答

(

140

)

log(7 2 10) log7 log2 1 9 log

50 3 70 25 log 27 9 log50 70 log 3 25

log27 ⎟ = = × × = + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ × ×

= +

−

問題3.5(4)解答 5 1 5 2 log 5

3 log 2 log 3 3 log 2 log 2 3 log 2 log ) 3 2 ( log 3 log 8 log 12 log

2

2 2

2 2

3 2 2 2

2 2

2 2

=

×

=

=

− +

+

=

− +

×

=

− +

戻る

問題3.6解答 log2=0.3010，log3=0.4771 を使う 問題3.6(1)解答

7781 . 0 4771 . 0 3010 . 0 3 log 2 log 6

log = + = + =

問題3.6(2)解答

6990 . 0 3010 . 0 1 2 log 10 log 2 / 10 log 5

log = = − = − =

問題3.6(3)解答

( ) (

3 0.4771 2 0.3010

)

1.01665 2

2 1 log 2 3 log 2 3 ) 1 2 3 2log(

) 1 4 27 2log(

108 1

log = × = ³× ² = + = × × + × =

問題3.6(4)解答

2219 . 0 1 4771 . 0 3010 . 0 10 log 3 log 2 10 log

3 log2 6 . 0

log = × = + − = + − =−

問題3.6(5)解答

5774 . 0 4771 . 3 0 3010 . 3 0 log 2 3log ) 1 3 2 3log(

54 1 3log 54 1

log³ = = × ³ = + = + =

戻る

問題3.7(1)解答

4 1 log

2 log 3 log

4 log 2 log

3 2 log log 4 log 3

log₂ ⋅ ₃ ⋅ ₄ = ⋅ ⋅ =

問題3.7(2)解答

2 3 log

2 log 3 2 log

8 log 7 log

8 log 5 log

7 log 3 log

5 log 2 log

3 8 log log 7 log 5 log 3

log₂ ⋅ ₃ ⋅ ₅ ⋅ ₇ = ⋅ ⋅ ⋅ = = =

問題3.7(3)解答

3 4 log 2

2 log 2 2 log 2

3 log 2 3 log

2 log 2 log 2

3 log 2 3 log 2

2 log 2 2 log

3 log 3 log

2 log 2 log

3 log

4 log 9 log 2 log 9 log 4 log 3 log 2 log 3 log

) 4 log 2 )(log 9 log 3 (log

9 4 3

4 9

2 3

2

9 3

4 2

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

+ +

戻る

問題3.8(1)解答

0 1>

− x ∴

1 ) 2 log(

) 1

log(x− + x+ = log(x−1)(x+2)=log10 また ，x+2>0よりx >1

∴ (x−1)(x +2)=10 ∴ x²+x−2=10 ∴ x²+x −12=0

∴ (x+4)(x −3)=0 ∴ x =−4 または x =3， x >1 より x =3

問題3.8(2)解答

(

logx −3

)(

logx−1

)

=0 0

3 log 2 )

(logx²− x²+ = ∴ (logx)²−4logx +3=0 ∴

∴ logx =3 または logx =1 3

logx = のとき x =10³ =1000 ，logx =1 のとき x =10

問題3.8(3)解答

( )

{ }

₂ ⁴

2 6 log 2

log x x− = ∴

4 ) 6 ( log

log₂x+ ₂x− = また x >0，x−6>0よりx >6

∴ x=8 または x =−2 ， x >6 より x =8

問題3.8(4)解答

) 1 1 )(

4 (

log 1 =−

−

−

− x x 1 x

) 1 )(

4 log(

) 1

log(x− − x− x− =− 0 ∴

1 ) 4 5 log(

) 1

log(x− − x² − x+ + = ∴

4 1 log 1 =−

−

x −log(x −4)=−1 log(x−4)=1 x−4=10 x =14 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴

問題3.8(5)解答

∴ ∴ log

)

(logx ²− x²=0 (logx)²−2logx =0 logx⋅(logx−2)=0

∴ logx =0 または logx =2 ∴ x =1 または x =100

問題3.8(6)解答

∴ 6 ∴ 8

) (log log

2 x³− x ²− =0 logx−(logx)²−8=0 −(logx−4)(logx−2)=0 ∴ logx =4 または logx =2 ∴ x =10⁴ または x =10²

問題3.8(7)解答

両辺の対数をとる logx^logx =log(1000x²) ∴

2 log 1000x

x ^x = logx⋅logx =log1000+logx²

∴ logx⋅logx =3+2logx ∴ (logx)²−2logx−3=0 ∴ (logx−3)(logx+1)=0 ∴ logx =3 または logx =−1 ∴ x =10³ または x =10⁻¹

戻る

問題3.9解答

47¹⁰⁰は168桁の数である。47²⁵は何桁か。

aを1<a<10の実数とすると1桁の数はa×10⁰，2桁の数はa×10¹，n桁の数はa×10ⁿ⁻¹で表わせる．

47¹⁰⁰ =a×10ⁿ⁻¹ とおく．47¹⁰⁰は168桁の数であるので，n =168−1=167 ∴ 47¹⁰⁰ =a×10¹⁶⁷ ∴ log47¹⁰⁰ =log(a×10¹⁶⁷)

∴ 100log47=167+loga

aは1<a<10の実数であるから，log1<loga <log10 ∴ 0<loga<1 1

167 47 log 100

0< − < 167<100log47<168 1.67<log47<1.68

∴ ∴ ∴

25 47 log

log = x 1.68

25 67 log .

1 < x <

47²⁵ =x とおく． logx =25log47 ∴ ∴ 42

25 68 . 1 log 41.75 25

67 .

1 × = < x < × =

∴

∴ 10^41.75 =10^0.75×10⁴¹=5.62×10⁴¹ <x <10⁴² すなわち，47²⁵は42桁の数である．

ちなみに 47¹⁰⁰ =1.62×10¹⁶⁷，47²⁵ =6.34×10⁴¹ 戻る

問題3.10解答

（次の値を電卓で求めよ。）まず，底の変換をせよ．

2597 . 1.6590 1 2.0899 6

. 45 log

123 123 log

log_45.6 = = =

(1)

1.001 3010

. 1 1.3029 1.3010

0.434294 3

20 log

log 3 20 log

log₂₀e³ = loge³ = e = × = =

(2) 戻る

問題4.1.C.1解答

0 5 10 15 20

②

①

0 5 1０

時 間 t ( s )

速 度 v ( m/s )

①，②は同じように減衰するので，2つの曲線の 関数形はこのグラフからではわからない.

問題4.1.C.1 へ戻る

問題4.1.C.2解答

となる．その関数形は，

デ－タ①は， 両対数グラフ上で直線 ta

b v =

で, 対数をとると，

t a b v log log

log = +

となる．

直線上の任意の2点(1.8，6.0) ，(7.0，0.4 ) から，傾きと切片を求める.

5 10

2

時 間 t ( s ) 5

10 20

0.1 1 0.5 1 2

速 度 v ( m/s )

0.2

①の傾きは，

0 . 8 2 . 1 log 0 . 7 log

0 . 6 log 4 . 0

log =−

−

= −

a

)，a =−

①の切片は，( 1.8，6.0 2.0 を使うと，

29 . 1 8 . 1 log ) 0 . 2 ( 0 . 6 log log log

logb= v−a t = − − =

∴ b=10^1.29 =19.5 よって，①の式は，

傾きを計算するとき に必要な2点は，デ ータ点をはずした，

直線上の任意の2点 を選ぶ．

0

.

5 2

. 19 ⁻

= t

v

問題4.1.C.2 へ戻る

データ点が必ずしも 直線上にあるとは限 らないためである．

問題4.1.C.3解答

となる．その関数形は，

デ－タ②は， 片対数グラフ上で直線

eax

b y =

で, 常用対数をとると,

t e a b

v log ( log )

log = +

となる.

直線上の任意の2点( 2.5，5.6 )，( 7.5，0.46 ) から，傾きと切片を求める．

②の傾きは，

217 . 6 0 . 5 log 46 . 0

log log =−

−

= − e

a

5 . 2 5 . 7

50 . 4343 0 . 0

217 . 0 log

217 .

0 = − =−

= − a e ∴

)，a =−

②の切片は，( 2.5，5.6 0.50 を使うと，

291 . 1 5 . 2 ) 4343 . 0 50 . 0 ( 6 . 5 log ) log ( log

logb= v− a et= − − × × =

∴ b=10^1.291=19.5

0 5 10

0.2 0.5

1 2

5 10 20

0.1

時 間 t ( s )

速 度 v ( m/s )

よって，②の式は，

e t

v =19.5 ^−0.5

傾きを計算するとき に必要な2点は，デ ータ点をはずした，

直線上の任意の2点 を選ぶ．

データ点が必ずしも 直線上にあるとは限 らないためである．

問題4.1.C.3 へ戻る

第 3 章提出課題 第 3 章課題 サブタイトル -- 指数対数 --

1 次の等式を証明せよ．

1

log_aa = log_axy =log_ax+log_ay (1) log_a1=0 (2) (3)

c a a

b c logb

log = log y

y x x

a a

a log log

log = −

(4) (5) log_ax^m =mlog_ax (6)

2 次の式のxの値を求めよ．

(1) log_0.51=x (2) log_x 4=2 (3) log₃x =0.5

3 A =log_ax , B=log_ay , C =log_az のとき，次の式をA，B，Cで表わせ．

4 3

log x

z y

3 a

log 2

z xy z a

y

a 5x3 2

log (2) log_ax³yz² (3) (4) (1)

4 次の式を簡単にせよ．

23 2

2 log 6

2 3 3 log 1 2 2 1

log − − (2) 3log₅3−2log₅75−log₅15 (1)

6 log 24 3log 9 1 2log 36 1

log + ³ − − (4) (log2)³+(log5)³+(log8)⋅(log5) (3)

5 log2=0.3010、log3=0.4771 として次の値を求めよ。

372 log (1) log0.2 (2) log4.5 (3) log18 (4)

6 次の式を簡単にせよ。

(1) log_ab⋅log_bc⋅log_ca (2) (log₂3+log₂9)log₃8 (3) log₂3⋅log₃7⋅log₇8 (4) log₂(log₂49)+2log₄(log₇2)

7 次の方程式を解け。

x2log₂^x =8x

(1) (2) x^logx =100x (3) log ₂(2−x)+log ₂(4−x)=6

(4) log(2x−1)+log(x−9)=2 (5) (logx)²−4logx+3=0

(6) (7) log₄(2x²+2x−3)=log₂(2x−1) 100x^logx =x³

8 1mの棒を半分に切断，半分にした棒をさらに半分に切断，という具合に1/2を繰り返し棒を切断してゆく．

原子の大きさ（10^-10m）になるのは何回目か．

9 次の惑星の定数を使って，ケプラーの第３法則（ （kは定数））が成り立っていることを両対数 グラフで確かめよ．

2 /

ka3

T =

太陽からの距離(長半径の平均値) 公転周期

天文単位 ×10 m ¹¹ 年 日

0.3871 0.579 0.2409 87.97

水星

0.7233 1.082 0.6152 224.7

金星

1.0000 1.496 1.0000 365.25

地球

1.5237 2.279 1.8809 686.98

火星

5.2026 7.783 11.862 ---

木星

9.5540 14.294 29.458 --- 土星

ヒント：周期は日と年で書かれているから，どちらかに統一して計算する．

周期は年，長半径の平均値は地球長半径の平均値（天文単位という）を1にして考えよ．

10 y=be^ax で著される指数関数に従うデータがある． データ a,bを決定せよ。 x y

1 3.352 2 2.247 上の指数関数を片対数グラフ用紙にプロットすると

3 1.506 片対数グラフ用紙では直線になる．

4 1.009

まず，普通の方眼用紙にデータをプロットせよ． 5 0.667

減衰する曲線が描ける． 6 0.454

次に，片対数グラフ用紙にデータをプロットし， 7 0.304

データを通る直線を引き， 8 0.204

その直線の傾き，切片を求めa,bを決定せよ． 9 0.137

10 0.092

11 50¹⁰⁰は何桁の数か．（電卓では計算できない）

12（底の変換）aの値を求めよ． (1) 10=2^a (2)10^a =2 (3) 10=e^a (4)10^a =e