第 3 章提出課題解答 -指数・対数-
1 次の等式を証明せよ．
第3章対数の性質の証明を見よ．
2 次の式のxの値を求めよ．
2(1) log0.51= x また log0.51=0 ∴ x = 0
2(2) 2logx 4=
∴ 2 log
4 log =
x
∴ log2
2 2 log 2 2
4
logx = log = =
∴ x =2 2(3) 5log3x =0.
∴ 0.5 3 log logx =
∴ logx =0.5log3= log30.5 =log 3
∴ x = 3
3 A=logax ,B =logay,C =logaz のとき，
次の式をA，B，Cで表わせ．
3(1) loga 5x3y2z =loga5x3 +logay2+logaz
C B A
z y
x a a
a
+ +
=
+ +
= 5 2 3
log log
2 5log
3
3(2) logax3yz2 =logax3+logay+logaz2
C B A
z y
x a a
a
2 3
log 2 log log
3 + +
=
+ +
=
3(3) log 32 log x log y2 log z3 z
xy
a a
a
a = + −
C B A
z y
x a a
a
3 2
log 3 log 2 log
− +
=
− +
=
3(4) 2 3
1 4
1 4
3
log log
log
log x y z
x z y
a a
a
a =− + +
C B A
z y
x a a
a
2 3 1 4 1
log 3 2log
log 1 4 1
+ +
−
=
+ +
−
=
4 次の式を簡単にせよ．
4(1)
0
3 2log 1 1 2 3 1 2log 0 1 2 1
3 3log 1 2 2 3 3log 1 2 3
3 2log 1 1 2log 2 1 2log 1
) 3 log 2 log 2( ) 3 3 log 1 log 2( 2 1 log
6 2log 3 3 log 1 2 2 1 log
2 2
2 2
2 2
2
3 1 3 2
1 2 2
2 2 1 2
23 2
2
=
−
×
− +
−
=
⋅
−
⋅
−
+
−
=
+
−
−
−
=
−
−
4(2)
5
1 5 5 log 5
3 log 5 log 3 log 2 5 log 4 3 log 3
) 3 5 ( log ) 3 5 ( log 2 3 log 3
15 log 75 log 2 3 log 3
5
5 5
5 5
5
2 5 5 5
5 5
5
−
=
×
−
=
−
=
−
−
−
−
=
×
−
×
−
=
−
−
4(3)
3 log
3 log ) 3 1 1 3 2 1 ( 2 log ) 1 1 2 (
3 log 2 log 3 3log 2 1 3log 3
3 3log 2 2 3 1 log 2 2 log 2
) 3 2 log(
) 3 2 3log(
3 1 2log ) 1 3 2 log(
6 log 24 3log 9 1 2log 36 1 log
3 3 2 2
3
=
−
− + +
−
−
=
−
−
−
−
⋅ + +
=
×
−
×
− +
×
=
−
− +
4(4)
1
) 2 (log 3 2 log 3
) 2 (log ) 2 (log 3 2 log 3 1 ) 2 (log
) 2 log 1 ( 2 log 3 ) 2 log 1 ( ) 2 (log
2 log10 2 log 2) (log10 ) 2 (log
) 5 (log ) 8 (log ) 5 (log ) 2 (log
2
3 2
3
3 3
3 3
3 3 3
=
− +
− +
− +
=
−
⋅ +
− +
=
⋅ + +
=
⋅ + +
5 log2=0.3010、log3=0.4771 として次の値を求 めよ。
5(1)
6990 . 0
1 3010 . 0
10 log 2 log
10 log 2 2 . 0 log
−
=
−
=
−
=
=
5(2)
6532 . 0
3010 . 0 4771 . 0 2
2 log 3 log 2
2 log 3 log
2 log9 5 . 4 log
2
=
−
×
=
−
=
−
=
=
5(3)
1.2552
3010 . 0 4771 . 0 2
2 log 3 log 2
) 2 3 log(
18
log 2
=
+
×
=
+
=
×
=
5(4)
6191 . 0
4771 . 3 0 3010 2 . 0
3 3log 2 2 log
3 log 2 log
) 3 2 log(
) 9 8 log(
72 log
3 2 3
3 3 1 2 3
3 1 3
=
× +
= +
=
+
=
×
=
×
=
6 次の式を簡単にせよ。
6(1) 1
log log log log log log log
log
log ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
c a b c a a b c
b b c
a
6(2)
9 6 3
3 log
2 log 3 2 log
3 log 2 3 log
2 log 3 2 log
3 log
2 log 3 log 2 log 3 log
8 log ) 9 log 3 (log
3 3 2 2
3 3 2
3 2 2
= +
=
⋅ +
⋅
=
× +
×
= +
6(3)
3
7 log
2 log 3 3 log
7 log 2 log
3 8 log log 7 log 3
log2 3 7
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
6(4)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
7 log log 1 log 7 log log 1
2 log 2
7 log 2log 2 log 2
2 log 2log 7 log log 2 log
4 log
7 log 2log 4
log 2 log 2log 7 log log 2 log
7 log log 2 2 log log 2 7 log 2 log
7 log
2 log log
2 7 log 2 log
) 2 (log log 2 ) 49 (log log
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 4 2
4 2
2
2 4 2 2
2
7 4 2
2
=
− + +
=
− +
+
=
− +
+
=
− +
=
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
+
7 次の方程式を解け。
7(1)
x2log2x x8
= 両辺に底が2の対数をとる
x x log x8 log2 2log2 = 2
∴ 2log2x⋅log2x =log223−log2x
∴ 2(logx)2+log2x−3=0
∴ (2log2x+3)(log2x−1)=0
∴ 2
log2x =−3 または log2x =1
∴ 4
2 8 2 2 1
3
=
=
= −
x または x =2
7(2) xlogx =100x
両辺の対数をとる log
( )
xlogx =log(
100x)
∴ logx⋅logx =2+logx
∴ (logx)2−logx−2=0
∴ (logx−2)(logx+1)=0
∴ logx =2 または logx =−1
∴ x =102 または x =10−1
7(3) log 2(2−x)+log 2(4−x)=6 0
2−x > and 4−x >0 ∴ x＜2
∴ log 2
{
(2−x)(4−x)}
=log 2( 2)6∴ (2−x)(4−x)=8 ( ∵( 2) 22 23 8)
6
6 = = =
∴ 8−6x+x2=8
∴ x(x−6)=0
∴ x =0 または x =6 条件より x = 0
7(4) log(2x−1)+log(x−9)=2 2x－1>0 and x－9>0 ∴ x > 9
∴ log(2x−1)(x−9)=log102
∴ (2x −1)(x−9)=100
∴ 2x2−19x+9=100
∴ 2x2−19x−91=0
∴ (2x +7)(x−13)=0
∴ 2
−7
=
x または x =13
条件より x = 13
7(5) 0(logx)2−4logx+3=
∴ (logx−3)(logx−1)=0
∴ logx =3 または logx =1
∴ x =103 または x =10
7(6) )log4(2x2+2x−3)=log2(2x−1 0
3 2
2x2+ x − > and 2x−1>0
∴ 0
2 7 1 2
7
2 1 ⎟⎟>
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − − +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛x −− − x and
2
> 1 x
∴ 0.823 2
1 7 − =
>
x
∴ log2
) 1 2 log(
4 log
) 3 2 2
log( x2+ x− = x−
∴ log(2 1) 2
) 3 2 2 log( 2
−
− =
+ x x
x
∴ log(2x2+2x−3)=log(2x−1)2
∴ 2x2+2x−3=4x2−4x+1
∴ 2x2−6x+4=0
∴ (2x−4)(x−1)=0
∴ x =2 または x =1
7(7) 100xlogx =x3 両辺の対数をとる
(
100 log)
log 3log x x = x
∴ log100+logx⋅logx =3logx
∴ 2+(logx)2−3logx =0
∴ (logx−2)(logx−1)=0
∴ logx =2 または logx =1
∴ x =102 または x =10
8 1010
2
1 1⎟ = −
⎠
⎜ ⎞
⎝
×⎛
n
∴ 2−n =10−10 両辺の対数をとる
10 10
log 2
log −n = −
∴ −nlog2=−10
∴ 33.2
3010 . 0
10 2 log
10 = =
−
= −
n
33.2回で10-10m，10-10m以下の大きさになるのは 34回．よって，34回でほぼ原子の大きさになる．
9 Keplarの法則
水星から土星までのデータを地球―太陽間距離を1，及び年で換算 対数グラフで各データポイントの最適直線を引く．
ak
b
T = × より b a k
T log log log = × +
軌道長半径 対恒星公転周期
a Ｔ
天文単位 太陽年
水星 0.3871 0.2409
金星 0.7233 0.6152
地球 1.0000 1.0000
火星 1.5237 1.8809
木星 5.2026 11.862
土星 9.5540 29.458
Keplar の法則
Ｔ = 1.0 a 1.5
軌道長半径 a （天文単位）
対恒星公転周期 T (太陽年）
0.1 10 100
0.1 1.0 10.0
1
直線上の2点(1，1)と(10，31)から 直線の傾きkは
5 . 1 49 . 1 1 0
49 . 1 0 10 log 1 log
31 log 1
log = =
−
= −
−
= − k
地球の(a, p)＝(1，1)より
b log 1 log 5 . 1 1
log = × +
∴ logb = 0
∴ b = 1
∴ T =1.00×a1.50
10 y=beax
データを普通の方眼紙にプロットすると図1のようになる．
このデータを片対数グラフ用紙にプロットしたのが図2である。
図2でデータは直線の上に乗っている。
片対数グラフで直線になるのだから、元のデータは指数関数の形を していなくてはならない。
指数関数 y =beax (1) 両辺の対数をとる。
（対数グラフで描くときは常用対数（底が10の対数）をとる）
データ
x y 1 3.352 2 2.247 3 1.506 4 1.009 5 0.667 6 0.454 7 0.304 8 0.204 9 0.137 10 0.092
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x y
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x y
図 1
図 2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10-2 10-1 100
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10-2 10-1 100
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10-2 10-1 100
( )
x e a b
e ax b
e b
e b y
ax x a
⋅ +
= +
= +
=
=
) log ( log
log log
log log log log
(2)
よって，(1)は片対数グラフ上で，直線となり、その直線の傾きはalogeである。
(2)に2点
(
x1,y1)
，(
x2,y2)
を代入する．1 1 log ( log )
logy = b+ a e ⋅x (3)
2 2 log ( log )
logy = b+ a e ⋅x (4)
(4)－(3)を作る．
(
2 1)
1
2 log log
logy − y =a e⋅ x −x
∴
1 2
1 2 log log
log 1
x x
y y
a e
−
= − (5)
(5)にデータから選んだ2点
(
1, 3.352)
，(
10 , 0.092)
を代入する．
40 . 0 3995 . 0 ) 735 . 1 4343 ( . 0
1
1 10
5353 . 0 log 0362 . 1 4343 . 0
1 1
10
352 . 3 log 092 . 0 log log
1
−
=
−
=
−
×
=
−
−
= −
−
= − a e
(1)に(6)と1点
(
1, 3.352)
を入れると1 40
352 0
3. =b×e−. × (7)
∴ 5.00 5.0 670
. 0
352 . 3 352 . 3
40 .
0 = = =
= −
b e (8)
よって,求めるべき指数関数は e x
y=5.0 −0.40 (9)
11 50100 =y とおく．両辺の対数をとる． （ log50=1.6989700 ） y
log 50
log 100 = ∴ 100log50=logy ∴ logy=100×1.6989700=169.89700
よって， 50100は170桁の数である． （20=2×101は2桁の数， 100=102は3桁の数 ） ちなみに 100.89700 =7.88860905 ゆえに 50100 =7.8886×10169
(6)
∴
12 底の変換はわかりやすい底をとるのがよい．一般的には 10 または e をとる．
常用対数では log1010=1 ，自然対数では logee =1 が使えるほうが計算は楽になる．
(1) 10=2a
両辺の対数をとる． 対数の底＝10（常用対数）
2a
log 10
log = ∴ log10=alog2 ∴ 3.3219 3010
. 0
1 2 log
10
log = =
=
a ∴ 10=23.3219
(2) 10a =2 対数の底＝10（常用対数）
両辺の対数をとる．
2 log 10
log a = ∴ alog10=log2 ∴ 0.3010 1
3010 . 0 10 log
2
log = =
=
a ∴ 100.3010 =2
(3) 10=ea
両辺の対数をとる． 対数の底＝10（常用対数）
ea
log 10
log = ∴ log10=aloge ∴ 2.3026 4343
. 0
1 log
10
log = =
= e
a ∴ 10=e2.3026
両辺の対数をとる． 対数の底＝e（自然対数） ＝＝ 電卓では 「ln」の表示 ＝＝
ea
log 10
log = ∴ log10=aloge ∴ 2.3026 1
3026 . 2 log
10
log = =
= e
a ∴ 10=e2.3026
(4)10a =e
両辺の対数をとる． 対数の底＝10（常用対数）
a loge 10
log = ∴ alog10=loge ∴ 0.4343 1
4343 . 0 10 log
log = =
= e
a ∴ 100.4343 =e
両辺の対数をとる． 対数の底＝e（自然対数） ＝＝ 電卓では 「ln」の表示 ＝＝
a loge 10
log = ∴ alog10=loge ∴ 0.4343 3026
. 2
1 10 log
log = =
= e
a ∴ 100.4343 =e
