4 2 1 3 「数学」解答例

「数学」解答例

解答の概要を示し，計算や証明の詳細は省略する．

1 (1) l : y = 1

t x + 1 − t ² 2 .

(2) l

と

C

の

P

と異なる交点の

x

座標

α

は

α = − (t + ² _t )

である．このとき

S =

∫ _t

α

( 2 − x ²

2 − x

t − 1 + t ² 2

) dx

= 2 3

( t + 1

t ) 3

. t + 1

t ≧ 2

^より

S

^の最小値 は

16

3 (t = 1)

^である

. (3)

^{原点を通るとき}

l : y = 1

√ 2 x

^となる

.

^この とき回転体の体積は

V = 2 {

π

∫ ^√ ₂

0

( 2 − x ²

2 ) 2

dx −

√ 2π 3

} + 8 √

2 3 π − π

∫ _{− 2}

− 2 √ 2

( x ² 2 − 2

) 2

dx

= ( 64

15 + 4 √ 2

) π.

2 (1) x, y

の平均は

x ¯ = ¯ y = ²ⁿ⁺¹ ₂

であるから

s _xy =

1 2n

{ ∑ ^k

i=1

(i − ²ⁿ⁺¹ ₂ )(i + 2n − k − ²ⁿ⁺¹ ₂ ) +

∑ 2n i=k+1

(i − ²ⁿ⁺¹ ₂ )(i − k − ²ⁿ⁺¹ ₂ ) }

= 1

12 (6k ² − 12nk + 4n ² − 1).

(2) s xy = \ 0

^{を示せばよい．もし}

s xy = 0

^であれ ば，

(1)

より

6k ² − 12nk + 4n ² = 1

となり，

左辺は偶数

,

右辺は奇数となって矛盾する．

したがって

s _xy = \ 0

^である

.

(3) x, y

^の分散は

s ² _x = s ² _y = ⁴ⁿ ₁₂

²

^{− 1}

^であり、

(1)

より

r

は

k = n

のとき最小になる。このと き

r _n = − 2n ² + 1

4n ² − 1

^． したがって

lim

n →∞ r _n = − 1 2 .

3 (1) z = a + bi (a, b

は実数）とおくと

− i

2 (z − z) = − i

2 (2bi) = b = Im(z).

(2)

√ 3

6 ( | g 1 | ² −| g 2 | ² ) = − ₂ ⁱ (α β ¯ − αβ) = Im(α ¯ β). ¯ (3) O, A, B

が同一直線上にある

⇐⇒ α/β

^は実数

⇐⇒ α β ¯

は実数（

∵ α/β = α β/ ¯ | β | ² )

⇐⇒ Im(α β) = 0 ¯

⇐⇒ | g 1 | = | g 2 |

^（

∵ (2)) . (4) θ = arg g ₁

g ₂

^とおく．

α = tβ (t

は実数

)

とお けるので

g ₁

g ₂ = t + ω

t + ω ²

^{となる．この分母分} 子は互いに共役であり

arg (ω + t) = θ

2

^であ る

.

このとき

A

^が

OB

^{を内分する}

⇐⇒ 0 < t < 1

⇐⇒ − 1

2 < cos θ 2 < 1

2

⇐⇒ 2

3 π < θ < 4 3 π.

4 (1) (a) F(x) = f(x) − f ( ^k _n ) − f ^′ ( ^{k −} _n ¹ )(x − ^k _n )

とおくと，

F ^′ (x) = f ^′ (x) − f ^′ ( ^{k −} _n ¹ ) ≦ 0

と なり，

F(x)

は単調減少．

F ( ^k _n ) = 0

より，

F (x) ≧ 0

となり不等式

(a)

が成り立つ．

(b)

^も同様

.

(2) (a), (b)

^{の不等式を}

^{k −} _n ¹

^から

^k _n

^{まで積分す} ると

¹ _n f ( _n ^k ) − _2n ¹

2

f ^′ ( ^{k −} _n ¹ ) ≦

∫

^k

n k−1

n

f(x)dx,

∫

^k

n k−1

n

f (x)dx ≦ ¹ _n f ( ^k _n ) − _2n ¹

2

f ^′ ( ^k _n ).

k = 1

^から

n

^{まで和をとり}

n

^倍すると

− 1 2n

∑ n k=1

f ^′ ( ^{k −} _n ¹ ) ≦ na _n ≦ − 1 2n

∑ n k=1

f ^′ ( _n ^k ).

を得る．

n → ∞

^{のとき，両辺はともに}

− 1 2

∫ ₁

0

f ^′ (x)dx = − 1 2 f (1)

に収束する

.

^{はさみうちの原理より}

n lim →∞ na n = − 1

2 f (1).