2.2 指数関数・対数関数

基礎数学 No.8 2006. 6. 5

2.2 指数関数・対数関数

! 対数 "

y=a^xが成り立っているとき，x= log_ayと表し,xはyの対数という．

log_ayのaを底,yを真数という.

0< a <1または1< aでなければならない.y >0でなければならない.

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問題36 次の値を求めなさい.

(1) log₂1024

(2) log₃ 1 81

(3) log₁₀₀₀10

問題37 次のxの値を求めなさい.

(1) log₅x=−1 2

(2)x= log₁₀0.01

(3)1 3= log_x2

定理13 (対数の性質) (底,真数に関する条件を満たしているとする) log_a1 = 0 log_aa= 1

log_a(X×Y) = log_aX+ log_aY log_aX

Y = log_aX−log_aY log_aXⁿ=nlog_aX log_a1

X=−log_aX log_ab= log_cb

log_ca log_ab= 1 log_ba

問題38 次の計算をし,できるだけ簡単にしなさい.

(1) log₂8 + log₂4

(2) log₃√27

(3) log₂24−log₄36

(4) log₂5·log₅2

(5) log₃81−log₃9

(6) log₂8 + log₄8

(7) log₂16⁵

問題39log₂3 =aとして、次をaを用いて表わしなさい。

(1) log₂81

(2) log₂4√ 3

(3) log₂1 3

! 常用対数 "

底が10の対数を特に常用対数と呼ぶ．

Xがn桁の自然数 ⇐⇒ n−1!log₁₀X < n

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問題40 log₁₀2を,およそ0.301, log₁₀3を,およそ0.477として,次の問いに答えなさい.

(1) log₁₀18のおよその値を求めなさい.

(2) log₃2のおよその値を求めなさい.

(3) 2¹⁰⁰の桁数を求めなさい.

(4) 5⁵⁰の桁数を求めなさい.

! 指数関数 "

式y=a^x(a >0, a&= 0)で表される関数を指数関数という.

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y=a^xのグラフ (a >0, a&= 0)．

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問題41 次の図形の概形を描きなさい. またその図形をグラフとする関数を表す式を求めな さい.

(1)y= 3^xで表される関数のグラフを,x軸方向に+3,y軸方向に−1だけ平行移動して得られ る図形

(2)y= (0.5)^xで表される関数のグラフを,x軸に関して線対称移動して得られる図形

(3)y= 2^xで表される関数のグラフを,x軸方向に−2だけ平行移動してから,y軸に関して線 対称移動して得られる図形

! 対数関数 "

式y= log_ax(a >0, a&= 0)で表される関数を対数関数という.

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y= log_axのグラフ(a >0, a&= 0)．

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問題42 次の図形の概形を描きなさい. またその図形をグラフとする関数を表す式を求めな さい.

(1)y= log₄xで表される関数のグラフを,y軸に関して線対称移動して得られる図形

(2)y= log_0.5xで表される関数のグラフを,y軸方向に+2だけ平行移動して得られる図形

(3)y= log1

3xで表される関数のグラフを,原点に関して点対称移動して得られる図形

(4)y= log₁₀xで表される関数のグラフを,y軸に関して線対称移動してから,y軸方向に+1

だけ平行移動して得られる図形

学籍番号 氏名