派 生 証 券 の マ ル チ ン ゲ ー ル ・プ ラ イ シ ン グ

派 生 証 券 の マ ル チ ン ゲ ー ル ・プ ラ イ シ ン グ

MartingalePricingofDerivativesin ContinuousTime

板 垣 有 記 輔

Yukiortagaki

株 式 な ど の 危 険 証 券 を対 象 に し た,そ の 資 産 の 将 来 価 値 が,そ の 対 象 とす る 原 資 産 の 将 来 価 格 の 動 き に 依 存 し て 決 ま る 派 生 証 券 の 価 格 付 け に つ い て,次 の 諸 仮 定(JarrowandTurnbull

[14],p.34)を 置 い て,考 察 す る.

仮 定1市 場 は 完 全 で,取 引 費 用,ビ ッ ド ・ア ス ク ・ス プ レ ッ ド,証 拠 金,空 売 り制 限,税 な ど の 取 引 摩 擦 は な い.

仮 定2市 場 参 加 者 は,取 引 相 手 か ら債 務 不 履 行 を こ う む る な ど の カ ウ ン タ ー ・パ ー テ ィ ・リ ス ク に 遭 遇 す る こ とは な い.

仮 定3市 場 は 競 争 的 で,市 場 参 加 者 は 価 格 受 容 者 と し て行 動 す る.

仮 定4市 場 参 加 者 は,少 な い 富 よ り も 多 い 富 を選 好 す る.

仮 定5価 格 は,リ ス ク な しで 確 実 に 利 益 を 生 む とい う裁 定 取 引 機 会 を 排 除 す る よ うに,迅 速 に 相 互 に 調 整 さ れ る.

派 生 証 券 の 価 格 は,そ の 派 生 証 券 の 将 来 収 益 の,そ の 派 生 証 券 が 対 象 とす る 原 証 券 の 将 来 の 価 格 変 動 を 表 わ す 確 率 の 下 で の 平 均 値 を求 め,そ れ を安 全 証 券 の 利 子 率 で 割 引 い た 現 在 価 値 に 等 し

い と一 見 思 わ れ る が,実 は そ うで は な い.あ る確 率 が 存 在 し て,そ の 下 で安 全 証 券 を ニ ュ メ レ ー ル とす る 原 証 券 の 相 対 価 格(割 引 価 格)の 将 来 値 の 期 待 値 を,そ の 相 対 価 格 の 現 在 値 に 等 し く さ せ る と き,す な わ ち 原 証 券 の 相 対 価 格 に マ ル チ ン ゲ ー ル 性 を も た ら す と き,そ の 確 率 を 同 値 マ ル

チ ン ゲ ー ル 測 度 と い う.

わ れ わ れ は,派 生 証 券 の ペ イ ・オ フ と全 く同 じペ イ ・オ フ を 原 証 券 と安 全 証 券 を適 当 に 組 み 合 せ た ポ ー トフ ォ リオ を構 成 す る こ と に よ っ て 複 製 で き る と い う完 備 市 場 を 想 定 す る.こ の 完 備 市 場 で 無 裁 定 で あ れ ば,派 生 証 券 の 価 格 は,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度 の 下 で 計 算 し た 派 生 証 券 の 将 来 ペ イ ・オ フ の 期 待 値 を,安 全 証 券 の 利 子 率 で割 引 い た 割 引 現 在 価 値 に 等 しい こ と を,複 製 ポー トフ ォ リオ の 構 成 法 を 提 示 しな が ら,証 明 す る.逆 に,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度 の 下 で,原 証 券 と安 全 証 券 の 市 場 で 裁 定 取 引 機 会 が な い こ と も明 ら か に す る.

本 稿 の 組 み 立 て は つ ぎ の とお りで あ る.

1金 融 証 券 の 市 場 価 格 の ダ イ ナ ミ ッ ク ス 2資 金 自 己 調 達 的 ボ ー・トフ ォ リオ

2季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XXX,No.1 3同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度

4無 裁 定 条 件

5複 製 ポー トフ ォ リオ の 構 成 6派 生 証 券 の 無 裁 定 価 格

1金 融 証 券 の 市 場 価 格 の ダ イ ナ ミ ッ ク ス

金 融 市 場 に は,安 全 証 券(銀 行 口 座)B,株 式(危 険 証 券)Sお よ び 株 式 を 原 資 産(対 象 証 券)と す る 満 期 日Tを も つ ヨmッ パ 型 派 生 証 券(デ リバ テ ィ ブ)Dの3種 類 が あ る も の とす

る.

W(t)を 確 率 空 間(9,、F,P)上 で 定 義 さ れ た 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 と し,標 準 フ ィ ル ト レー シ ョ ン 、F‑{F舌:t≧0},Ft=FB>N,0≦t≦T

FW=6(WS:0≦S≦t):時 点tで 利 用 可 能 な 情 報

N={C⊂9:ヨA,s.t.P(A)=0,C⊂A∈FT}1確 率 が ゼ ロ で あ る事 象 の 部 分 集 合 の 集 合 とす る.

安 全 証 券Bの 時 点tの 資 産 価 値B(t)の ダ イ ナ ミ ッ ク ス は,時 点'の 瞬 間 利 子 率 をr(の とす れ ば,微 分 方 程 式

dB(t)=r(t)B(t)dt B(0)=1

で 与 え られ る とす れ ば,そ の 解B(t)は,

B(t)‑exp(∬ γ(・)d・)

で あ る.

株 式Sの 時 点tの 株 価S(t)の ダ イ ナ ミ ッ ク ス は,確 率 微 分 方 程 式 dS(t)‑s(t)(μ(ち ω)dt+σ(ち ω)dW(t))

s(o>=so

で 与 え ら れ る と す れ ば,そ の 解S(t}は, s(')=Soexp〔 ∬(μ(z,w)126.2(圃)dr+f

O6(z,w)dW(・)〕

で あ る.こ こ で,

s(t+h)s(t)+∬+hu(ち ω)s(ft+hZ}dr+J・6'

t(ち ω)s(τ)dW(・)

で あ るか ち,P〜 確 率 測 度 の も と で の 条 件 付 期 待 値 を と る と

EP〔S(翻1昨s(t)+r〔 ∫ オ ㌦(r,w)S(τ)d・1司

t+h +Ep」6

t(る ω)s(・)dB(z)1司

伊 藤 確 率 積 分 の 性 質 よ り右 辺 の 第3項 は ゼ ロ で あ る こ と と フ ビ ニ の 定 理 か ら,

一s(t)+∬+aEP〔 μ(る ω)s(・)陶4・

よ っ て,

1hohEP〔S(t+h)‑S(綱 一 μ(ち ω)S(t).

よ っ て,

μ(る ω)‑sl謡E・ 〔s陥 〕.

つ ま り ド リ フ ト係 数 μ α,ω)は,時 点tに お い てSに 投 資 し た1円 当 り の 瞬 間 的 期 待 収 益 率 と 解 釈 で き る.ま た,

1hahV・ 〔s(t+h)‑s(t)1ハ 〕‑lhohE・ 〔(S(t+h)‑S(t)‑E・ 〔s(翻 一sω 陶)・ 協 〕

一1ho

hE・ 〔ズ+h(σ(Z,Cv)S(τ)翻 τ))・1司 伊 藤 確 率 積 分 の 等 長 性 に よ り

一tihoh

t+hE・ 〔 σ・(る ω)s・(τ)彫 ・

‑EP〔 σ2(ち ω)SZ(の 協 〕

=σ2(ち ω)S2(') よ っ て

62(ち ω)̲̲1dPS2(t)dtV〔S(t)Ft〕 ・

σ(ち ω)‑1S(t)dVPdt〔s(t)1瑚.

つ ま り 拡 散 係 数 σ(t,ω)は,時 点tに お い てsに 投 資 し た1円 当 り の 収 益 率 の 瞬 間 的 標 準 偏 差 あ る と解 釈 で き る.σ(t,ω)の こ と を ボ ラ テ ィ リ テ ィ と も い う.

2資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ

時 点 ≠∈ 〔0,T〕 に お い て,安 全 証 券Bをb(t)単 位,株 式Sをx(t)単 位 そ れ ぞ れ 保 有 す る と き の ポ ー ト フ ォ リ オ(b(t),」 じ(の)の 価 値 額V(t)は,

V(t)=B(t)b(t)十S(t)x(t)' で あ る.

ポ ー ト フ ォ リ オ(b(t),x(t))が,各'∈ 〔0,T〕 に お い て V(≠)‑V(・)+∬ ろ(τ)捌 τ)+∬x(τ)dS(・)

あ る い は

dV(t)=b(t)dB(z)+x(z}dS{t)

を 満 た す と き,す な わ ち ポ ー トフ ォ リ オ の 価 値 額 が 任 意 の 時 点t∈ 〔0,T〕 で,初 期 時 点0の ポ

4季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXX,No.1

一 ト フ ォ リ オ の 価 値 額 と 期 間 〔0 ,'〕 の 間 の 各 証 券 の キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン ま た は キ ャ ピ タ ル ・ ロ ス の 累 計 額 と の 和 に 等 し い と き,こ の ポ ー トフ ォ リ オ(b(t),x(t)(t∈ 〔0,T〕)を 資 金 自 己 調 達 的 ポ ー トフ ォ リ オ と い う.ま た 資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ ト を 取 引 期 間 〔0,T〕 に わ た っ て 構 成 す る こ と を 資 金 自 己 調 達 的 取 引 戦 略 と い う.

い ま,任 意 の 期 間 〔0,'〕(t∈ 〔0,T〕)中 の 任 意 の 離 散 取 引 時 刻 をto,t、,…,ち,t;.、,…,'N(0‑

to<tl〈 …<t;<ち+1<…<tN=t)と す る.時 刻t;に お い て,そ の と き 成 立 す る 価 格 体 系(B(ち), S(ち))の 下 で ポ ー ト フ ォ リ オ(b(t;),娯 あ))を 保 有 し,次 の 時 刻Lj.1に お い て,そ の と き 成 立 す

る 新 価 格 体 系(B(ち+、),S(ち+1))の 下 で 新 ポ ー ト フ ォ リ オ(b(ち+、),x(t;+、))に 組 み 替 え る が, そ の 際,新 旧 ポ ー ト フ ォ リ オ の 間 に,次 の 関 係 式

B(ち+1)∂(ち)十s(ち+1)x(ち)=B(t;+1)ろ(ち+1)十S(ち+1)x(ち+1) あ る い は

B(ち ・+i)(b(t;+1)b(ち))=‑S(t;+1)(x(ち+1)‑x(ち))

が 成 立 す る よ う に,す な わ ち 新 価 格 体 系 で 評 価 し た 新 旧 ポ ー ト フ ォ リ オ の 価 値 が 不 変 と な る よ う に,あ る い は,一 方 の 資 産 の 売 却 額 と 他 方 の 資 産 の 購 入 額 が 丁 度 等 し く な る よ う に し,ポ ー ト フ ォ リ オ の 外 部 か ら 資 金 が 流 入 し た り,外 部 へ 資 金 が 流 出 す る こ と が 少 し も な い よ う に,旧 ポ ー ト フ ォ リ オ か ら 新 ポ ー ト フ ォ リ オ に 組 み 替 え を 行 う.

こ の 方 式 に 従 っ て 新 旧 ポ ー ト フ ォ リ オ が 各 離 散 時 刻 で 行 わ れ る と す れ ば,任 意 の ち(ノ=1,…, N)に お い て,

b(t;‑1)〔B(t,‑1)十B(ち)‑B(ち 一1)十x(ち 一1)〔S(ち一1)十s(あ)‑S(t;‑1)〕

=ろ(ち)B(ち)十x(ち)S(あ) が 成 立 す る の で,

b(tN)B('N)十x(伽)s(tN)=b('N‑1)B(tN‑1)十x(tN̲1)s(tN‑1)十b(伽 一1)〔B(tN)i(tN‑1)〕

十 必(あ〉̲1)〔S('N)‑s(tN‑1)〕

=∂(tN ‑2)B(伽 一2)+x(tN‑2)s(tN‑一 一2)+Σ ろ(ち一、)〔B(ち)‑jB(ち 一、)〕

j=N‑1

+Σx(ちL1)〔S(ち)‑S(ち 一、)〕

'=1V‑1

NN

‑b(to)B(あ)+x(あ)S(あ)+b(ち 一、)〔B(ち)一 .8(ち 一1)〕+Σ 詔(ち 一、)〔s(*j)‑S(ち 一、)〕.

ゴ=1j=1

こ こ で,Max(ti一 あ,…,ち 一t,‑1,…,'N‑tN‑1)→0 と す れ ば,

任 意 の'∈ 〔0,T〕 に 対 し て,

B(t)b(t)+S(t)x(t)‑B(・)ろ(・)+s(・)x(・)+∫7∂(τ)dB(τ)+f

Ox(τ)dS(τ)

す なわち

V(t)=V(0)+」

otb(r)dB{r)+」otx(r)dS(r) を 得 る.

他 方,伊 藤 の 公 式 よ り

dV(t}=d(B(t)b(t)十S(t)x(t))=b(t)dB(t)十x(t)dS(t)十B(t)db(t) 十S(t)dx(t)十dB{t)db(t)十dS(t)dx(t)

で あ る か ら,

B(t)db(t)十S(t)dx(t)十dB(t)db(t)十dS(t)dx(t)=0 が 成 立 す る.

以 上 よ り,

資 金 自 己 調 達 的 取 引 戦 略(b(t},x(t))(t∈ 〔0,T〕)

⇔ ∀t∈ 〔0,T〕,V(t>‑V(・)+T

Ob(・)dB(t)+TOx(t)ds(t)

〈=⇒ ∀t∈ 〔0,T〕,dV(t)=b(t)dB(t)十x(t)dS(t)

ぐ=⇒ ∀t∈ 〔0,z「〕,B(t)db(t)十s(t)dx(t)十dB(t)db(t)十dS(t)dx(t)=0

← ⇒ 取 引 戦 略 開 始 時 点0でB(0)b(0)+S(p}x(0)の コ ス ト(初 期 投 資 費 用)を か け て ポ ー ト フ ォ リ オ(b(0),頭0))を 開 設 し,そ れ 以 降 の 取 引 期 間 の 途 中(0,T)に お い て は,外 部 か ら の 資 金(配 当)の 流 入 も 外 部 へ の 資 金(配 当)の 流 出 て も 無 い よ う に,連 続 的 に ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 み 替 え,取 引 終 了 時 点Tで ポ ー ト フ ォ リ オ(ろ(T),x(T))を 清 算 し 現 金 化 し て,ネ ッ ト ・

キ ャ ッ シ ュ ・フ ロ ー を 受 け 取 る.

3同 値 マル チ ンゲ ー ル測度

単 位 リス ク 当 た りの 超 過 収 益 を株 式Sの リス クの 市 場 価 格 λα,ω)と す れ ば,

λ(ち ω)一 μ(t,cv)‐r6(t ,cv)(t)

は,1つ の 確 率 過 程 で あ る.こ の リ ス ク の 市 場 価 格 λα,ω)は,確 率 測 度Pの 下 で,ノ ビ コ フ の 条 件(次 に 定 義 す るZ(t)が マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る た め の 十 分 条 件 で あ る(渡 辺[23],命 題 4.3,P.110参 照))

r〔exp音 ∫ 能(ち ω)dt〕<・ ・ を満 た す も の とす る.こ の と き,確 率 過 程

Z(t)‑exp(一 か(る ω脚(・)‑121t]2(る ω)dr>t∈ 岡 は,マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.実 際,伊 藤 の 公 式 よ り,

dZ(t)一 一 λ(ち ω)Z(t)dW(z),'∈ 〔0,T〕

z(a)=1

で あ る か ら

6 季刊 創 価 経 済 論 集

Vol.XXX,No.1 Z(t)‑Z(・)一 ∬ 焔 ω)Z(τ)dW(r)

で,

E・ 〔Z(t)〕=Z(・)‑E・ 〔∬ λ(ち ω)z(τ)dW(r)〕

=Z(0) 1 と な る か ら.

Z(T)>0で あ る か ら,FT上 にPと 同 値 な 新 し い 確 率 測 度Qを,QのPに 関 す る ラ ド ン ・ ニ コ デ ィ ム 微 分 係 数

dQ =Z{T)dP FT

に よ っ て 定 義 す る こ と が で き る.実 際, 任 意 の 事 象A∈FTに 対 し て

Q(A)=JAZ(T)dP=EP(IA(cv}Z(T))?0

こ こ に,

h(ω)一{談 麟 .

Q(9)一 ゐz(T)dP=E・ 〔1・(ω)Z(T)〕

=EP〔z(T)〕

=EP(Z(t))

=1

で あ る か ら,Qは 確 か に1つ の 確 率 測 度 で あ る.

ギ ル サ ノ ブ の 定 理(KaratzasandShreve[16],5.1.Theorem(Girsanov[8],Cameron andMartin[2])p.191)に よ っ て,確 率 過 程

W(t)°w(t)+∬ λ(ち ω肱t∈ 〔0,T)

は,Pと 同 値 な 確 率 測 度Qの 下 で,標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 で あ る.さ ら に,確 率 微 分 方 程 式 は, dS(t)=μ(ち ω)S(t>dt+σ(ち ω)s(t)dW(t)

=Y(t)s(t)dt‑r(t)S(t)dt+μ(ち ω)s(t)dt+σ(ち ω)s(t}dW(t) 一r(州 酬 σ(ち ω)s(t)〔dW(t)+μ(t,cv}‐r

6(t,w)(t)dt/

と 変 形 で き る の で,こ の 確 率 微 分 方 程 式 は,、Pと 同 値 な 確 率 測 度Qの 下 で 新 し い 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動W(t)を 用 い て

dS(t)‐r(t)S(t)dt+6(t,w)S(t)dW(t)

と 書 き 直 す こ と が で き る(渡 辺[23],pp.113‑114).

命 題1Pと 同 値 な 確 率 測 度Qの 下 で,安 全 証 券Bを ニ ュ メ レ ー ル と す る 株 式Sの 相 対 価 格(割 引 価 格)

sfit)°‑sit)B‑・tt),t∈ 〔o,T) は,マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.

証 明 伊 藤 の 公 式 を 適 用 す る と ds(t}=σ(ち ω)s(t)dW(t) で あ る か ら,

S(t)=S(s)+」t6(r,w)S(r}dW(r)(0<s<t<T).

S よ っ て

EQ〔s(t)1凡 〕‑s(S)+Ee〔!

s6(る ω)S(・)dW(z)1凡 〕‑s(S)(・ ≦S≦t≦T).

よ っ て,、Pと 同 値 な 確 率 測 度Qの 下 で,安 全 証 券 を ニ ュ メ レ ー ル と す る 株 式 の 相 対 価 格s(t)

は,マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.証 了

こ の よ う に,そ の 確 率 測 度 の 下 で 安 全 証 券 を ニ ュ メ レ ー ル と す る 株 式 の 相 対 価 格s(t)は マ ル チ ン ゲ ー ル と な る の で,、Pと 同 値 な こ の 確 率 測 度Qを 同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度 と 呼 ぶ.

s(τ)s(τ)B‑1(τ)で あ る か ら,

E9〔S(t)B‑1(t)FS〕‑S(S)B‑1(S),0≦S≦ オ≦T あ る い は,

Ee〔s(t)1凡 〕‑exp(f

Sr(・)小(S),・ ≦S≦t≦T

が 成 立 す る が,こ れ は,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で,S時 点 現 在 で 株 式 を1株 買 う代 わ りに こ の 資 金 を安 全 証 券 で 運 用 した と き 将 来 時 点tで 受 け 取 る こ と の で き る 元 利 合 計 と 時 点S で 株 式 を1株 買 っ て 時 点 は で 保 有 し た と きの 将 来 株 価 の 条 件 付 期 待 値 が 等 し く な る こ と を 示 し て い る.つ ま り,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で は,リ ス ク の 異 な る 二 つ の 証 券,安 全 証 券 と危 険 証 券 と の そ れ ぞ れ 将 来 の 運 用 益 の 条 件 付 期 待 値 が 等 し くな る の で,投 資 家 は,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度 の 下 で あ た か も リス ク 中 立 的 で あ る(リ ス ク の 違 い に は 全 く無 頓 着 で あ り専 ら将 来 収 益 の 条 件 付 期 待 値 の 大 き さ の み に 関 心 を払 う)か の よ う に 振 舞 う と解 釈 で き る.こ の 意 味 で,

同値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qを,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度 と も 呼 ぶ.

な お,

lkohEQ{S(s+h)‐S(s)岡 一 幡{(exp(∬+hY(τ)dr)一 ・)s(S)}・ ≦S≦T であ るか ら

11 〔E4〔s(S)IF。〕〕=r(S)(0≦S≦T)S(s)ds

が 成 立 す る.す な わ ち,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの 下 で,任 意 の 時 点3現 在 に お け る 株 式 へ 投 資 し た1円 当 りの 瞬 問 的 条 件 付 期 待 収 益 率 は,安 全 証 券 の 瞬 間 的 利 子 率 に 等 し くな る.こ の こ と

8季 刊 創 価 経 済 論 集 は,確 率 測 度Qを リス ク 中 立 的 確 率 測 度 と呼 ぶ ゆ え ん で あ る.

4無 裁 定 条 件

Vol.XXX,No.1

起 こ り う る 経 済 的 損 失 を 蒙 る 可 能 性 が 全 く な く,確 実 に 収 益 を あ げ る 取 引 機 会 が あ れ ば,こ れ を 裁 定 取 引 機 会 と い う.裁 定 取 引 機 会 が 存 在 す る 限 り,現 行 の 取 引 量 よ り も 一 層 大 き い 取 引 量 を 所 望 し,裁 定 利 益 に あ ず か ろ う とす る で あ ろ う.だ が,裁 定 利 益 を 求 め て 人 々 が 一 斉 に 裁 定 取 引

に 参 加 す れ ば,や が て 各 市 場 の 諸 価 格 は 調 整 さ れ,裁 定 取 引 機 会 は 消 滅 す る で あ ろ う.

裁 定 取 引 機 会 が 消 え て 無 く な っ た と き に 成 立 す る 資 産 の 価 格 を 無 裁 定 価 格 と い う.

資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ(b(t),x{t))(t∈ 〔0,T〕)が 裁 定 取 引 で あ る と は, V(0)=B(0}b{0)十S(0)x{0)GO,V(T)=B(T)b(T)‑1‑S(T)x(T}̲>0

あ る い は,

V(0)=B(0)b(0)十s(0)∬(0)≦0,V(T)=B(T)ろ(T)十S(T)x(T)>0 が 成 立 す る こ と と 定 義 し よ う(Duffle[4],p.102).

こ の と き,次 の 命 題 が 成 立 す る.

命 題2マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で,資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ(b(t),x(t))(t∈

〔0,T〕)は,無 裁 定 で あ る.

証 明 ポ ー トフ ォ リ オ((∂(t),x(t))(t∈ 〔0,T〕)が 資 金 自 己 調 達 的 で あ る と す る.Qの 下 で, dV(t)=b(t}dB(t)十x(t)dS(t)

=b(t}r(t}B(t)dt+x(t}(r(t)S(t}dt+6{t ,cv)S(t}dW(t))

=r(t)(B{t)b(t>+s(t)x(t)>dt+6(t ,w)s(t}x(t)dW(t>

=Y(t)V(t)dt+σ(ち ω)S(t)x(t)dW(t) で あ る か ら,

d(V(t)B‑1(t))=dV(t)B‑1(t)‑r(t)V(t)B‑1(t)dt

‑r(t)V(t)B‑1(t>dt+6(t ,ω)s(t)B‑1(t)x(t)dW(')

‑r(t)V(t)B‑1(t)dt

‑6(ち ω)S(t)B‑1(t)x(t)dW(t) . よ っ て,

V(T)B‑1(T)‑V(・)B‑1(・)+T

O6(Z,C())s(τ)B‑1(・)x(・)dW(z).

よ っ て,Qの 下 でV(t}B‑1(t)の マ ル チ ン ゲ ー ル 性

O6(ち ω)S(・)B‑1(・)x(・dW(・)〕

が 成 立 す る.

よ っ て,

=V(0)B‑1(0) ,

,

V(T)≧0⇒V(T)B‑1(T)≧0⇒V(0)B  1(0)≧0⇒V(0)≧0.

か つ

V(T)>0⇒V(T)B‑1(T)>0⇒V(0)B‑1(0)>0⇒V(0)>0⇒V(0)≧0.

よ っ て

「(V(0)〈0,V(T)≧0) か つ

「(V(0)≦0,V(T)>0)

で あ る.よ っ て,マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で,資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ((ろ(t),

x(t))(t∈ 〔0,T〕)は,無 裁 定 で あ る.証 了

5複 製 ポ ー トフ ォ リ オ の 構 成

株 式 を対 象(原 資 産)と す る満 期 日Tを もつ ヨー ロ ッパ 型 派 生 証 券Pの 時 点t∈ 〔0,T〕 の 価 格 をD(t)と す る.こ の ヨー ロ ッ パ 型 派 生 証 券 を時 点0に 保 有 し た とす る と,そ れ 以 降 の 途 中 期 間(0,T)中 は,無 配 当 で,満 期 日Tに お い て の み,成 約 時 に 取 り決 め た 方 式 に従 っ て,時 点 Tの 株 価S(T)に 依 存 し て そ の 大 き さ が 定 ま る 配 当 支 払(ペ イ オ フ)H(S(T))を 得 る.し た が っ て,リ ス ク な し に確 実 に 利 益 を得 る 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と い う無 裁 定 条 件 の 下 で は,

D(T)=H(S{T))

が 成 立 す る.実 際,仮 りにD(T)>H(s(T))な ら,満 期 日Tに こ の ヨー ロ ッパ 型 派 生 証 券D の 配 当 支 払 いH(S(T))を 受 け 取 る よ り も,こ の 派 生 証 券 をD(T)で 市 場 で 売 却 す る こ と で リ ス ク な しに 確 実 にD(T)‑H(S(T))だ け 余 計 に 利 益 を得 る こ とが で き 無 裁 定 条 件 に 反 す る.ま た,仮 りにD(T)<H(s(T))な ら,満 期 日Tに,こ の 派 生 証 券 をD(T)支 払 っ て 市 場 か ら購 入 し,直 ち に そ の 配 当 支 払H(ε(T))を 受 け 取 る こ と に よ り,リ ス ク な し に 確 実 にH(S(T)) m(T)だ け 利 益 を得 る こ とが で き,無 裁 定 条 件 に 矛 盾 す るか ら で あ る.

株 式 を対 象(原 資 産)と す る満 期 日Tを もつ ヨー ロ ッパ 型 派 生 証 券Dの 配 当 支 払 い の パ タ ー ン と全 取 引 期 間 〔0,勿 を通 して 全 く同 じ 配 当 支 払 い パ タ ー ン を 持 つ ポ ー トフ ォ リ オ を,安 全 証 券 と株 式 とに よ っ て 構 築 で き る で あ ろ うか.

一 般 に,市 場 の どの 証 券 の 配 当 パ タ ー ン で も,こ れ と全 取 引 期 間 を 通 じて 同 一 の 配 当 パ ター ン を,市 場 の 他 の 諸 証 券 を適 当 に 組 み 合 せ た ポ ー トフ ォ リオ に よ っ て 複 製 で き る な ら,市 場 は 完 備 で あ る とい い,そ の ポ ー トフ ォ リオ を そ の 証 券 の 複 製 ポ ー トフ ォ リ オ とい う.

市 場 は 完 備 で あ り,満 期 日前 に は 配 当 支 払 い は 無 く満 期 日Tに お い て の みH(s(T})の 配 当 支 払 い を約 束 す る,株 式 を対 象 とす る ヨー ロ ッパ 型 派 生 証 券Dを,安 全 証 券Bと 株 式sと を 適 当 に 組 み 合 せ た ポ ー トフ ォ リオ を構 成 して 複 製 で き た とす る.こ の と き,こ の 派 生 証 券 に 対 す る 複 製 ポ ー トフ ォ リオ は,取 引 終 了 日Tの 前 の 途 中 の 期 間(0,T)中 は い か な る配 当 も な い 資 金 自 己 調 達 的 ポ ー トフ ォ リオ で な け れ ば な ら な い こ と は 言 う ま で も な か ろ う.

そ こ で,資 金 自 己 調 達 的 ポ ー トフ ォ リ オ(b(t>,x(t)),t∈ 〔0,T〕 が,株 式sを 対 象 と す る

Io季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XXX,No.1 満 期 日 丁 を も つ ヨ ー ロ ッ パ 型 派 生 証 券Dに 対 す る 複 製 ポ ー トフ ォ リ オ で あ る と は,満 期 日 丁 に お い て,

V(T)‑H(S(T))

が 成 り立 っ こ と,す な わ ち,満 期 日Tに お い て,

が 成 り立 つ こ と と 定 義 し よ う.

命 題3資 金 自 己 調 達 的 な ポ ー ト フ ォ リ オ でD(T)=V(T)が 成 立 す る も の が 存 在 す れ ば, 無 裁 定 の 条 件 の 下 で,任 意 のt∈ 〔0,T〕 に 対 し て,派 生 証 券 の 価 格D(t)と こ の 派 生 証 券 の 複 製 ポ ー トフ ォ リ オ の 価 値V(t)と は 等 し い.

証 明 い ま あ る 時 点 あ∈ 〔0,T〕 でD(t)≠V(t)で,D(to)〈V(to)あ る い はD(to)>V(あ)で あ っ た とす る.

D(あ)〈V(to)=B(t。)b(to)+s(あ)x(あ)で あ る と し よ う.時 点toで 派 生 証 券 を1単 位 買 い,安 全 証 券 をb(to)単 位 売 り(資 金 をs(to)b(あ)円 借 り 入 れ),株 式 をx(to)単 位 空 売 り,そ れ 以 降

(0,T)に お い て は,資 金 自 己 調 達 的 ル ー ル で ポ ー ト フ ォ リ オ を 連 続 的 に 組 み 替 え て い け ば,こ の 間 配 当 の 流 出 入 は 全 く な い.時 点Tで ポ ジ シ ョ ン を 全 て 清 算 し,D(T)‑V(T)=0を 得 る.

こ の よ う な 戦 略 を 取 る と 時 点toで リ ス ク な し に 確 実 に プ ラ ス の 収 益V(あ)‑D(to)を 得,し か も そ の 後 一 切 損 得 な し と い う 裁 定 取 引 が 存 在 す る こ と に な り,無 裁 定 条 件 に 矛 盾 す る.

D(to)>V(あ)=B(あ)ろ(to)+s(to)x(to)で あ る と す れ ば,時 点 あ で 派 生 証 券 を1単 位 空 売 り し, 安 全 証 券 をb(あ)単 位 買 い(資 金 をB(to)ろ(to)貸 付 け),株 式 をx(to)単 位 買 え ば,時 点toで リ ス ク な し に 確 実 に プ ラ ス の 収 益D(to)‑V(to)を 得,し か も そ の 後 は 一 切 の 損 得 な し と い う 裁 定 取 引 機 会 が あ る こ と に な り,裁 定 取 引 が 存 在 し な い と い う 条 件 に 矛 盾 す る.証 了

こ の 命 題 は,無 裁 定 条 件 の 下 で,派 生 証 券 の 各 時 点'∈ 〔0,T〕 の 価 格D(t)を ど の よ う に 決 め る べ き か を 示 し て い る.時 点tに お い て は,安 全 証 券Bの 時 点tの 価 格B(t>と 株 式sの 時 点 tの 株 価S(t)は,既 知 で あ る か ら,時 点tの 複 製 ポ ー トフ ォ リオ(ろ(t),x(t))の 構 成 法(次 節 に お い て 示 す)さ え 分 か れ ば,

D(t)=B(t)b(t)+s(t)x(')t∈ 〔0,T〕

と し て,派 生 証 券Dの 価 格 付 け(プ ラ イ シ ン グ)を 行 え ば よ い.

6派 生証券の無裁定価格

市 場 が 完 備 の と き,無 裁 定 条 件 の 下 で,派 生 証 券 の ペ イ オ フ を複 製 す る資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リオ を構 成 で き,任 意 の 時 点t∈ 〔0,T〕 に お い て,こ の 複 製 ポ ー トフ ォ リオ の 価 値V(t)と 派 生 証 券 の 価 格D(t)は 等 し い(命 題3).

い ま,D(t)し た が っ て ま たV(t)が,株 式 の 株 価s(t)と 時 点tに 依 存 し,任 意t∈ 〔0,T〕

に お い て,

V(t)=V(S(t),t)

は,(0,・ 。)× 〔0,T)の 上 で2回 連 続 微 分 可 能 と 仮 定 す る.伊 藤 の 公 式 を 適 用 し て,

‑VS(S(t),t)(μ(ち ω)s(t)dt+σ(ち ω)S(t}dW(t))+Vt(s(t),t)漉

+2VSS(S(t),t)σ ・(ち ω)s2(t)dt

‑(μ(ち ω)S(t}VS(S(t) ,t)+Vt(S(t),t)+126・(ち ω)s・(t)VSS(s(t),t))dt

+σ(ち ω)s(t)VS(s(t},t)dW(t).

他 方,ポ ー ト フ ォ リ オ(ろ(t),x(t))は 資 金 自 己 調 達 的 な 複 製 ポ ー ト フ ォ リ オ で あ る か ら, dV(t)=b(t)dB(t)十x(t)dS(t).

‑b(')r(t>B(t)dt+x(t)(μ(ち ω)S(t)dt+σ(ち ω)s(t)dW(t))

=(ろ(t)r(t}B(t)+x(t)μ(ち ω)s(t))漉+灘 ω σ(ち ω)、∫(t)dW(t) .

よ っ て,伊 藤 過 程 の 分 解 の 一 意 性 よ り

σ(ち ω)S(t}VS(s(t),t)=x(の σ(ち ω)s(t),

μ(ち ω)S(t)VS(S(t),t)+Vt(S(t},t)+16z2(ち ω)Sz(t)VSS(s(t),')

‑b(t)Y(t)B(の 勃(t>μ(t ,ω)S(t).

よ っ て,複 製 ポ ー ト フ ォ リ オ を 構 成 す る た め に 用 い る 株 式 数(ヘ ッ ジ 比)を, x(t)=VS(S('),t}:,

と す れ ば,

V(s(≠),渉)=bCt)B(')十Vs(S('),の ∫(')

よ り,複 製 ボ ー一 ト フ ォ リ オ を 構 成 す る た め に 用 い る 安 全 証 券 の 枚 数 は

b(t)‑1B(t)〔V(S(t)・t)‐Vs(S(t),t)sCt)〕

と な る.し た が っ て,

μ(ち ω)S(t)VS(s(t),t)+Vt(S(t),t)+162・(ち ω)s・(')VSS(S(t),t)

‑r(t>v(S(t) ,t)‑r(t)VS(s(t),t)S(t)+VS(s(t),t)μ(ち ω)s(t).

す な わ ち,V(S(t),t)は,放 物 型 の 偏 微 分 方 程 式

Vt(s(t},')+r(t}s(t)VS{S(t),t)+26・(ち ω)s・{t)Vss(s(t),t)

=r(t)V(S(t),t) を 満 た す.

こ の と き,次 の 命 題 が 成 立 す る.

命 題4放 物 型 偏 微 分 方 程 式

エ2季 刊 創 価 経 済 論 集

玩(s(t),t)+r(t)S{t)VS(s(t>,t)+62(ち ω)SZ(t)VSS(S(t),t)

=r(t)V(S(t) ,t}, と そ の 境 界 条 件

V(S(T),T)=H(S(T))

を 満 た す 解V(s(t),t)が 存 在 す れ ば,そ の 解 は,確 率 的 表 現(確 率 解)

Vol.XXX,No.1

V(S('),t)‑E・ 〔exp(‑1

.Y(・)d・)H(S(T))〕 ・

に よ っ て 与 え ら れ る.こ こ に,S(t)は,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で の 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 W(t)を 用 い て 表 わ さ れ る 擬 似 株 価 過 程

dS(t)‑r(のs('励+σ(',ω)S(t)dW(t),

s(t)‑st:時 点tに お い て は 既 知 の 値, を 満 た す.

証 明

Y(τ)全exp(一 ∫ τγ(S)ds)V(z,S(・))

に,伊 藤の公式 を適用 す ると

dY(z)=‑r(τ)exp(一 ∫ τγ(S)ds)V(r,S(τ)脚exp(‑/=

tY(S)ds)(Vz(z,S(・})dr +賄s(τ))dS(τ)+訴 い(τ))(dS(τ))り

一exp(一!zr(s)ds)〔 一 γ(・)γい(・))+臨S(・))+賄S(τ))γ(・)S(・)

+壱 駄s(・))σ ・(ち ω)s2(・)〕 ゴ・

+exp(一/'T

tr(S)ds)Vs(z,s(・))σ(ち ω)s(τ)dW(z) V(S(τ),τ)は 上 記 の 偏 微 分 方 程 式 を 満 た す か ら

一exp(一 ∫ τγ(S)ds)VS(z ,S(・))σ(乙 ω)s(・)dW(z).

よって

Y(T)一 γ(')+∬ の Φ(‑/z

tY(S)ds)VS(z,S(・))σ(ち ω)s(・)dW(τ).

よ っ て,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で 擬 似 株 価 過 程 が 時 点t現 在 の初 期 条 件 s(t)=st:時 点t現 在 に お い て 既 知

を 満 た す と い う 条 件 付 の 期 待 値 を両 辺 に とれ ば,

酬m陶 一y(t)+E・ 〔r」expt←/tY(S)ds)VS(r,S(τ))σ(ち ω)S(・)副 司

=Y(t)

よ っ て

V(stt),t)‑EQ〔exp(一 ズ7(∫ ゆ(S(T),T)1司

境 界 条 件V(S(T),T)=H(s(T))よ り

一E・ 〔exp(一 ∫T7(S)ds)∬(S(T))朗

証 了 こ の 命 題 は,市 場 が 完 備 で,無 裁 定 な ら,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で,安 全 証 券 を ニ ュ メ レ ー ル と す る 株 式 派 生 証 券 の 相 対 価 格 過 程D(t>‑D(t)B‑1(t)は,マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る

こ と,す な わ ち

D(t)B‑1(の=E9〔 、D(T)B‑1(T)1瓦 〕

が 成 り立 つ こ と を,示 し て い る.よ っ て こ の 命 題 と先 の 命 題1を 統 合 し て,次 の 命 題 を 得 る.

命 題5市 場 が 完 備 で 無 裁 定 機 会 が 無 い な ら ば,安 全 証 券 を ニ ュ メ レ ー ル と す る 株 式 と株 式 派 生 証 券 の そ れ ぞ れ の 相 対 価 格s(t)B一1(t),D(t)B‑1(t)は,同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度Qの 下 で, マ ル チ ン ゲ ー ル と な り,

s(t)B  1(')=Eρ 〔s(τ)、B‑1(τ)1瑚,0≦t≦ τ≦T D(t}B‑1(の=E9〔 丑(s(T))B‑1(T)Ft〕,0≦t≦T

が 成 り立 つ.

最 後 に,こ の 命 題5を 適 用 し て,各 種 の ヨmッ パ 型 派 生 証 券 の 現 在 価 格 を 求 め て お く.権 利 行 使 価 格Kを も つ ヨ ー ロ ッ パ 型 株 式 コ ー ル オ プ シ ョ ン の 満 期 日Tの ペ イ ・オ フH(S(T))は,

H(S(T))=Max(S(T)‐K,0)

で あ る か ら,こ の オ プ シ ョ ン の 時 点tの 価 格C(t)は, C(T)=B(のEρ 〔B‑1(T)Max〔S(T)‑K,0〕1瑚

一E・ 〔exp(‑T

tY(・)d・)Max(S(T)‑K,・)1司

で あ る.ま た 権 利 行 使 価 格Kを も つ ヨ ー ロ ッ パ 型 株 式 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 満 期 日Tの ペ イ ・ オ フH(s(T))は,

H(s(T))=Max〔K‑S(T),0〕

で あ る か ら,こ の オ プ シ ョ ン の 時 点tの 価 格P(t)は, P(t)=B(t)EQ(B‑1(T)Max(K‐S(T),0)Ft)

一E・ 〔exp(‑!T

tY(・)d・)Max(K‑S(T),・ 周

で あ る.さ ら に,現 物 株 の 受 渡 価 格Kを もつ 先 渡 契 約 の 受 渡 時 点Tの ペ イ ・オ フH(S(T)) は,

H(S(T))=S(T)‑K

で あ り,契 約 時 点'∈ 〔0,T〕 の 先 渡 契 約 の 価 値F(0)は ゼ ロ で あ る か ら,

14季 刊 創 価 経 済 論 集

0=Ee〔B‑1(T)(S(T)‑K)Ft〕=E9〔B‑1(T)s(T)[Ft〕‑B‑1(T)K B‑1(t)s(t)の マ ル チ ン ゲ ー ル 性 に よ り

=」Sz(t)s(t)‑B‑1(T)K .

よ っ て,契 約 時 点 、t∈ 〔0,T〕 の 先 渡 価 格 κ(t)は,

κ(t)‑B(T)B‑1(の 昨S(t)exp(∬7(τ)d・)

Vol.XXX,No.1

で あ る.

参 考 文 献

[1]Black,F.andM.Scholes,"ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities".JournalofPolitical Economy,81:637‑654,1973.

2]Cameron,R.H.andW.T.Martin,"TransformationofWienerIntegratesunderaGeneralClassof LinearTransformations".TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety,58:184‑219,1945.

[3]"TransformationofWienerIntegralsbyNonlinearTransformations".Transactionsofthe AmericanMathematicalSociety,66:253‑283,1949.

[4]Dude,D.DynaynicAssetPricingTheory.PrincetonUniversityPress,2nded.,1996.(山 崎 昭 ・桑

名 陽 一 ・大 橋 和 彦 ・ 本 多 俊 毅 訳 『資 産 価 格 の 理 論 株 式 ・債 券 ・ デ リ バ テ ィ ブ の プ ラ イ シ ン グ 』 創 文 社,

1998年)

[5]Elliott,R.J.andP.E.Kopp.MathematicsofFinancialMarkets,Springer‑Verlag,1999.

[6]Feynman,R.P.,"Space‑TimeApproachtoNonrelativisticQuantumMechanics".Reviewof ModernPhysics,20:367387,1948.

[7]舟 木 直 久 『確 率 微 分 方 程 式 』 岩 波 書 店,1997年.

[8]Girsanov,1.V.,"OnTransformingaCertainClassofStochasticProcessesbyAbsolutelyContinuous SubstitutionofMeasures".TheoryofProbabilityandApplications,5:285‑301,1960.

[9]Harrison,J.M.andD.Kreps.,"MartingalesandArbitrageinMultiperiodSecuritiesMarkets".

ノournalOfEconomicTheory,20:381‑408,ユ979.

[10]andS.Pliska,"MartingalesandStochasticIntegralsintheTheoryofContinuousTrading".

StochasticProcessesandtheir∠L鯉)Zガ6α'ガo%s,11:215‑260,198ユ.

[11]"AStochasticCalculusModelofContinuousTrading:CompleteMarkets".Stochastic ProcessesandtheirApplications,15:313‑316,1983.

[12]Ito,K.,"OnaFormulaConcerningStochasticDifferentials",NagoyaMathematicalJournal,3:55‑65, 1951.

[13]伊 藤 清 『確 率 論 』 岩 波 書 店,1991年.

[14]Jarrow,R.andS.Turnbull,DerivativeSecurities,South‑WesternCollegePublishing.1996.

[15]Kac,M.,"OnDistributionsofCertainWienerFunctionals",TransactionsoftheAmerican MathematicalSociety,65:1‑13,1949.

[1.6]Karatzas,1.andS.E.Shreve,BrownianMotionandStochasticCalculus.Springer‑Verlag,2nded., 1991.

[17],MethodsofMathematicalFinance.Springer‑Verlag,1998.

[18]刈 屋 武 昭 『金 融 工 学 の 基 礎 』 東 洋 経 済,1997年.

[19]楠 岡 成 雄 『確 率 と 確 率 過 程 』 岩 波 書 店,1993年.

[20]Merton,R.C.,"TheoryofRationalOptionPricing".BellJournalofEconomicsandManagement Science,4:141‑183,1973.RepublishedwithrevisionsasChapter8inR.C.Merton.Continuous‑Time Finance.BasilBlackwell,Oxford,1991.

[21]

[22]

[23]

長 井 英 生 『確 率 微 分 方 程 式 』 共 立 出 版,1999年.

Pliska,S.R.IntroductiontoMathematicalFinance,DiscreteTimeModels.

渡 辺 信 三 『確 率 微 分 方 程 式 』 産 業 図 書,1975年.

Blackwell,1997.