カ バ リ ン グ マ シ ンの 自動 糸 交 換 装 置 の 開 発
6
0
0
全文
(2) 繊 維 機 械 学 会 誌. 64. い.. こ とか ら,台 車 の カ バ リ ン グ マ シ ン作 業 開 始 位 置 へ の 接 近,お. よ び 作 業 の た め の 移 動 ・停 止,な. こ こで,カ. らび に. バ リ ン グ マ シ ン壁 面 か ら大 き く離 れ て. マ シ ン裏 面 へ の 旋 回 は必 要 な 動 作 で あ る と 考 え られ. セ ッ トさ れ た 台 車 が,移. る.. に 追 従 し て い く理 論6)を 述 べ る.台 車 が 一定 速 度V. そ こ で,本. 報 で は,狭. い 工 場 内 に お い て,カ. 動 と ともに次第 に目標経 路. で 移 動 す る と き,図1に. バ リ. 示 す よ う に,台. 車 と 目標 軌. ン グ マ シ ンの 初 期 作 業 位 置 へ で き る だ け速 や か に 接. 道 と の 最 短 距 離 をyと. 近 し,特 別 な 装 置 を 追 加 す る こ と な く旋 回 作 業 を 行. が 台 車 か らrだ. う手 法 につ い て 報 告 す る.. に操 舵 さ れ る とす る と,幾 何 学 的 関 係 か ら. し,台 車 は常 に そ の 進 行 方 向. け離 れ た 軌 道 上 の 点Pを. 向 くよ う. (1) 2.軌. 道 追 従 制 御. (2). 本 研 究 で 開 発 し た作 業 台 車 は,第5報. と な る の で,両. で も報 告 し. 式より. (3). た と お り,左 右 輪 が 独 立 して 回 転 で き る2輪 速 度 差 制 御 方 式 の4輪. 台 車 で,そ. が 導 か れ る.(3)式 を 整 理 す る と,. の位 置 と姿 勢 の 検 出 は,. (4). 台 車 側 面 の 前 後 に 取 り付 け られ た一 対 の レ ー ザ 変 位 計 に よ って 行 わ れ る.ま 処 理 さ れ,両. た,計. 測 結 果 は パ ソ コ ンで. バ リ ン グ マ シ ンか ら100mmの. て,ス. で 最 大3mm)の で は,レ. 後(ス. とな る.上 式 か ら時 間 と と も にy(t)→0(t→. 移動 し. ピ ン ドル 中 心. り,軌 道 追 従 が 可 能 な こ とが わ か る.ま. 精 度 で停 止 す る.し か し,こ の台 車. 限 界 で あ る.し. の 軌 道 誤 差 をy(0). (5). 度Vが. 一 定 の 場 合,Vtは. た が っ て,カ. ∞)と な. た,移. 台 車 の 移 動 距 離xと. 動速 な り,. (6). ーザ変 位計 の測定範 囲 お よび設置 間隔 の制. き る 左 右 方 向 の 間 隔 距 離 は100mmを. 辺. す れば. 間隔 を お いて平 行 に. 限 に よ り,進 行 方 向100mm〜200mの. mmが. =y0と. の 台 車 は,カ. ピ ン ドル 間 距 離100〜200mmを. ピ ン ドル 軸 線 上1mm前. の微 分 方 程 式 と な る の で,両. を そ れ ぞ れ 積 分 し,時 間t=0で. 輪 の 回 転 制 御 に 反 映 され る.カ バ ー ド. 糸 製 造 の 各 準 備 作 業 を 行 う た め に,こ. 置 か れ,ス. な る変 数 分 離 形1階. 移動 で修正 で. と表 され るの で,台 車 の移 動 とと もに指数 関 数的 に. 中 心 に ±10. 軌 道追 従 が行 われ る ことがわ か る.な お,こ の理 論 に基 づ く軌 道追 従 の方 法 を本報 で は指数 関数 形制 御. バ リングマ シ ン. の 端 に 間 隔 距 離 を 無 視 して セ ッ トさ れ た 台 車 が,作. と呼 ぶ こ とにす る.後 輪駆 動 の台車 で は,前 輪 を 目. 業 の ため の最初 の走行 制御 を開始 す る までの あい だ. 標 軌道 上 に のせて移 動す るこ とによ り次 第 に軌道 追. に,で. 従 が 実現 され るが,そ の収束 速度 は,rに 相 当 す る. き るだ け この 誤 差 を 小 さ く して お く必 要 が あ. る.具 体 的 に は,カ. バ リ ン グ マ シ ン端 か ら第1ス. ン ドル ま で の長 さ は,お よ そ1000〜1500mm程 あ り,作 業 台 車 の 大 き さ が600mmで 慮 す れ ば,台. 車 が 第1ス. 台車 の前 後輪 ホ イール ベー スの長 さ に支 配 され る.. ピ. 度で. 3.フ. あ る ことを考. 前 節 で検討 したよ うに,台 車 を軌道追 従 させ るた. ピ ン ドル に接 近 す る た め に. 利 用 で き る 距 離 は500〜1000mm程. めの,前 輪 を軌道上 に載 せ て移動 す る方法 は,指 数. 度 と考 えて 良. Fig. 1. Path. ァ ジ ィ制 御. Tracking. T100. Control.
(3) (論 文 集)Vol.51,No.5(1998). 65. 関 数 的 に収 束 す る の で 確 実 で は あ るが,そ 必 要 な 移 動 距 離 は極 め て 長 い.こ. た め に,よ く と ら れ る手 法 と してPID制 れ る.高 度 な 制 御 法 で あ るPID制. の ため に. を そ れ ぞ れ 示 し,こ れ らに 基 づ く台 車 制 御 の 規 則 表. の応答 を改善 す る. を 表1に. 御 が あげ ら. 示 す.表1に. は,全 部 で7つ. 御 を用 い るこ とに. は,プ. 示 した 台 車 の 各 制 御 モ ー ド. で あ るが,そ. れ ぞ れ の動 作 に つ い て. ラ ス の 場 合 を 例 に 図4で. 説 明 す る.ま. ず,(a). よ り,速 応 性 ・振 動 抑 制 ・オ フセ ッ ト補 償 な ど対 応. のZOは. で き る要 素 は 多 い が,自. で あ り,台 車 が 目 標 経 路 に 順 調 に接 近 して い る と き. 律 台 車 の よ う に,両. 輪 の回. 両 輪 を 同 速 度 同 方 向 に 回 転 させ た 直 進 動 作. 転 が す べ りに よ り確 実 に伝 達 さ れ な か った り,他 の. や 経 路 上 に の って 直 進 して い る と き に使 用 さ れ る .. 要 因 に よ り乱 さ れ る場 合 に は,か. ま た,(b)のPSは,右. る危 険 性 も持 っ て い る.そ. え っ て 不 安 定 とな. こで,本. 研 究 で は,PID. 制 御 の よ う に 特 別 な概 念 を必 要 とせ ず,非. 車 輪 を 左 車 輪 よ り高 速 回 転 さ. せ て左 向 き前 進 さ せ,(c)のPMは,左. 車 輪 を停止 さ. 線形 系 に. も容 易 に 適 用 で き る フ ァ ジ ィ制 御 を 用 い る こ とで, 自律 台 車 の 走 行 制 御 を 実 現 す る こ と に した. フ ァ ジ ィ制 御 は,if‑then形. 式 の入 出 力 を用 いて. 表 現 す る た め に,特 別 な モ デ ル を 必 要 と せ ず,数 的 な 計 算 制 御 で は な い た め に,人. 値. 間 の 感 覚 に近 い と. い う特 徴 を 持 っ て い る.移 動 ロ ボ ッ トに お け る フ ァ ジ ィ制 御 の 適 用7)8)につ い て は,す れ て い る が,本. 報 で は,カ. で に 多 くが 報 告 さ. バ リ ン グ マ シ ンへ の 自律. 作 業 台 車 の 接 近 と い う こ と に 論 議 を 絞 り,そ. のた め. の 手 法 に つ い て 検 討 した 結 果 を 報 告 す る.台 車 の 制 御 に お い て は,カ 100mmに. と して 与 え られ る の で,こ か の 状 態 に 離 散 化 し,△yお 合 わ せ に よ っ て,次. て は,次. Membership. Function. in the Position. Membership. Function. in the Attitude. バ リ ングマ シ ンか らの設 定 間 隔. 対 す る 偏 差 △yと. し て い く.フ. Fig. 2. そ の 姿 勢 △ θが デ ー タ れ ら の デ ー タ を,い. くつ. よ び △ θの 状 態 の 組 み. に行 うべ き制 御 の ル ー ル を 決 定. ァ ジ ィ集 合9)に使 わ れ る各 状 態 に つ い. の7つ. の 表 記 を使 用 す る もの と し,以 後 こ. れ を 使 用 す る. PB:Positive. Big(正. で 大 き い 値). PM:Positive. Medium(正. で 中 位 の 値). Fig. 3. PS:Positive. Small(正. で 小 さ い 値). Table. ZO:Zero(ゼ. 1. Rules. for the Fuzzy. Control. of Vehicle. ロ). NS:Negative. Small(負. で 小 さ い値). NM:Negative. Medium(負. で 中 位 の 値). NB:Negative. Big(負. で 大 き い値). 自律 台 車 の 動 作 を 考 え た 場 合,△yが. ±1mm以. 内 で あ れ ば 位 置 的 な 修 正 の 必 要 は な く,±3mm以 内 で あ れ ば.そ. れ 以 上 偏 差 が 増 大 しな い よ うに しな. け れ ば な らな い.ま. た,さ. ら に大 き な 偏 差 が あ る 場. 合 に は,積 極 的 な 修 正 動 作 が 必 要 で あ る と い え る. 一 方 ,同 じ位 置 に 台 車 が あ った と して も,そ の 姿 勢 △ θが 目標 経 路 の 方 向 に 向 い て い る の と,反 い て い るの で は,行 な って く る.そ. こで,図2に. ップ 関 数 を,図3に. 対 に向. うべ き 台 車 の 修 正 動 作 は 全 く異. (a)ZO. △yに 関 す る メ ンバ シ. △ θ に関 す る メ ンバ シ ップ 関 数. Fig. 4. T101. (b)PS Driving. Modes. (c)PM based. on the Fuzzy. (d)PB Control.
(4) 繊 維 機 械 学 会 誌. 66. せ右 車輪 のみ を回転 させ て左方 向 に曲 が る動作 を行 う.と もに,位 置姿勢 にお け る若干 の修 正 を行 う と きに使 用 され る.さ らに,(d)のPBは,両. 輪 を逆方. 向 に 同速度 で 回転 し移動 を伴 わ ない旋 回 を行 うが, これ は,台 車 の姿勢 が最 初か ら大 き くず れて い る と きや,軌 道 上 にの った台 車 の姿勢 を正 す ときに使 用 され る.な お,マ イ ナスの動 作 につ いて は,左 右 車 輪 の回 転 比 が逆 にな り,進 行方 向 が 時計 回 り とな る.. (a) Control by Exponential. 4.実. 験 と 考 察. 4.1カ. バ リン グ マ シンへ の接 近. 走 行 試 験 は,補 行 さ せ,そ. 強 され た木製 合板 の上 で台 車 を走. の 時 の 前 後 レー ザ 変 位 計 の 位 置(カ. ン グ マ シ ン壁 面 か ら の 最 短 距 離)yf,yrを た.こ. れ は,yfが. バ リ. 記録 し. 前 部 キ ヤ ス タ ー の 軌 道,yrが. 輪 の 軌 跡 と 考 え て よ く,yrが. 駆動. 目標 経 路 に 近 づ く こ と. に よ っ て 台 車 全 体 が 軌 道 に 追 従 した も の と み な さ れ る.前. Function. 報 の 「作 業 の た め の 移 動 制 御 」 で は,軌. (b) Control by Fuzzy Method.. 道へ. Fig. 5. Locus of the Driving Controlled (wheel base r=385mm). の 追 従 精 度 を 優 先 し た た め 台 車 速 度 を24mm/sと. Vehicle. して き た が,「 接 近 の た め の 制 御 」で は,精 度 よ り追 従 の速 さ が 優 先 さ れ る の で,台 車 速 度 を40mm/sと. 前 輪 を 軌 道 上 ち ょ う ど に 設 定 した もの で は な く,±. して 実 験 した.な お,台 車 位 置 の 計 測 は30回/s,車. 1mmの. 輪 の 制 御 は15回/s程. 求 め ら れ る結 果 よ り若 干 速 く 目標 経 路 に達 し た が,. 度 の リ ア ル タ イ ム で 行 って い. 範 囲 に お い て 制 御 した た め,(6)式 の 理 論 上. る.台 車 の ス タ ー トす る初 期 位 置 は,目 標 経 路 か ら. フ ァ ジ ィ制 御 で 得 られ た 結 果 は,こ. 30mm前. て い る.し. 後 離 れ た と こ ろ と し,フ. を 検 討 した.図5に,(6)式. ァ ジ ィ制 御 の 効 果. の 軌 跡 を も と に,軌. 表2に. 常 に 有 効 で あ る と 確 認 さ れ た.た め て 容 易 で あ る が,フ. 達 す る ま で に 要 し た移 動. 示 す.図5か. す.(a)は,制. の 間 で は接 近 に 要 す る移 動 距 離 に大 幅 な 違 い を 生 ず. も の で,軌. る こ とが わ か る.ま た,実 験 し た指 数 関 数 形 制 御 は,. た.ま. Required (initial. Length. ァ ジ ィ制 御 パ ラ メ ー タ を 設 定. ラ メ ー タ お よ び 制 御 ル ー ル の 調 整 を 行 った 例 を 示. 数 関 数 的 に そ の 姿 勢 が 収 束 す る も の と,. 2. 御 自体 は極. を 必 要 とす る点 が 問 題 で あ る と い え る.図6に,パ. そ の ま ま の 角 度 で 進 入 し続 い て 姿 勢 修 正 を 行 う も の. Table. だ,制. す る の は,若 干 経 験 的 要 素 が あ る と同 時 に 試 行 錯 誤. ら も 明 ら か な よ うに,. ど ち ら も 目 標 経 路 に突 入 す る角 度 に 大 き な差 は な い もの の,指. 定 し. て マ シ ン と の 間 隔 を 調 整 で き る フ ァ ジ ィ制 御 は,非. の2つ. 道 追 従 の 速 応 性 を 比 較 す るた. め,△yrが10,5,1mmに 距 離xを. れ を大 き く超 え. バ リ ン グ マ シ ン端 か ら第1. ス ピ ン ドル へ の 接 近 と い う短 い 距 離 の 間 で,安. に 基 づ く指 数 関 数 形 制 御. と フ ァ ジ ィ制 御 の 軌 跡 を そ れ ぞ れ 示 し た.こ. た が って,カ. to. Follow. Variation •¢v=35mm). T102. up. 御 ル ー ル の組 み 合 わ せ を若 干 変 更 した 道 追 従 の 速 応 性 と い う点 で 問 題 が 生 じ. た,(b)は,△yに. Path. on. Movement. お け る メ ンバ シ ップ 関 数 で.
(5) (論 文 集)Vol.51,No.5(1998). 67. 比 較 的 短 距 離 で の 軌 道 追 従 が 可 能 と な っ た.し し,自 律 作 業 台 車 は,カ. か. バ リ ン グ マ シ ンの 片 面 の 作. 業 を 終 え る と,裏 面 へ の 移 動 を 行 わ な け れ ば な らな い.台. 車 は,側 面 前 後 に 取 り付 け られ た 一 対 の レー. ザ 変 位 計 に よ り,そ が,台. 車 が カ バ リ ン グ マ シ ン端 よ り飛 び 出 して しま. う と,計. 測 は 不 可 能 と な る.ま た,カ. ンの 奥 行 き は,お (a)Problem of Slow Response. の 位 置 と 姿 勢 を 計 測 して い る. よ そ500〜700mmで. バ リングマ シ あ る が,こ. の. 部 分 で も台 車 の 走 行 制 御 を 行 う こ と が で きれ ば,裏 面 へ の 旋 回 は,非 計 測 状 態 の ま ま 旋 回 す る よ り も確 実 と な る.図7に,旋 示 す.(1)は,フ 分 で,カ. 回 の た め に 行 う3つ の 動 作 を. ァ ジ ィ制 御 に よ り軌 道 追 従 を 行 う部. バ リ ン グ マ シ ン壁 面 か ら100mmの. 隔 で 移 動 が 実 現 さ れ る.(2)は,前. 一定 間. 部 セ ンサが カバ リ. ン グ マ シ ン よ り飛 び 出 し,有 効 な セ ンサ は1つ る の で,そ 差 は,セ (b)Problem of Vibration. の ま ま 直 進 す る部 分 で あ る.こ. とな. こで の 誤. ンサ が 飛 び 出 し た時 点 で の 台 車 の 姿 勢 に 支. 配 さ れ るが,続. く動 作 に よ っ て 誤 差 が 吸 収 さ れ れ ば. 問 題 と は な らな い.(3)は,前. 部 セ ンサ が 計 測 を 開 始. で き る位 置 ま で 台 車 が 回 転 を 続 け る部 分 で 前 後 両 方 の セ ン サ が 動 作 し始 め る と,台 車 は再 び(1)の動 作 を 開 始 し,非 常 に 短 い 距 離 で 軌 道 追 従 を 実 現 す る.同 様 の 操 作 を 繰 り返 し,台 車 は,裏 面 へ と移 動 し て, フ ァ ジ ィ制 御 で カバ リ ン グマ シ ンに 接 近 し た の ち, 作 業 の た め の移 動 制 御 を 開 始 す る. こ こで,2輪. (c)Problem of Off6et. 速度 差制 御 方式 の台車 に お ける旋回. 理 論 を 述 べ て お く.図8に Fig. 6. Locus. of Fuzzy. Parameter ZOの. 範 囲 を2倍. 合 は,振. Controlled. Vehicle. with. 隔(ト. Regulation. R,左. に 大 き く し た も の で あ り,こ. さ らに,(c)は,△. 場 合 は,目. 小 さ く し た も の で あ る が,こ. の 中 心 に お け る回 転 半 径 を. 右 駆 動 輪 の 回 転 速 度 の 比 をXと. す れ ば,. (7) と い う関 係 式 が 成 り立 つ.し. θ に お け る メ ンバ シ ッ プ 関 数 でZO. の1に. 右駆 動輪 の間. の場. 動 的 な 走 行 現 象 が み られ る よ うに な っ た.. の 範 囲 を5分. レ ッ ド)をB,そ. お い て,左. た が っ て,台. 車 を半 径. Rで 回 転 さ せ る た め に は, の. 標 軌 道 か らわ ず か に ず れ る偏 差 が 生 じて. し ま っ た.い. ず れ の 場 合 も,自. お い て は,あ. ま り好 ま し く な い現 象 で あ る が,フ. ジ ィ制 御 の パ ラ メ‑タ. 律台車 の走 行制 御 に. の取 り方,あ. ァ. る い は調 整 の 仕. 方 に よ っ て は この よ う な軌 跡 が 得 ら れ る可 能 性 も あ る.言. い 換 え れ ば,こ. れ らの 調 整 を うま く行 う こ と. に よ っ て 最 も好 ま しい 軌 跡 を 得 る こ と が で き る と い う こ と を 示 唆 して い る. 4.2旋. 回 へ の応 用. カ バ リ ン グ マ シ ンへ の 接 近 に つ い て は,前 べ た よ うに,フ. 節 で述. ァ ジ ィ制 御 を 適 用 す る こ と に よ り,. Fig. 7. T103. Combination. of Controls. for Turning. Motion.
(6) 繊 維 機 械 学会 誌. 68. Fig. 9. Locus. of Autonomous. Vehicle. at Turning. Motion. Fig. 8. Radius Driven. of Gyration Wheels. on Vehicle. る た め の 走 行 制 御 の 方 法 に つ い て 検 討 し た.そ. Individually. 果,軌. 道 追 従 の 方 法 と し て,フ. あ る こ と が 認 め ら れ た.フ. な る速 度 比 で 両 輪 を 回 転 さ せ れ ば よ い こ と に な る, 例 え ば,カ. バ リ ン グ マ シ ン か ら100mm間. て 移 動 す る 幅700mmの. 隔をおい. 台 車(B=500mm)が,カ. バ. な る の で,両. はX=3.5が. っ て,右. 得 られ る.よ. の3.5倍 で 回 転 さ せ れ ば,理. 文. 際 に台. に 平 行 に な っ た と き に は,ほ して い る.し. た が っ て,フ. 純 也,喜 成 年 泰,新 宅救 徳;繊. 2) 堀. バ リン. 維 機 械 学 会 誌,50,T24. 純也,八. 田. 潔,喜 成 年 泰,新. 宅 救 徳;繊. 維機 械 学 会. 潔,喜 成 年 泰,新. 宅 救 徳;繊. 維 機械 学 会. 純 也,喜 成 年 泰,新. 宅 救 徳;繊. 維 機 械学 会. 宅 救 徳;繊. 維機械学会. 誌,51,T43(1998) 3) 堀. バ リ ン グ マ シ ン側 面. 純也,八. 田. 誌,51,T59(1998). と ん ど 同 じ位 置 に 到 達. 4) 八 田. 潔,堀. 誌,50,T341(1997). ァ ジ ィ制 御 お よ び 旋 回 を. 組 み合 わ せ た 走 行 制 御 を 行 う こ と に よ り,比. 常 に 安 定 した 移 動 旋 回 が 実 現 で. (1997). グ マ シ ン端 か ら飛 び 出 した 時 の 姿 勢 に よ り,旋 回 の 位 置 は若 干 異 な っ て い る が,カ. の フ ァ ジ ィ制 御 の速 応 性. バ リ ン グ マ シ ン裏 面 へ の 台 車 の 旋 回. 献. 1) 堀. プ ロ ッ トは,. 台 車 の 左 右 輪 中 心 を 示 した もの で あ る が,カ. た,こ. 応 性 の点で大 幅 な. き た.. 論 的 に は反 時 計方 向 に. 示 す.各. 車 の前 輪 を軌 道上 にのせ. を 行 っ た と こ ろ,非. 輪 の 回転 を左 輪. 作 お よ び 旋 回 理 論 に よ り,実. 車 を 移 動 さ せ た 軌 跡 を 図9に. こ の 手 法 の 適 用 に よ り,台. を 利 用 して,カ. 希 望 の 旋 回 が 行 え る は ず で あ る. 以 上 の,3動. 少 試 行 は 必 要 で あ る が,. 改 善 が み ら れ た.ま. 輪 の回 転比. 車 の 制 御 機 構 ・ハ. ー ド ウ ェ ア 特 性 に よ り ,多. て 徐 々 に 追 従 さ せ た 場 合 よ り,速. リ ング マ シ ンの ち ょ う ど 角 を 中 心 に旋 回 す る と き に 回 転 半 径 はR=450mmと. ァ ジ ィ制 御 が 有 効 で. ァ ジ ィ制 御 に お け る 各 種. パ ラ メ ー タ の 設 定 に つ い て は,台. (8). の結. 5) 堀. 較 的短. 純 也,八. 田. 潔,喜. 成年 泰,新. 誌(掲 載 決 定). い 距 離 で も安 定 して 台 車 の 旋 回 を 行 う こ と が で き. 6). た.. 日本機 械 学 会:機. 械 工 学 便 覧C4メ. カ トロ ニ ク ス,p.101,. 丸 善(1994) 7) 石 川繁 樹;日. 5.結. 8) 渡 辺 桂 吾,野. 言. 本 ロ ボ ッ ト学 会 誌,9‑2,(1991),149 見 山 章,日. 本 機 械 学 会 論 文 集,62‑595,C. (1996),1019. 本 報 で は,各. 種 カ バ リ ン グ マ シ ン に対 応 した 自律. 9). 田 中一 男;応 182,ラ. 台 車 を,作 業 の た め の 初 期 位 置 へ 速 や か に 接 近 さ せ. T104. 用 を め ざす 人 の た め の フ ァ ジ ィ理論 入 門,p. ッ セ ル社(1991).
(7)
関連したドキュメント
He thereby extended his method to the investigation of boundary value problems of couple-stress elasticity, thermoelasticity and other generalized models of an elastic
Keywords: continuous time random walk, Brownian motion, collision time, skew Young tableaux, tandem queue.. AMS 2000 Subject Classification: Primary:
We shall see below how such Lyapunov functions are related to certain convex cones and how to exploit this relationship to derive results on common diagonal Lyapunov function (CDLF)
Subsequently, Xu [28] proved the blow up of solutions for the initial boundary value problem of (1.9) with critical initial energy and gave the sharp condition for global existence
This paper presents an investigation into the mechanics of this specific problem and develops an analytical approach that accounts for the effects of geometrical and material data on
We use the monotonicity formula to show that blow up limits of the energy minimizing configurations must be cones, and thus that they are determined completely by their values on
The proof of the existence theorem is based on the method of successive approximations, in which an iteration scheme, based on solving a linearized version of the equations, is
Since weak convergence is preserved by continuous mappings, the weak convergence in H α provides weak convergence results for H 0 α -continuous functionals of paths and for some
