正方行列Aがユニタリ行列によって対角化されるとき,すなわちP∗AP が対角行列となるようなユニタ リ行列 P が存在するとき,A=P(P∗AP)P∗ は正規行列である(cf.注意18.9,問 18.10). つまり,ユニタ リ行列で対角化されるためには正規行列であることが必要である. 逆に:
定理18.19 (Toeplitz の定理) 任意の正規行列はユニタリ行列で対角化可能である. この定理は,定理18.7と次の補題(および注意18.9)から直ちに従う:
補題18.20 正規行列Aが三角行列でもあれば,Aは対角行列である.
A= (aij)をn次として,上の補題は以下のように示される:
A A∗=A∗Aの両辺の(i, i)成分を比較して
∑n k=1
aikaik=
∑n k=1
akiaki.
ここで,Aが三角行列であることよりi > j ならばaij= 0 が成り立つから,
∑n k=i
|aik|2=
∑i k=1
|aki|2.
この式でi= 1とすると
∑n k=1
|a1k|2=|a11|2
18 正規行列 115 となり,a1k = 0 (2≤k≤n)がわかる. またi= 2とすると
∑n k=2
|a2k|2=|a12|2+|a22|2
となり,a2k = 0 (3≤k≤n)がわかる. 以下同様にしてaij = 0 (i < j)がわかる.
例 18.21 t4−1 の同伴行列
C=
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
は実直交行列で,δC(t) =t4−1 = (t−1)(t+ 1)(t−i)(t+i). ただし i=√
−1 は虚数単位を表す. 固有値 1,−1, i,−iに関する固有ベクトルとしては
x=
1 1 1 1
, y=
1
−1 1
−1
, z=
1
i
−1
−i
, w=
1
−i
−1 i
がとれる. このときP := 12(
x y z w)
はユニタリ行列で,
P∗CP =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 i 0
0 0 0 −i
.
実行列の場合 実正方行列Aが実直交行列によって対角化されるとき,すなわちtP AP が対角行列となる ような実直交行列P が存在するとき,A=P(tP AP)tP は実対称行列である. つまり,実直交行列で対角化 されるためには実対称行列であることが必要である. 逆に,Aを実対称行列とすると,δA(t)は実数根のみを もつ(命題18.16)からtP AP が三角行列となるような実直交行列P が存在する(定理18.7)が,そのとき
tP AP は対角行列となっている. すなわち:
定理18.22 実対称行列は実直交行列で対角化可能である.
例 18.23 例18.2で扱った
A= (
cosθ sinθ sinθ −cosθ
)
は対称な実直交行列で,δA(t) =t2−1 = (t−1)(t+ 1). 固有値1,−1 に関する固有ベクトルとしては x=
cosθ2 sinθ2
, y=
−sinθ2 cosθ2
がとれる. このときP :=(
x y)
は実直交行列で,
tP AP =
(1 0 0 −1
) .
なお,a= cosθ2, b= sinθ2 と置くと
A=P (
1 0
0 −1 )
tP =
( a −b
b a
) (
1 0
0 −1 ) (
a b
−b a )
= (
a2−b2 2ab 2ab −a2+b2
)
(2倍角の公式から直接導いてもよい). つまり,Aに対応するR2の線型変換とは,直線⟨t(
cosθ2,sinθ2)⟩
に 関する折り返しに他ならない(cf.例 5.3,例5.9).
演習問題
18.1 命題18.4を証明せよ.
18.2 P を |P|= 1なるn次実直交行列とするとき,x1,x2, . . . ,xn−1∈Rn に対して次が成り立つことを 示せ:
(Px1)×(Px2)× · · · ×(Pxn−1) =P(x1×x2× · · · ×xn−1).
18.3 (1) 正則行列A, B に対して次の同値性を示せ:
AB−1 はユニタリ行列 ⇐⇒ A∗A=B∗B.
(2) 共に1 次独立であるようなx1,x2, . . . ,xn ∈Kn とy1,y2, . . . ,yn ∈Kn に対して次の条件 (a), (b) は互いに同値であることを示せ:
(a) Pxi=yi (1≤i≤n)となるような(n次)ユニタリ行列P が存在する.
(b) G(x1,x2, . . . ,xn) =G(y1,y2, . . . ,yn).
18.4 (1) Aを歪Hermite行列とするとき,E+Aは正則であること, ならびに(E−A)(E+A)−1 はユ ニタリ行列であることを示せ.
(2) P を |E+P| ̸= 0 なるユニタリ行列とするとき, (E−P)(E+P)−1 は歪Hermite行列であること を示せ.
18.5 n次の正規行列Aがユニタリ行列P =(
x1x2 . . . xn
)によって
P∗AP =
α1
0
α2
. ..
0
αn
と対角化されるとき, 多項式f(t)に対して次が成り立つことを示せ:
f(A) =f(α1)x1x∗1+f(α2)x2x∗2+· · ·+f(αn)xnx∗n.
19 2次形式 117
19 2 次形式
本節ではK=Rの場合だけを考える. また,実直交行列,実対称行列を単に直交行列,対称行列という.
19.1 2次形式
実数を係数とする変数x1, x2, . . . , xn に関する斉次(同次) 2次式
∑n i=1
aiix2i + 2 ∑
1≤i<j≤n
aijxixj
を (実) 2 次形式という. 変数をまとめて x := t(x1, x2, . . . , xn) と書き, n 次の正方行列 A = (aij) を aij :=aji (1≤j < i≤n)により定める. このときA は対称行列で, 上の2 次形式はtxAxと表せる. A が対角行列であるとき, 2次形式txAxは対角形であるという.
例 19.1 (1)
ax2+ 2bxy+cy2=( x y)(
a b b c
) ( x y
) . (2)
ax2+by2+cz2+ 2(dxy+exz+f yz) =( x y z)
a d e
d b f
e f c
x y z
.
19.2 2次形式の標準形
対称行列Aに対し,定理18.22より
tP AP =
α1
0
α2
. ..
0
αn
となるようなn次直交行列P が存在する. 従ってx′ =t(x′1, x′2, . . . , x′n)をx=Px′ (すなわちx′=tPx) により定めれば, 2次形式は
txAx=t(Px′)A(Px′) =tx′(tP AP)x′=
∑n i=1
αi(x′i)2
と(x′1, x′2, . . . , x′n に関して)対角形に変形される. 得られた対角形の2次形式を標準形という.
注意19.2 α1, α2, . . . , αn はAの固有値であるからP の選び方には依らない. 従って2次形式の標準形は
変数の順序付けの違いを除いて一意的に定まる.
問 19.3 上の直交行列P として,行列式が1のものがとれることを示せ. 以上をまとめて:
定理19.4 任意の2 次形式は直交行列による変数変換によって対角形に変形できる. また直交行列は行列 式が1のものがとれる.
例 19.5 対称行列
A=
a b b
b a b
b b a
(b̸= 0)
の固有多項式はδA(t) =(
t−(a+ 2b))(
t−(a−b))2
で,
p:=
1 1 1
は固有値a+ 2b に関する固有ベクトルを与える. また, pが張る空間の直交補空間
⟨p⟩⊥={t(x, y, z)∈R3; x+y+z= 0} の直˙ 交基底として˙
q:=
1
−1 0
, r:=
1 1
−2
がとれる. 系 18.13より⟨p⟩⊥ は固有値a−b に関する固有空間であることがわかる(b̸= 0よりa+ 2bと a−b は異なる)から,これらは固有値a−bに関する固有ベクトルを与える. 従って
P :=
( 1
∥p∥p 1
∥q∥q 1
∥r∥r )
=
1/√
3 1/√
2 1/√ 6 1/√
3 −1/√
2 1/√ 6 1/√
3 0 −2/√
6
は(行列式が1の)直交行列で
tP AP =
a+ 2b 0 0
0 a−b 0
0 0 a−b
.
よって2次形式
a(x2+y2+z2) + 2b(xy+xz+yz) は変数変換
x′= x+y+z
√3 , y′= x−y
√2 , z′= x+y−2z
√6 によって
(a+ 2b)(x′)2+ (a−b)(y′)2+ (a−b)(z′)2 と標準形に変形される.
19 2次形式 119 行列の固有値と2 次形式の値 いまa≤α1, α2, . . . , αn≤b とすると,任意のx′ =t(x′1, x′2, . . . , x′n)∈Rn に対して
a
∑n i=1
(x′i)2≤
∑n i=1
αi(x′i)2≤b
∑n i=1
(x′i)2 が成り立つが,命題18.3より∥x′∥2=∥Px′∥2 であるから:
命題19.6 対称行列Aの固有値α1, α2, . . . , αn がa≤α1, α2, . . . , αn≤b をみたすとき, a∥x∥2≤txAx≤b∥x∥2 (x∈Rn).
注意19.7 上の命題より,α1≤α2≤ · · · ≤αn とすると,
α1∥x∥2≤txAx≤αn∥x∥2 (x∈Rn).
Ax=α1xのときには左側の等号が成立し, Ax=αnxのときには右側の等号が成立する.
19.3 2次形式の符号数
n変数の2次形式txAx(Aはn次の対称行列)の標準形を∑n
i=1αi(x′i)2とし,Aの固有値α1, α2, . . . , αn
のうちp個が正, q個が負であるとする. このときp+q≤n. また, 命題19.6と注意19.7より:
命題19.8 (1) txAx≥0 (x∈Rn) ⇐⇒ q= 0.
(1)′ txAx>0 (x∈Rn,̸=0) ⇐⇒ p=n.
(2) txAx≤0 (x∈Rn) ⇐⇒ p= 0.
(2)′ txAx<0 (x∈Rn,̸=0) ⇐⇒ q=n.
これらの場合にtxAxは(またはA は)それぞれ半正定値,正定値,半負定値,負定値であるという.
p, qを組にした(p, q)を2次形式txAxの(または対称行列Aの)符号数という. また,txAxは(または Aは)p+q=nのとき非退化であるという(非退化であることと |A| ̸= 0は同値であることに注意せよ).
例 19.9 a1,a2, . . . ,ar∈Rn とするとき,∑r
i=1(x,ai)2は半正定値な2次形式を与える. このことは,成分 計算を行えば直ちに確かめられるが, (x,ai) =tx ai=taixより
∑r i=1
(x,ai)2=
∑r i=1
tx aitaix=tx (∑r
i=1
aitai )
x
となることからもわかる. 対応する(n次の)対称行列は
∑r i=1
aitai=(
a1 a2 . . . ar
)t(
a1 a2 . . . ar
)
であるから,この2次形式はt(
a1 a2 . . . ar
)x2 とも書ける.
問 19.10 上の例の2 次形式が正定値であるためには, a1,a2, . . . ,ar が張る空間がRn と一致することが 必要かつ十分であることを示せ.
対称行列が正定値かどうかの判定法としては,次が知られている(証明は略):
定理19.11 n次の対称行列A= (aij)が正定値であるためには,k= 1,2, . . . , nに対して
a11 a12 . . . a1k a21 a22 . . . a2k
. . . . ak1 ak2 . . . akk
>0
が成り立つことが必要かつ十分である.
問 19.12 n次の対称行列A= (aij)が負定値であるためには,k= 1,2, . . . , nに対して
(−1)k
a11 a12 . . . a1k
a21 a22 . . . a2k
. . . . ak1 ak2 . . . akk
>0
が成り立つことが必要かつ十分であることを示せ.
極値問題への応用 xy平面上の点(x0, y0)の近傍で定義されたC2級函数f =f(x, y)の2 次近似は f(x0, y0) + 1
1!
(fx(x0, y0) fy(x0, y0))( x−x0
y−y0
)
+ 1 2!
(x−x0 y−y0)
fxx(x0, y0) fxy(x0, y0) fxy(x0, y0) fyy(x0, y0)
(
x−x0
y−y0
)
で与えられる. さて,f(x, y)が(x0, y0)で極値をとるためにはfx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0 が成り立つこと が必要であるが,逆は一般に成り立たない. しかし
Hf(x, y) :=
fxx(x, y) fxy(x, y) fxy(x, y) fyy(x, y)
(この対称行列をf のHesse 行列という)が(x, y) = (x0, y0)で非退化である場合には,次のようにして極 大・極小の判定ができることが知られている:
命題19.13 fx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0かつHf(x0, y0)が非退化であるとき f(x, y)は(x0, y0)で極小 ⇐⇒ Hf(x0, y0)は正定値;
f(x, y)は(x0, y0)で極大 ⇐⇒ Hf(x0, y0)は負定値.
問 19.14 上の命題が成り立つ理由を説明せよ.
19 2次形式 121 注意19.15 定理19.11と問19.12を用いると,命題19.13は次のように述べることもできる:
fx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0かつfxx(x0, y0)fyy(x0, y0)̸=fxy(x0, y0)2 であるとき
f(x, y)は(x0, y0)で極小 ⇐⇒ fxx(x0, y0)>0かつfxx(x0, y0)fyy(x0, y0)> fxy(x0, y0)2; f(x, y)は(x0, y0)で極大 ⇐⇒ fxx(x0, y0)<0 かつfxx(x0, y0)fyy(x0, y0)> fxy(x0, y0)2. 例 19.16 f(x, y) = sinxsiny とすると,
fx(x, y) = cosxsiny, fy(x, y) = sinxcosy, Hf(x, y) =
(−sinxsiny cosxcosy cosxcosy −sinxsiny
) . 従ってfx(x, y) =fy(x, y) = 0となるのはcosx= cosy = 0 または sinx= siny= 0 であるときである.
前者の場合, Hf(x, y)は ±E となる. よってf(x, y)はsinxsiny が−1 であれば極小, 1であれば極大と なる. 後者の場合,Hf(x, y)は±
( 0 1 1 0
)
となる. この行列は非退化であるが正定値でも負定値でもないの
で, f(x, y)は極小でも極大でもない.
演習問題
19.1 n次の対称行列Aに対してf(x) :=txAx(x∈Rn)と置くとき,次が成り立つことを示せ:
f(x+y)−f(x)−f(y)
2 =txAy (x,y∈Rn).
19.2 対称行列
1 1 0 1 1 1 0 1 1
を直交行列で対角化せよ. また,その結果を利用して2次形式
x2+y2+z2+ 2(xy+yz) を標準形に変形せよ.
19.3 Aを正定値なn次対称行列とする.
(1) 正定値なn次対称行列QでA=Q2 をみたすものが存在することを示せ. (2) n次対称行列B に対し, 行列AB の固有値は実数であることを示せ.
19.4 n= 2,3の場合について,定理19.11を証明せよ.
19.5 a, b, c∈Rがa >0と ac−b2>0をみたすとき,次が成り立つことを示せ:
∫∫
R2
exp(
−ax2−2bxy−cy2)
dx dy= π
√ac−b2.
内積の定義について
§16.1ではベクトル空間の内積を4 つの条件(1)–(4)をみたすものとして定義したが,文献によっては (2) 任意の a∈Kと x,y∈V に対し, (x, ay) =a(x,y)
の代わりに
(2)∗ 任意のa∈Kと x,y∈V に対し, (ax,y) =a(x,y)
を採用していることもある. 後者の流儀で内積を定義しても,これまでに述べた定理等は同様に成り立つの だが,修正が必要なものも少なくない. 例えば,例 16.3で定義したKn の標準的な内積
(x,y) =x∗y=
∑n i=1
xiyi は, 条件(2)∗ をみたすように
(x,y) =tx y=
∑n i=1
xiyi
と修正しなければならない. 命題16.14の(2) にある x=
∑r i=1
(xi,x)
∥xi∥2 xi
についても,
x=
∑r i=1
(x,xi)
∥xi∥2 xi
とする必要がある. これに続く直交射影やSchmidtの直交化についても同様である.
なお,R上の計量ベクトル空間だけを考えるのであれば,条件(2),条件(2)∗ のどちらを採用しても定義 される概念は全く同じものであり,従って定理等の修正は不要である.
123
付録
A 集合と写像
現代の数学は集合と写像の言葉を用いて記述される. 本節で述べるのは,現代数学を学ぶ上で最低限必要 とされる言葉の定義と基本的な性質である(いわゆる集合論ではない).
A.1 集合
ものの集まりのことを集合という. ただし,あるものがその集合に属するか属さないかは明確に定まらな ければならない. 例えば“0 以上の実数の全体” は集合であるが“非常に大きな実数の全体” のように定義 が曖昧なものは集合とは呼ばない. 集合に属しているものをその集合のげん元(または要素)という. xが集合 X の元であることをx∈X またはX∋xで表し,そうでないことをx̸∈X またはX̸∋xで表す.
例 A.1 次の記号は数学全体を通して固有名詞的に用いられる:
(1) N 自然数(正の整数)全体のなす集合.
(2) Z 整数全体のなす集合.
(3) Q 有理数全体のなす集合. (4) R 実数全体のなす集合. (5) C 複素数全体のなす集合.
なお0も自然数であると定義する流儀もある.
例 A.2 元を全くもたない集合をくう空集合といい∅で表す.
集合を定めるのには大きく分けて2つの方法がある. ひとつはX={1, 2,3,4,5}やY ={2,4,6,8, . . .} のように集合の元を全て列挙する方法であり, もうひとつはX ={n; nは1≤n≤5をみたす整数} や Y ={n; nは正の偶数}のように集合に属するための条件を指定する方法である. {x|xは○○をみたす} のように, セミコロン;の代わりに縦棒|を使うことも多い(コロン:を使うこともある). いずれの方法に おいても,集合を表すのには中括弧{ · }が用いられる.
集合X, Y に対し,X の任意の元がY の元でもあるときX はY の部分集合であるといい,X ⊂Y また は Y ⊃X で表す. また, そうでないことをX ̸⊂Y またはY ̸⊃X で表す. すなわち,X ̸⊂Y とはx̸∈Y であるようなx∈X が存在することを意味する. 任意の集合X は明らかに∅ ⊂X と X⊂X をみたす.
集合X の元xで条件(あるいは性質)○○をみたすもの全体はX の部分集合を与える. この部分集合を
{x∈X ; xは○○をみたす} のように表す. ただし, x∈X が○○をみたすかどうかは明確に定まってい なければならない.
集合X, Y に対し,X ⊂Y と X ⊃Y が共に成り立つとき,つまりX とY が同一の元からなるとき,X とY は同じ集合である(または一致する)といい,X =Y で表す. また,そうでないことをX ̸=Y で表す. X ⊂Y かつX ̸=Y であるとき,X は Y の真部分集合であるといい,X(Y またはY )X で表す(文献 によっては,⊂や⊃の代わりに⊆や⊇を用い,真部分集合を表すのに⊂や ⊃を用いることもある).
A 集合と写像 125 例 A.3 次の集合は,いずれも{0,1,2}と一致する:
{2,1,0}, {0,1,2,0}, {x∈Z; 0≤x <3}, {x∈R; x(x−1)(x−2) = 0}. 有限個の元よりなる集合を有限集合といい,無数に多くの(相異なる)元をもつ集合を無限集合という. ま た,集合X の(相異なる)元の個数を|X|(または#X)で表す. ただしX が無限集合のときには|X|=∞ と定める. X が有限集合であることを|X|<∞と表すこともある.