実の数ベクトルx1,x2, . . . ,xn−1∈Rn (n≥2)に対し,y= (yi)∈Rn を
y1=x1x2 . . . xn−1 e1, y2=x1 x2 . . . xn−1 e2, . . . , yn=x1 x2 . . . xn−1 en により定める. ここでe1,e2, . . . ,en はn次の基本ベクトルである. このとき,xj = (xij) (1≤j ≤n−1) とすると, z= (zi)∈Rn に対して
x1 x2 . . . xn−1 z=
x11 x12 . . . x1;n−1 z1
x21 x22 . . . x2;n−1 z2
. . . . xn1 xn2 . . . xn;n−1 zn
=y1z1+y2z2+· · ·+ynzn= (y,z)
17 計量ベクトル空間 II 109 が成り立つ(z1, z2, . . . , zn を変数と見なして, 上の等式によってy1, y2, . . . , yn を定めていると思ってもよ い). これより,yはx1,x2, . . . ,xn−1と直交することがわかる:
(y,xj) =x1x2 . . . xn−1 xj= 0.
また
∥y∥2=x1 x2 . . . xn−1y
であるが, この値はG(x1,x2, . . . ,xn−1)に一致することも示せる (証明は略). 従って, x1,x2, . . . ,xn−1
が1次独立であれば,x1,x2, . . . ,xn−1,yは右手系を与える. n≥3のとき,ベクトルyをx1,x2, . . . ,xn−1 のベクトル積(または外積)といい,x1×x2× · · · ×xn−1 で表す.
例 17.16 x=t(x1, x2, x3), y=t(y1, y2, y3)∈R3 に対し,
x1 y1 z1
x2 y2 z2 x3 y3 z3 =
x2 y2 x3 y3
z1−
x1 y1 x3 y3
z2+
x1 y1 x2 y2
z3
より,
x×y=
t(
x2 y2
x3 y3 , −
x1 y1
x3 y3 ,
x1 y1
x2 y2
) . x,y が1 次独立であれば,
∥x×y∥2= (x2y3−y2x3)2+ (x1y3−y1x3)2+ (x1y2−y1x2)2 は, x,yが張る平行四辺形{sx+ty ; 0≤s, t≤1}の面積を2乗したもの
(x,x) (x,y) (y,x) (y,y)
= (x21+x22+x23)(y12+y22+y32)−(x1y1+x2y2+x3y3)2 に一致する. x,y が1次従属ならばx×y=0となる.
問 17.17 x,y∈R3,̸=0のなす角度を θ(0≤θ≤π)とするとき,
∥x×y∥=∥x∥ ∥y∥sinθ が成り立つことを示せ.
演習問題
17.1 次のx1,x2,x3∈R3 にSchmidtの直交化を適用して直交系を求めよ:
(1) x1=t(1,0,0), x2=t(1,2,0), x3=t(1,2,3).
(2) x1=t(1,2,3), x2=t(1,2,0), x3=t(1,0,0).
17.2 x1,x2, . . . ,xr∈Kn とするとき,次が成り立つことを示せ: rankG(x1,x2, . . . ,xr) = rank(
x1 x2 . . . xr
).
17.3 n次の正則行列P=(
x1 x2 . . . xn
)に対して,次の不等式を示せ: detP≤ ∥x1∥ ∥x2∥ · · · ∥xn∥
(左辺はP の行列式の絶対値である). また,等号成立条件を求めよ.
17.4 R3におけるベクトル積について,次が成り立つことを示せ(x,y,z∈R3, c∈Rとする):
(1) x×(y+z) =x×y+x×z.
(2) x×(cy) =c(x×y).
(3) y×x=−x×y.
(4) (x×y,z) = (y×z,x) = (z×x,y).
17.5 x,y,z∈R3 とするとき,行列( x y z)
と行列(
y×z z×x x×y)
の関係を述べよ.
18 正規行列 111
18 正規行列
18.1 ユニタリ行列と実直交行列
正方行列 P でP P∗=P∗P =E (すなわちP∗=P−1)をみたすものをユニタリ行列という. また,実の ユニタリ行列を実直交行列という. つまり,実直交行列とはtP =P−1 をみたす実正方行列に他ならない.
注意18.1 P=(
x1x2 . . . xn
)とするとき
P はユニタリ行列 ⇐⇒ x1,x2, . . . ,xn は正規直交系 (cf.注意17.4).
例 18.2 θ∈Rとするとき,
(cosθ −sinθ sinθ cosθ
) ,
(cosθ sinθ sinθ −cosθ
)
は共に実直交行列である(cf.例5.8).
P をユニタリ行列とするとき,注意16.4より,任意のベクトルx,yに対して (Px, Py) = (x, P∗Py) = (x, Ey) = (x,y) が成り立つ. x=y の場合,上の等式は∥Px∥2=∥x∥2 を意味するから:
命題18.3 ユニタリ行列に対応する線型変換は内積やノルムを保存する. すなわち,P がユニタリ行列なら ば(Px, Py) = (x,y), ∥Px∥=∥x∥.
次の命題は,ユニタリ行列の定義から直ちに従う(証明は演習問題):
命題18.4 (1) ユニタリ行列の行列式の絶対値は1.
(2) P がユニタリ行列ならばP∗=P−1 もユニタリ行列.
(3) P, Q が共にユニタリ行列ならばP Q もユニタリ行列.
系 18.5 (1) 実直交行列の行列式は±1.
(2) P が実直交行列ならばtP =P−1 も実直交行列.
(3) P, Q が共に実直交行列ならばP Q も実直交行列.
問 18.6 (1) 2次の実直交行列は,例18.2で挙げたものに限ることを示せ. (2) P を|P|= 1なる3次実直交行列とするとき,
tQP Q=
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
となるような3次実直交行列 Qと θ∈Rが存在することを示せ.
ユニタリ行列による三角化 n次の正方行列Aが§14.3の条件(⋆) (ただしK=Kとしたもの)をみたす とき,P−1AP が三角行列となるような正則行列 P が存在する (定理15.3). いまP =(
x1 x2 . . . xn
)と し, x1,x2, . . . ,xn からSchmidtの直交化によって得られる正˙ 規直交系を˙ y1,y2, . . . ,yn とする. このとき Q:=(
y1 y2 . . . yn)
はユニタリ行列で,
Axj∈ ⟨x1,x2, . . . ,xj⟩ (1≤j≤n) と
⟨x1,x2, . . . ,xj⟩=⟨y1,y2, . . . ,yj⟩ (1≤j≤n) より
Ayj ∈ ⟨y1,y2, . . . ,yj⟩ (1≤j≤n) がわかるから,Q−1AQ=Q∗AQも三角行列である(cf.注意15.2). 従って:
定理18.7 (1) 任意の正方行列Aはユニタリ行列で三角化可能である. すなわちP∗AP が三角行列となる ようなユニタリ行列P が存在する.
(2) 実正方行列Aの固有多項式δA(t)が実数根のみをもつとき,Aは実直交行列で三角化可能である. す なわちtP AP が三角行列となるような実直交行列P が存在する.
例 18.8 例15.4で述べたように, (t−1)3の同伴行列
C=
0 1 0
0 0 1
1 −3 3
は
P =(
x1 x2 x3
)=
1 0 0 1 1 0 1 2 1
によって三角化される. x1,x2,x3 にSchimidtの直交化を適用すると,直交系
y1=x1=
1 1 1
, y2=x2−y1=
−1 0 1
, y3=x3−1 3y1−1
2y2=1 6
1
−2 1
が得られるから,C は実直交行列
Q:=
( 1
∥y1∥y1 1
∥y2∥y2 1
∥y3∥y3 )
=
1/√
3 −1/√
2 1/√ 6 1/√
3 0 −2/√
6 1/√
3 1/√
2 1/√ 6
により
tQ CQ=
1 √
3/√ 2 3/√
2
0 1 2√
3
0 0 1
と三角化される.
18 正規行列 113