V, V′ をK 上の有限次元ベクトル空間とし,f :V →V′ を線型写像とする. いまr= dim(Imf)と置き, Imf の基底u1,u2, . . . ,ur とu1=f(x1),u2=f(x2), . . . ,ur=f(xr)となるような x1,x2, . . . ,xr∈V をとる. またs= dim(Kerf)と置き, Kerf の基底xr+1,xr+2, . . . ,xr+sをとる. このとき,x1,x2, . . . ,xr, xr+1,xr+2, . . . ,xr+sは V の基底を与える. そのことを確かめるためには,次を示せばよい:
(a) x1,x2, . . . ,xr,xr+1,xr+2, . . . ,xr+s は1 次独立.
(b) 任意のx∈V はx1,x2, . . . ,xr,xr+1,xr+2, . . . ,xr+sの1 次結合で表せる.
まず, (a)を示すために
t1x1+t2x2+· · ·+trxr+tr+1xr+1+tr+2xr+2+· · ·+tr+sxr+s=0 をみたすスカラーt1, t2, . . . , tr+sをとると, f で写して
f(t1x1+t2x2+· · ·+trxr+tr+1xr+1+tr+2xr+2+· · ·+tr+sxr+s) =0 を得る. ここで,f の線型性とxr+1,xr+2, . . . ,xr+s∈Kerf より, 左辺は
t1f(x1) +t2f(x2) +· · ·+trf(xr) =t1u1+t2u2+· · ·+trur
と等しいことがわかるから,u1,u2, . . . ,ur の1 次独立性よりt1=t2=· · ·=tr= 0 を得る. よって tr+1xr+1+tr+2xr+2+· · ·+tr+sxr+s=0
となり,xr+1,xr+2, . . . ,xr+s の1次独立性よりtr+1=tr+2=· · ·=tr+s= 0がわかる. 次に, (b)を示すためにx∈V を任意にとると,f(x)∈Imf より
f(x) =t1u1+t2u2+· · ·+trur
となるようなスカラーt1, t2, . . . , tr が存在する. このとき f(
x−(t1x1+t2x2+· · ·+trxr))
=f(x)−(t1u1+t2u2+· · ·+trur) =0 よりx−(t1x1+t2x2+· · ·+trxr)∈Kerf がわかるから,
x−(t1x1+t2x2+· · ·+trxr) =tr+1xr+1+tr+2xr+2+· · ·+tr+sxr+s となるようなスカラーtr+1, tr+2, . . . , tr+sが存在する.
以上の議論により, 特に次の定理が得られる:
定理12.13 (次元公式) V, V′ をK 上の有限次元ベクトル空間,f :V →V′ を線型写像とするとき dim(Imf) + dim(Kerf) = dimV.
§7.2で述べた次元公式(定理7.10)は, この定理から直ちに得られる.
問 12.14 記号や仮定は上の通りとして,次が成り立つことを示せ(cf.定理5.14):
(1) f が全単射であればdimV = dimV′.
(2) dimV = dimV′ とするとき,f が全射であることと単射であることは互いに同値.
演習問題
12.1 f1, f2, . . . , fr を開区間(a, b)上のr−1回微分可能な実数値函数とし,
Wf1,f2,...,fr(x) :=
f1(x) f2(x) . . . fr(x) f1′(x) f2′(x) . . . fr′(x) . . . . f1(r−1)(x) f2(r−1)(x) . . . fr(r−1)(x)
と置く(このような行列式を Wronski 行列式という). このとき, Wf1,f2,...,fr(x0) ̸= 0 となるような x0∈(a, b)が存在するならば,f1, f2, . . . , fr は1次独立であることを示せ.
12.2 α1, α2, . . . , αrを相異なる実数とし,f1, f2, . . . , fr∈Map(R,R)をfk(x) :=eαkxにより定めるとき, これらの函数は1次独立であることを示せ.
12.3 集合{f(t)∈R[t] ; degf(t)≤3, f(1) = 0} はR[t]の部分空間であることを示せ. また, その基底 を求めよ.
12 ベクトル空間 II 77 12.4 V を K上の有限次元ベクトル空間とするとき,V の部分空間W1, W2に対して次が成り立つことを 示せ(cf.問11.10):
dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2−dim(W1∩W2) (この等式を次元公式と呼ぶこともある).
12.5 a0, a1, . . . , an を相異なる実数とするとき, 写像 ε:R[t]n ∋f(t)7−→t(
f(a0), f(a1), . . . , f(an))
∈Rn+1 は全単射であることを示せ.
13 ベクトル空間 III
13.1 ベクトル空間の成分表示
V を K上の有限次元ベクトル空間とし,その基底x1,x2, . . . ,xn をとる. このとき線型写像 ψx1,x2,...,xn:Kn∋t7−→(
x1 x2 . . . xn) t∈V
(cf. 注意12.9) は全単射となり, この1対 1 対応によってV は数ベクトルの空間Kn と加˙法˙や˙ス˙カ˙ ラ˙ー˙ 乗˙法˙ の˙構˙ 造˙も˙込˙ め˙て同一視することができる.˙ 上の線型写像をx1,x2, . . . ,xnに関するV の成分表示という.
また, その逆写像ψx−11,x2,...,xn :V → Kn をx1,x2, . . . ,xn に関する座標系といい, ψx−11,x2,...,xn(x) = (tj) (つまりx=t1x1+t2x2+· · ·+tnxn)とするとき,tj を xのxj 座標という.
基底の取り替えと成分表示 上で述べたように,基底を選べば V を数ベクトル空間と同一視することがで きる. しかし,基底は一意的に定まる訳ではない. いまy1,y2, . . . ,yn をx1,x2, . . . ,xn とは別なV の基底 とする. このとき(
y1y2 . . . yn)
=(
x1x2 . . . xn
)P となるようなn次正則行列P が一意的に存在する (cf.問12.7). また,命題11.16より
ψy
1,y2,...,yn(t) =(
y1 y2 . . . yn) t=(
x1 x2 . . . xn)
(Pt) =ψx1,x2,...,xn(Pt) となることがわかる.
例 13.1 記号は例11.14や例12.12の通りとするとき, 1, t, t2 に関するR[t]2の成分表示は
ψ1,t,t2 :
c0 c1
c2
7−→c0+c1t+c2t2
となる. 他方,a∈Rとするとき,
(1 t+a (t+a)2)
=(
1 t t2)
1 a a2 0 1 2a
0 0 1
より1, t+a,(t+a)2 もR[t]2 の基底を与えることがわかる. この基底に関するR[t]2 の成分表示は
ψ1,t+a,(t+a)2 :
c0
c1
c2
7−→c0+c1(t+a) +c2(t+a)2= (c0+ac1+a2c2) + (c1+ 2ac2)t+c2t2
となる.