（ん，（x）1オ）∈（駅π，0）×1 F 盈
命題6・17ニ2，3，…，○○，ωとして、翻をRπの原点でのσ74関数芽のなす環、mx を3り1，…，鞠が生成するεηのイデアル、すなわち、＆の極大イデアルとする：
mx＝（の、，…，￠物〉εη
2つのα関数ノ：（1欝，0）→Rとg：（1欝，0）→IRに対し、鼠x）ニノ（x）刊g（x）（0≦
孟≦1）とおく。このとき、Fがα自明な族なら、次が成り立っ。
9（x）∈職〈嘉・…・農〉砺
証明 ［15137頁、または［91を参照 口
定理6。17瓢2，3，…，oo，ωとして、亀を1欝の原点での0卜1関数芽のなす環、
mxを￠1，…，妬が生成するεηのイデアルとする。07関数ノ：（IRπ，0）→IRが
ボ⊂臓〈畜・…薇〉鼻＋臓為＋1
を満たせば、任意のα関数g∈m、κ＋1に対し、∫と∫＋gはσ一1同値になる。
証明 ［15138頁、または［9】を参照 □
6．2 アーノルドの標準形定理
この節では、V．1．Amoldによる特異点の分類に用いられた計算法を紹介する。な お、ここで述べる重み付き同次多項式の概念・用語は第5章で既に用いている。
定義6．3重みと呼ばれる、自然数を成分とするベクトルw諏（勤，…，ωπ）を考え る。単項式xu＝姥1・・吻浄（u＝（晦，…，uη））に対し、次式で、単項式の重み付き 次数を定義する：
ordw（xu）ニ〈W，U〉：算ω、U、＋…＋ω凸
重み付き次数が4の単項式の1次結合でかける多項式、すなわち、
Σ Cuxu＝ΣCu￠1u1…鰯翫（で〃1U1＋…＋硬〃ηUη＝4，0u：定数）
u：（w，u〉＝d u
の形にかける多項式を（重みw、重み付き次数が4の）重み付き同次多項式という。
重み付き同次多項式の基本的性質を述べるが、これは定義6．3から容易に得られる。
補題6．1∫（x）を重みw；（町，…，ωπ）、重み付き次数dの重み付き同次多項式とす る。このとき、次が成り立っ。
1。∫（オ卿1の17…，オ卿吻η）＝オd∫（￠1，…，勾
2・（オイラーの定理）ω・￠・器＋…ωπ妬藷一4ノ（￠・，…婦
定義6．4形式的幕級数∫（x）ニΣCuxUに対し、その重み付き位数を次式で定義する：
u
・rdw（ノ）：＝面n｛・叫（xu）lc賜≠0｝
このとき、2つの形式的幕級数ノ，gに対し、次の式が成り立つ。
・rdw（ノ9）＝卯砺（ノ）＋碗w（9）
・rdw（！＋9）≧工血n｛・叫（∫），・叫（9）｝
（観察α1）・i：一（位…｝i，…，・）として・・rdw（xu券）：一〈凧u一・韮〉とおく・こ のとき、ベクトル場
れ
∂
ξ一Σ豪（X）万，ξ￠（X）一ΣC勾uxu
諺＝1 u
に対しても、重み付き位数ordw（ξ）を次のように定めることができる。すなわち、
鴫（ξ）ド血n｛副W（鴫）1伽≠・｝
第6章 付録 同程度特異性問題 123 と約束する。このとき、
π ∂ノ ξ！：一Σ＆x薔
￠＝1とおくと、
07ゐ（ξノ）≧0γ轟（ξ）＋0γ4w（∫）
が成り立つことが確かめられる。
π ∂
［記号1形式騙級数！とベクトル場ξ一Σ綱冨に対し・
葛＝1
ノ（X＋ξ）・＝ノ（∬1＋ξ1（X），・・9，のη＋ξη（X））
とかくことにする。
η変数形式的羅級数環
R［［z1，…｝z胡搾｛Σ砺、，＿擁qg11ヂ・卿勃形式的幕級数1α￠、ヂ怖∈R｝
￠1，…擁
をここでは簡単に云とかくことにし、
ん＝｛ノ∈ノU・7砺（！）≧9｝（9＝0，1，2，…）
とおくと、
．4㍉40⊃》41⊃ゾ42⊃一・⊃践ρ》4⊂i＋1⊃…
なる減少列を構成できる。この記号をのもとで次の補題が成り立つ。
補題6．24＝ordw（∫）かつ、ordw（ξ）＝δ＞0のとき、次を満たすE（x）∈ノ駐＋2δが 存在する：
∫（X＋ξ）・＝∫（X）＋ξ∫（X）＋R（X）
証明 115】41頁、または［171を参照 □ 形式的幕級数ノ（X）ニΣ⊃CuxUに対し、
u
ん（X）一Σ6uxu：鴫（xu）一9 腿
とおけば、4＝OT砺（∫）として、∫を次のようにかくことができる：
ノ（x）＝ん（x）＋ん＋・（x〉＋／d＋2（x）＋…（ん≠0）
ここで、補題6．2を使って次の命題を証明することができる。
命題6．2δ＞0として、xu・，…，xu・を重み付き次数4＋δの単項式とする。この
とき、
∫d＋δ（X）＝一ξん（X）＋Clxu■＋・
を満たすξが存在すれば、
・・ c．x恥 翻w（ξ）≧δ）
ノ（X＋ξ）訟」ら（X）＋ん＋1（X）＋一・＋」㌦＋δ＿1（X）＋Clxu1＋… ＋0アX恥＋R（X）
なるR（x）∈ノ1d＋δ＋1が存在する。
さて、孤立特異点の定義とその性質について述べよう。
定義6。5解析関数∫：（1譜，0）→IRに対し、
M（ノ）詔［［苅，…，妬1／」（ノ），J（ノ）一〈募，・・，農〉
とおく。M（ノ）が有限次元実ベクトル空間のとき、ノは原点で代数的孤立特異点を持 っという。
また、］即の原点の近傍Uが存在して、
｛x∈Ul嘉（x）一…一説（x）一・｝一｛・｝
を満たすとき、！は原点で位相的孤立特異点を持つという。
正則関数∫：（（び，0）→Cに対しても、同様に、代数的孤立特異点、位相的孤立特 異点の概念を定義する。
（注意）1。 ！は原点で代数的孤立特異点を持つならば、位相的孤立特異点を持つこ とが容易に示される。しかしこの逆は、複素数体上においては成り立つが、実数体 上においては成り立たない。
2．実特異点論において、単に孤立特異点と言えば、位相的孤立特異点を指す。一 方、複素特異点論においては、代数的孤立特異点を指すことが多い。複素特異点につ いては、上に述べたように、代数的なものも位相的なものも同値な概念なので、ど ちらの場合にも位相的孤立特異点を単に孤立特異点と呼べばいいのではないかと思 われる人も多いかもしれない。しかし、代数幾何学と深く関連して発展してきた複 素特異点論においては代数的なものを、微分位相幾何学の1分野として発展してき た実特異点論においては位相的なものを強く意識するのは、自然な歴史の流れと思
える。
補題6．30rdw（！）ニ4なる重み付き複素同次多項式ノとordw（ノ ）＞4なる複素多項 式∫ を考える。このとき、∫が原点で代数的孤立特異点を持てば、ノ＋ノ もそうで
ある。
第6章 付録 同程度特異性問題 125 証明 最初に、上の注意1で述べたように、．複素特異点においては、代数的孤立特 異点と位相的孤立特異点は同値であるので、位相的孤立特異点に対して、この補題
を示す。
4 4
3＝｛z識（z・，…，砺）∈釧國町＋…＋圏砺一瓢1｝
とおくと、Sはコンパクトである。
・囎｛m歌｛齢）！…，騰＠） ｝
オ。z：躍（オz、，…，オzη）
とおく。このとき、0＞0であることが次のように示される。もし、0鷲0とすると、
任意の域2，…，ηに対して・1齢聾・なる倉∈Sが存在する・した力弐って・
4 4
騰②1砺＋…＋廃（司瓦一・
となる・任意の重＞・に対して・器がd一ω￠次の重み付き同次多項式であること
から、
4 4
騰（舌・司蔦＋一・＋騰（オ・刎鳳
4 4
一むd｛騰（司颪「＋…＋騰（勾1応／一・
である呪騰（￠・2）1一・（・≦乞≦η）カ§成り軌これは・∈C・が∫の位相 的孤立特異点であることに矛盾している。よって、0＞0が示された。
れ
さて・Sの開集鵠：一｛z∈sli舞（z）1≠・／とおくと・∪匹3である・こ感＝1
れ
のとき、∪＆一sなるqのコンパクト部分集合属が存在する。乞＝1
q 血n｛i器（z） z∈瓦／＞・（1≦乞≦η）
とおくと・｛蕩が4一漱の重み付き同次多項式より、任意の￠（1≦￠≦n）關 し、z∈瓦ならば、
傷（孟・勾i≧α｛（協≧・）
が成り立っ。一方、ordw（ノノ）≧d＋1より、
・rdW（器）≧4＋ト蝋1≦琶≦η）
なので、十分小さな丁乞＞0とα＞0が存在して、z∈3，0＜孟≦％に対し、
齢・z）陣4一
となる。よって、z∈瓦，0＜オ≦T （1≦乞≦η）に対し、