ツ＝
宮＝0 ω
ツ＝舌，劣
∬ z
例えば、
v・ニむ 1，0），v2一ε（1，オ），v3＝ε（1，1），v一ε（0，1）
第6章 付録 同程度特異性問題 129 として、左1（0）の方向とは半時計回りに、v1，v2，v3，v4をとる。このとき、補題6．4 を用いれば容易に次のことがわかる。
向きを保つもの：σ・234一σ34・2一☆，σ234・一σ4・23一÷
向きを反対1こするもの：σ432・一σ2・43一τ鞠，σ32・4一σ・娼2一｝
んは義，躍の01右同値を与えるび級微分同相写像より、五の正の領域、負の 領域をそれぞれ麗の正の領域、負の領域に写さなければならない。このことより、
τ量一☆を得る・したがって・ε一賛ある・ □
（補足）福井氏の本［151では、0＜k壱のもとに定理6，3が示されている。非調和 比の議論をしただけで、上の証明の後半での、正負の領域の保存性を考慮しなかっ たせいである。我々のゼミからの指摘により、福井一Paunescu［26］では、0＜オ＜1の もとで定理が述べられている。
因みに、正負の領域の保離を考慮しなくてもよい01左右髄に関しては、曇τ一 豪となることもあり得り・・＜オく去の鯛でなけれぱ妨なレ㌔
この定理の系として次を得る。
系6・1ホイットニー関数族伍（z，y）｝oくk1は非可算無限個の01同値類を持つ。しか し、1個のび）同値類しか持たない。
0＜オ＜1の特異点はどれも同程度に悪い特異点であると考えられる。関数の特異 点を分類しようとするとき、「同程度に悪い特異点の族を何らかの意味で同じである とみなすにはどうしたらよいか」という問題につき当たる。このような問題を扱う のが同程度特異性間題である。
6．4 ブロー解析自明性定理
この節では、同程度特異性問題に対する解答の一つとして、実トーリック改変を 通した実解析自明性について述べる。
定義6．7改変後実解析自明性
1を開区間とする。（X両識（の1，…，Zη1オ）に関する解析関数F（Xlオ）をとり、解析 関数の族｛五｝后∈1，五（x）ニF（Xlε）を考える。π：（M，E）→（Rπ，0），E識ズ1（0）を
1肥の固有改変とする。
族伍｝ε∈1が固有改変πを通して解析的に自明であるとは、次の条件
（i）ん。（π×信41）＝（π×醐・∬
（五）F・ん（Xlオ）はオに依存しない、すなわち、五・娠X）は孟に依存しない。
を満たす位相同型写像ん：（飛π，0）×1→（1餅，0）×1，（Xlの吟（んむ（x）iオ）と実解析同 型写像H：（M，E）×1→（M，E）×1，（yの吟（葛（y）1孟）が存在するときにいう。
特に、πが実改変とよばれる固有改変で、そのπにこだわらないときには、単に族
｛五｝哲∈1はブロー解析自明であるという。
可換図式を用いてかくと次のようになる。
π×嘱1
（ハ4，E）×1 （IRπ，0）×1
H
んゐ
（Xlオ）吟ん（x）
π×昭1
F
（M，E）×1 （IRη，0）× （Rlηり0）
第1章で述べた欝の原点0でのブローアップも一つの固有改変である。この固有 改変に関して、次のブロー解析自明性定理が知られている。
定理6．4同次形式におけるブロー解析自明性定理（T。C。Kuo1311）
π：（M，珊→（】諮，0），E蹴誓一1（0）を1贈の原点0でのブローアップとする。解 析関数F（Xlオ）を次のように書いておく；
F（X両＝現（Xの＋現＋、（Xlオ）＋…，旋∫
ここで、すべてのg≧4に対し、馬（Xlε）はx＝（笥，…，偲π）に関するg次同次多 項式である。
もし、すべての旋1に対して、初期形式場（X両が位相的孤立特異点を持っと する。すなわち、
｛x∈馴釜（Xl亡）一…一1鶏（x：オ）一・｝一｛・｝（ε∈・）
が成り立っならば、F（Xlオ）は即の原点0でのブローアップπを通して、実解析 自明な族になる。
例6．3定理6．4より、ホイットニーの関数族五（z，ッ）：ニzッ（禦一￠）（鎧一勧），0く孟＜1
はRπの原点0でのブローアップπを通して、実解析自明な族になる。
非退化関数族に対して、次の実トーリック改変を通した実解析自明性定理がある。
第6章 付録 同程度特異性問題 131
定理6．5非退化におけるブロー解析自明性定理（福井一吉永1271）
1を開区間とする。（Xlε）貫（Z1，…，編オ）に関する解析関数F（Xlむ）をとり、解 析関数の族伍｝毒∈1，以x）＝．F（Xlオ）を考える。
ニュートン図形r＋（五）はオ∈1に依存せずに定まり、そのニュートン図形は各 座標軸と交わっているとする。π：（M，助→（1贈，0），E＝ズ1（0）を双対ニュー トン図形r‡（五）の非特異細分として得られる扇に対応する実トーリック改変と
する。
このとき、すべてのオ∈1に対して、解析関数の解析的族伍｝ ∈∫が非退化であ るならば、F（Xl孟）は実トーリック改変πを通して、実解析自明な族になる。
定理6．4の同次形式の場合のブロー解析自明性定理を、実トーリック改変を用いて 重み付き同次形式の場合に一般化されたブロー解析自明性定理が得られている。
定理6．6重み付き同次形式におけるブロー解析自明性定理（福井一Pau且escu［251）
解析関数F（Xl君）を次のように書いておく：
F（Xのニ1駅Xの＋現＋、（Xlオ）＋…，蛇1
ここで、すべてのg≧4に対し、馬（Xlε）はX＝（￠1，…，Zπ）に関する重み付き 次数gの重み付き同次多項式である。
もし、すべてのオ∈1に対して、重み付き初期形式現（Xlオ〉が位相的孤立特異点 を持つとする。すなわち、
｛x∈剛舞（Xl孟）一…一舞（x：亡）一・1一｛・｝（重∈・）
が成り立っならば、F（Xlオ）はある実トーリック改変πを通して、実解析自明な 族になる。
Reference
国石田正典：すうがくの風景2トーリック多様体入門一扇の代数幾何・，朝倉書店
（2000）
121伊原信一郎，河田敬義著：岩波基礎数学選書線型空間アフィン幾何，岩波書店
（1980）
【31弥永昌吉，有馬哲，浅枝陽：詳解代数入門，東京図書（1990）
141内田伏一：数学シリーズ集合と位相，裳華房（1986）
［51小田忠雄：紀伊國屋数学叢書凸体と代数幾何学，紀伊國屋書店（1985）
16］斉藤正彦：基礎数学1線型代数入門，東京大学出版（1963）
【71杉浦光夫：基礎数学2解析入門1，東京大学出版（1980）
181杉浦光夫；基礎数学3解析入門H，東京大学出版（1985）
［9］野口広，福田拓生：復刊初等カタストロフィー，共立出版株式会社（2002）
1101服部晶夫＝岩波全書多様体増補版，岩波書店（1976）
［111堀田良之：数学シリーズ代数入門一群と加群一，裳華房（1987）
1121松坂和夫：集合・位相入門，岩波書店（1968）
［131松澤淳一：すうがくの風景6特異点とルート系，朝倉書店（2002）
1141松本幸夫：基礎数学5多様体の基礎，東京大学出版（1988）
1151吉永悦男，福井敏純：特異点の数理3解析関数と特異点第1部r特異点とニュー トン図形」，共立出版（2002）
1161M・リード，若林功訳：初等代数幾何講義，岩波書店（1991）
［171V．I Amorld，S。M．Gusein。Zade，A．N．Varchenko：Singularities ofd遡erentiable maps，1，11，Birkh菖user（1985，1988）
第6章 付録 同程度特異性問題 133
［181」．Briancon，」．Speder：La triviarit6topologique n，implique pas les conditions de Whitne防C．R Acad．Sci．Paris，280，365−367（1975）
［19］」．Boc㎞ak，M，Coste，M−R Roy：Real algeb面c geometry，Ergebnise der m＆thematik und ihrer Grenzgebiete，36，Sp血ger−VbrlagAnn＆1s（1998）
［20】V．I Danilov：The geometry oftoric varieties，Russian Math。Surveys，33，97−154 （1978）
［21】M．Demazure：Sou餅groupes alg6briques de rang maximum du groupe de Cre。
ノ
mona，Am．Sci．Ecole Norm．Sup，3，507−588（1970）
［2〜l T。Fuk面＝Introduction七〇toric modi丘cations with翫n application to real sinF
gularities，「特異点論とその応用」数理解析研究所講究録1122，96414，京都大 学数理解析研究所（2000）
［231W．Fulton：Introductiontotoricvarieties，Am翫1sofMathematicsStudies131，
Princeton University Press（1993）
［241T．Fukui，S。Koike，T。一C．Kuo：Blow−analytic equi−singularities，probrems and progress，in Real analytic and algebraic singularities（ed．T．蝕uda，T。FUkui，
S．KoikeンS，Izumiya）， Pitm＆nResearch NotesinMathematics Series381，＆29，
Longman（1998）
125】T。Fu：kui，L．Paunescu：The mod迅ed analytic trivializationβor weighted homo−
geneous fmction，」，Math。Soc。Japan，52，433−446（2000）
［261T。FUkuiナL Paunescu：On blow−analytic equivalence，preprint．
［271T。F吐ktd，E，Ybshinaga：The modi貴ed analytic trivialization of撫mily ohe翫1 analytic fしmction，Invent，」。Ma七h．Soc．Japan，82，467−477（1985）
［28】H．Hironaka：Resolution of singularities of am algebraic va血ety over a field of characterisitic zero I，H。，Annals ofMath．，79，109−800（1964）
［291G．Kempf，F．㎞dsen，D．Mumford，B．Saint−Donat：Tbroidal embeddings I，
Lecture No七es in Math。339りSpringer（1993）
［301S、K：oike：Mod迅ed Nash triviahty thorem fbr a family ofzero−sets ofweighted homogeneous polynomial mappings，」．Math。Soc．Jap＆n，49，617−631（1997）
1311T。，C．Kuo：The modi且ed analytic trivialization of singularities，」．Math．Soc．
Japan，32，605−614（1985）