また、r＋（ノ）の各コンパクトな面は次の2つである．
γ1：（0，6）と（2，2）を結ぶ線分 γ2：（6，0）と（2，2）を結ぶ線分
①ッ1に対して、あ、（a，，紗）ニzV−2コoザ＋Ψ6なので、
｛轍ll畷瀦誤め瓢。
とおくと、（5．3）の解は、ッ＝0と曲線の＝ッ2である。
②ッ2に対して、漏（の，び）鶉♂一∬Vなので、
｛奪1灘鵯ず）驚o
とおくと、（5．4）の解は、∬睾0である。
したがって、①より、解析関数ノが非退化な関数ではない。
ここで、半代数的集合の定義と2つの重要な定理を述べる。
z軸
（5。3）
（5．4）
定義5．3冊の部分集合Xが半代数的集合であるとは、Rlπ上の有限個の実多項式
義，ゴ（1≦ゴ≦αづ），g￠」（1≦ゴ≦の，律1，2，…，」が存在して、
ご
X一∪｛x∈Rπ1ムゴ（x）一〇（1≦ゴ≦α蛋）・9瑠＞0（1≦ゴ≦δ重）｝
嬉＝1 とかけるときにいう。
タルスキ・ザイデンベルグの定理
XをRη×盈Pの半代数的集合、p取p：1贈×］RP→飛P，（x，y）ゆyを自然な 射影とする。このとき、P撫（X）は半代数的集合である。
証明 ［191の1．4節参照 日
半代数的サードの定理
Xを1餅の非特異代数的集合、F：1野→贈を多項式写像とし、FのXへの
制限ノ＝＝列x：X→IRPを考える。このとき、∫の臨界値全体の集合σ（ノ）はRP の半代数的集合で、dim O（∫）＜pが成り立っ。証明 ［191の9．6節参照 臼
以上の準備をして、次の定理を示そう。この定理は非退化な関数がたくさんある ことを示している。
定理5．1ニュートン図形のコンパクトな面 γに対し、 γ内の格子点の個数をN（7）
であらわすことにする。さらに、Aの係数空間IRN（7）：算｛（o。M u∈γ｝を考え る。このとき、次が成り立っ；
LZ：一
（Cu） ∈RN（γ）1Σ・ux腫一・は（R＼｛・｝）鴨に槻点をもつ／は ぴモヴIRN（γ）の半代数的集合である。
2．IRN（γ）＼Zは腱N（乍）の中で稠密な部分集合である。
証明 L ZはRN（7）の半代数的集合であることを示そう。まず、多項式関数Aを あ：RN（γ）×1餅→iRとみなして考える。すなわち、（CulX）∈皿N（γ）x I欝に対し、
あ（C皿lX）＝ΣCuxuとおく。次に写像αを次で定義する：
口
α：RN（γ）x（R＼｛・｝）W＋11（Culx）礁嘉，一・舞）
また、次の射影を考える：
ぬN（7）：RN（γ）×（聡＼｛0｝）π→RN（γ）；（・u；x）吟（x）
ここで、写像αの零点集合をZ識α一1（｛0｝），（0∈鰹＋1）とおく。このとき、Zは 代数的集合なので、タルスキ・ザイデンベルグの定理より、Z謹p阪N（．）（Z〉はR鐸（7）
の半代数的集合集合である。よって、1が示された。
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 89
次に、IRN（γ）＼ZはRN（γ）の中で稠密な部分集合であることを示そう。コンパクトな 面ッ内の格子点Uoをとり、固定する。このとき、Aの零点集合｛A二〇｝は（賦＼｛0｝）π 内では、Ou。＝一 Σ Ouxu｝Uoで定義されている。そこで、写像βを次で定義する：
U∈7＼｛UO｝
β：（盈＼｛0｝）η→恥β（x）：一一Σc覗xu｝Uo U∈γ＼｛UO｝
このとき、半代数的サードの定理より、有限個の実数わ1，…，わ．が存在して、わ≠
わ1，…，わ．ならば、β一1（ゐ）は（聡＼｛0｝）πの非特異代数的集合である。よって、Cu。≠
61，…，わ．ならば、｛A＝0｝は（IR＼｛0｝）ηの非特異代数的集合である。 【］
5．2 トーリック改変を用いた特異点解消
ここで、本論文で扱う曲線や曲面の描画法が正しいことを保証する関数の特異点 解消について述べよう。
定義5．4UをIRπの原点の近傍、yを非特異解析多様体、π：γ→Uを解析写像と し、∫：U→Rを解析関数とする。
！VをUの部分集合であるとする。Nが閉集合であり、かつ、いくつかの恒等的 に0でない解析関数の共通零点である、すなわち、解析関数∫1，…，んが存在して、
Nニy（∫1，…，ん）㌻｛x∈u猛（x）誕0｝とかけるとき、κをUの解析的真部分集
合という。
π：y→Uが！：U→IRの特異点解消であるとは、次の条件を満たすときにいう。
1．π：γ→Uは固有改変である。すなわち、写像π：γ→Uは固有写像であり、
かつ、Uの解析的真部分集合ノVが存在して、π：y＼ズ1（N〉→U▽Vが実解析 同型写像である。
2．各点P∈yに対し、Pを中心とするγの局所座標系（ッ1，…， η〉が存在して、
（ノQπ）（徴，…，ッη）＝土寮1 1…ッ許を満たす。
（注意）広中の特異点解消定理（［281）より、すべての解析関数にっいて、その特異 点解消が存在することが知られている。しかしここでは、特異点解消をトーリック 改変で具体的に構成できる特別な場合のみを扱うことにする。
定理5．2 ノ（x）＝ΣOuxuを1欝の原点の近傍で定義されている非退化な解析
ロ
関数、Σを！の双対ニュートン図形r＊（∫）の非特異な細分、τ：XΣ→聡πを実 トーリック改変とする。このとき、Rπの原点の十分小さな近傍Uが存在して、πiズ、（U）：π一1（U）→UはノIU：U→飛の特異点解消である。
証明 η次元非特異凸多面錘σ∈Σに対し、σの生成元a1，…，anをとって、次のよ うに成分表示しておく：
a1＝オ（α17…，α髭〉，…，an＝む（α？7…，α鷺）
また、第3章第1節観察4の注意で述べたようにして、砺と】欝を同一視しておき、
対応する1餅の座標をy＝（ッ1，…，紛であらわす。
ここで、第3章第3節観察3．5の式（3．10）より、写像7r：XΣ→】Rπは砺上、次の 式で定義されていた：
︷
れ ∬1綴91α・…9πα・
曜 5 9
ヱ ル ゆ の のη＝＝91孔●● びη九
したがって、u＝（u1，・一，鋤π）とすると、
∫。π1砺（y〉イ（紗、α1…野π呼，…，ッ、α義…9ηα費）
累ΣCu（ッ・α1…びηα㍗）％1…（ッ・α蓋…ザ発）翫
じ
＝Σ鰯・α1賜・＋。 ＋嚇…〃評％・＋ 佃獅
ロ
臨ΣCuy・（馬a1〉…厚％（馬an〉
ロ
ーツ・ （a1）…穿πε（a聡）ΣCu穿・〈葛a1〉一」（＆1）…〃η〈馬an〉一 （aぬ）
り
である。そこで、ノ・πIU．（y）ニ〆＆■）… ηε（an）姦（y）すなわち、
海（y）：＝ΣCuツ1〈隅a1〉一i（歌1）…野η〈馬an〉｝」（バ）
u
で、ん（y）を定義する。このとき、次が成り立っ。
補題5．1 1を｛1，…，η｝の部分集合とし、
7｝：寓｛y∈砿1防凝0，ゴ∈1，駒≠0，ゴ￠1｝
五＝一｛y∈乃1ん（y）一砿∂綜（y）一9剃
とおく・このとき・∩△（ガ）がコンパクトならば孟一のである。
ゴ∈1
［、4＝のの意園｛y∈0司方（y）＝o｝と乃が横断的に交わることを意味している。
ここで、横断的に交わることをきちんと定義しておこう。
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 91 定義5．5Mを多様体、κ，Lをその部分多様体とする。また、点z∈κ∩Lに対し、
点劣におけるκの接ベクトル空間暁（K）と五の接ベクトル空問器（L）を考える。こ のとき、κとLが点の∈κ∩Lで横断的に交わるとは、鴫（κ）＋島（L）＝現（N）が 成り立つときにいう。
また、任意の点z∈κ∩Lに対し、κとLが点z∈κ∩Lで横断的に交わるとき、
κとLが横断的に交わるという。
1定理52の証明の続きHy∈砺けレ（y）；o｝と7｝力弐横断的に交わるとすると、乃 の各点の近傍において、特異点解消の条件2が従う。よって、非退化性の仮定の下 で、補題5．1を示せば、定理5．2は示されたことになる。 ロ 証明
［補題5。1の証明】
ノ（X）一ΣC・X ・r＋（ノ）の各コンノくクトな面に対しA（X）一ΣC試であった
リ リモケ
から、！のときと同様にして、
A・π1砺（y）一Σ・uツ・〈隅a1〉…びη〈馬an〉
ロモヴ
矧・ε（a1）…びπε（＆n）ΣCuΨ・〈馬a1〉｝ （a1）…穿η〈噛a臨〉姻
せ マ
なので、A・πb．（y）＝μ1 （a1〉…gη∫（an）みσ（y）すなわち、
みσ（y）：一ΣCu穿・〈 1〉一ε（猷1）…ツπ〈馬紋駆〉← （a飾）
ロモマ でA，σ（y）を定義する。
ッー∩△（評）とすると、み．（y）は、駒（ゴ∈1）に依存せず、防（ブ￠1）のみで書か
ゴ∈1
れ、ん防（y）ニゐ，σ（y）であることに注意する。
さて、ゴニ1，2，…，ηに対し、A oπ臨（y）＝扉（a1）…ッπε（＆聡）Aσ（y）より、
∂（染）（y）一」（ガ）〆＠）…騨（評戸…編げ）茄（y）＋ゲ＠）…編鯉）舞（y）
なので、
駒∂（＾謬砺）（y）一徴ε＠）・一除」げ）（轍（y）＋磯f（y））
が成り立つ。これは、yに関する恒等式なので、
夕：＝（駈，…，彿），
とおくと、ゴニ1，2，…，ηに対し、次が成り立っ：
窃∂（A語）（夕）一〆）・一轟」（バ）（」（評）繍〉蛎舞（夕））
こ風全ての澗し窃≠晒び上で注意したことより・廻のとき晦…・
であることから、
脚一｛瑠（夕凶磯f（夕）一・（ブー1，乳…・η）沖
⇔｛嘱∂（あ考1砺諭一・（舛1・乳一・，η）｝一の
が成り軌繊制 暑一が9一〆なので・舞一舜より・
∂ ∂ ∂
燭一面・厩＋…＋幅蘇（ゴー1，2シ…，η〉
である。ここで、（α1）は非退化な行列、すなわち、det（α1）＝土1なので、
r駒∂（！oπ1砺）一・（ゴー1，2，＿，物）が｛y1＿びη≠・｝に解を持っこと」と
防e
rz器一・（ゴー・，2，…，η）力弐｛」りr・ ≠・｝に解を持つこと」1ま同値である。
よって、ノの非退雌より、防∂（f i砺）一・（ブー・，2，＿，η）は｛膨1．，。yn≠・｝
防
に解を持斌特に・｛嘱∂（綜1砺）（童）一・（帰2・…，η）／一のとなるの で、補題が証明された。 □
5．3 ニュートン図形を用いた平面曲線の描画
本節では本論文の主目的の一つである、ニュートン図形を用いた平面曲線の描画 法について説明する。すなわち、非退化な解析関数∫（劣，μ）の零点集合として定義さ れた特異点をもつ平面曲線
Xニ｛（偲，拶）∈R2i∫（z，霧）＝0｝
の原点での周りの局所的な絵を描くことである。
ノ（劣，穿）はの及びgで割り切れないとする。すなわち、！（の，g）＝ザ＋g（z，の＋ザの 形をしているので、ノの二丘一トン図形r＋（ノ）は￠軸及びッ軸と交わる。r＋（ノ）のコ ンパクト面γに対し、Aはある重みw＝（p，g）に関する重み付き同次多項式になる：
A（亀ッ）ニ Σ o砂♂ず （」は重み付き次数）
α，δ：Pα÷φ＝
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 93 このとき、！が非退化な関数となる条件は、次のようにあらわせる二
｛（ρP，ツ）∈聡2i筈（z，ッ）齢（コ9・ツ〉一・｝⊂｛ ・｝
さて、相異なる複素数α1，…，α、と実数cが存在して、あは次のように因数分解され ているとする：
タ
あ（亀穿）瓢C吻もH（ぜ一αμq）eむ
i＝1
（注意） A（ロじ，ッ）はいつでもこのように分解できる。実際、ッに関する1変数多項式 A（1，膨）を複素数の範囲で因数分解すると、
む
あ（1，穿）識cッδn：（yP一α￠）ε