＝（6、一Cα、）V、＋（碗一Cα2）V2＋…＋（わrC偽）Vt となるが、cの定義から各￠に対して、
わ乞 一α （翻毎）≧・
であり、特にbre隔＝0である。これは、vが｛v1，v2，…，Vt｝＼｛Vk｝で生成される 凸多面錘に含まれることを意味しており、｛V1，V2，…，Vt｝の極小性に反する。よっ て、v1，v2，…，Vtが1次独立であることが示された。
V1，V2，・一，V、は4次元凸多面錘σを生成するので、孟≦4であり、V1，V2，…，Vt に1次独立であるように、｛Vt＋1，Vt＋2，…，v．｝から4一オ個の元を付け加えたものを
｛V章1，Vi2，…，V㌔｝とすればよい。 口
2．2 凸多面体
最後に凸多面体について述べる。この凸多面体は、「半空間」である半アファイン 空間の共通部分として定義される。
定義2．7Vを実ベクトル空間、y＊をその双対空問とする。u∈y＊とわ∈IRに対し、
Vの半アファイン空間
葛（Ulδ）：ニ｛V∈y！〈U，V〉≧δ｝
を考える。U1，U27…，Up∈V＊と61，δ2，…，わp∈IRに対し、
∩∬＋（Uil6∂：一｛v∈昭（Ui，v＞≧わ重（卜1，2，…，P）｝
藪篇1
とかける集合を凸多面体という。
凸多面体の諸性質は、凸多面体に凸多面錘を対応づける次の定理を使えば、凸多 面錘の諸性質から導くことができる。
定理2。3 Kをγの凸多面体κに対し、
κ：竃｛（αv，一α）∈γx剰α≧0，v∈κ｝
は凸多面錘である。
定義2．8一般に、図形κの2点v1，v2を結ぶ線分可砺がその図形に含まれる、す なわち、▽あ⊂κとなるとき、κを凸図形という。
yの元V1，V2，…，V．に対し、その凸包を次で定義する：
凸（V1，V27…，Vr）
：畿｛λ1v1十λ2v2十… 十λTvr∈V lλ1十λ2十一・十λ？＝1λ￠≧0，（諺二1，2，一・，r）｝
これは、V1，V2，…，Vrを含む最小のは凸図形である。
43
扇から構成した実トーリック多 様体
この章では、前章で扱った凸多面錘の有限集合である扇から実トーリック多様体 を構成する。さらに、第1章で扱ったブローアップを一般化した実トーリック改変の 概念を導入する。
3．1 実アファイントーリツク多様体
定義3。1整数を要素とするη行η列の行列全体の集合をM（η1：Z）とする。。4∈M（ηlZ）
を次のように表すこととする1
1 2
α1 α11 2
α2 α2 44．竃1 2
α α η πれ
殴 α1
ゆα2 π
一嫡 α
π
この且とxニ（z1，z2，…，zπ）∈1贈に対して、写像伽：即→R符を次で定義
する：
吻（x）：＝Ax
：叢（の、αIZ2αぞ…コPηα墾｝￠1嶢￠2嘘…露η曜，…，Z、α竜2α異…￠ηα鷺）
（観察3．1）孟，β∈M（ηlZ）に対して、写像伽の定義と行列の積から容易に、
火Bx）濫ABx すなわち、吻β＝伽O幹β が成り立っことがわかる。よって、
Φ：＝｛望A：Rπ→］建9「ノ隻∈ハ4（ηlz）｝
とおくと、上のことより結合則が成り立つことが容易に確かめることができる。ま た、単位元として￠E二掘（EはM（ηlZ）の単位行列）とすれば、Φは半群となるこ
とがわかる。
定義3．2非負値整数全体の集合をZ＋とかくことにする：Z＋：＝NU｛0｝
・4＝（α1）∈M（ηlZ＋）に対し、その第ゴ列目の列ベクトルを次のようにおくとする：
砥 ゴ
■：一G2一ε（α｛，α孟，…，α孟）（ゴー1，2，…，鴨）
旋 物
この行列みの行列式det・4二土1となるとき、且の列ベクトルの組（a1，a2，…，a皿）
を非特異な基底であるという。
（観察3．2）。4∈M（ηlZ）の行列式detA驚土1であるということと、且の余因子に注 意すれば、A−1がM（ηlZ）に存在することがわかる。このことより、
A−1Ax＝舶一1X＝Ex累Xすなわち、伽一殖＝伽A一、＝卯E驚嘱
となる。よって、伽の逆写像蠣1が存在して、啄1＝伽．・となることがわかる。観 察3．1とあわせて考えれば、
0（η；尼）：識｛み∈M（η；Z）14ε猛駕土1｝
Φo：＝｛ψA：R％→Rπ1〆1∈0（ηIZ）｝
とおくと、Φoは群になることがわかる。
Rη（X〉でX＝（苅，Z2，…，記η）を座標とするη次元座標空間、聡π（y〉、鰹（Z）でそれ ぞれyニ（y1，び2，…，碗、Z＝（Z1，Z2，…，砺）を座標とするπ次元座標空間をあらわ すこととする。
補題3．1最初の7個が等しい2組の非特異な基底
胆（a1，a2，…，a「，a「＋1，a叶2，…7a駆〉
β＝（a1，a2，… ，a「，b「＋1，b「＋2，・一，b職）
に対して、A，β∈0（ηIZ）と見て定義される写像
ψβ噸：｛（亨・，穿2，…，穿π）∈酬y）紛≠0（ゴ＝T＋1，T＋2，…，η）｝
→｛（z・，z2，…，zπ）∈酬z）陽≠0（ゴ＝7＋1，7＋2，…，η）｝
は実解析同型写像である。
第3章 扇から構成した実トーリック多様体 45 証明 行列Bの（￠，ゴ）余因子を△ゑゴとすると、逆行列の公式とdet．A二士1から、
β一1箪士
△11△21…△π1
△12△22…△π2
△1鴨△2η… △れ範 である。このとき、む（△のβ＝detBEに注意すれば、
書△伽娠一｛1；8義般効、≦り
であることがわかるから、
腕一（。急磯詣） （3・）
とかける。ここで、E．は7次の単位行列、＊．，か．は㌍行η一γ列の行列、0伽．，．はηイ 行丁列の零行列、Cか．，㍗．はη一γ次の正方行列である。したがって、
・λ（y）一鴨一（〃・吾・…，防誌葦ト…・藷．） （a2）
ここで、疏，（2癖＝1，…，7）は＊，，㍗．の第乞行の成分を指数とする〃．＋1，…，飾の単項 式、乃，傷（ゴ＝γ＋1，…，η一丁）はCπザ，㍗，の第ゴ行の成分を指数とする鋳＋1，…，除 の単項式である。
（注意）軌（乞瓢1，…，T）、②（ゴ＝T＋1，…，η一7）になるものはそれぞれ、ち，η寸 の第乞行の成分、C㍗，，㍗．の第ゴ行の成分が非正値整数であるもので、符号を変えて 指数にしていることに注意する。
伽．殖が全単射であることを示そう。そのためには、任意の
z瓢（之、，z2，…，zπ）∈｛（z、，z2，…，zπ）∈Rπ（z）陽≠0（ブニ7＋1，7＋2，…，η）｝
に対し、
y＝・（〃1，ツ2，・一，ツη）∈｛（Ψ1，穿2，・一，野鶴〉∈聡π（y）1防≠0（ゴ＝γ十1，ゲ十2，・一，η）｝
を未知数とする方程式吻一・ハ（y）＝Zすなわち、B−1湾（穿1，〃2，…，μη）＝（Z1，之2，…，砺）
が一意的な解をもてばよいが、これは、（3，1）、（3．2〉より、2っの方程式
o（防＋・・…，翫）一（藷垂ト・…農ヨ）一（ ・…，錫） （歌3）