定義2．40をγの凸多面錘とし、Fを0の部分集合とする。このとき、Fが0の 面であるとは、あるu∈ovが存在して、
F瓢0∩｛u｝⊥＝｛v∈σ1〈u，v〉＝0｝
（ただし、｛u｝⊥：＝｛v∈yi〈u，v＞＝0｝）
となっていることと定義する。このとき、．F K Oとかく。
このuを0の面Fを定義する線型関数という。また、面Fはuで定義される面と
もいう。
（注意）0の面Fを定義する線型関数は通常1つではないことに注意する。
また、特殊な線型関数u＝0（すなわち、任意のv∈σに対して、u（v）＝0）を考 えれぱ、0自身も0の面となることがわかる。よって、0以外の0の面を0の真の 面ということにする。
以下に、凸多面錘の面に関する基本的性質を述ぺる。
命題2．10をγの凸多面錘とし、｛v1，v2，…，v、｝をσの生成系とする：
σ＝盈＋V1＋IR＋V2＋…＋盈＋Vs このとき、
1．任意の面Fイ0と面Fを定義する線型関数u∈0〉に対して、Fは〈u，Vi〉瓢0 となる生成元Viたちから生成される。すなわち、面Fもまた凸多面錘である。
特に、0の面は有限個である。
2．瓦，瑞イ0に対し、且∩馬Kσである。
3．F一くσ、F イFならば、F㌧くσである。
4，0の2つの面跳，乃に対し、易⊂瓦ならば、馬イ且である。
証明
1。 F⊂0であるから、Fの任意の元vに対して、非負値実数砺（乞＝1，2，…，ε）
さ
が存在して、v＝Σα乞Viとかける。
唇＝1
ヨ
ここで・〈uラVi〉≧0（￠一1，2，…，3）かつ〈賎7v〉一Σαゑ〈u，v董〉一〇であるか
ゑコ
ら、〈u，Vi〉≠0なる乞に対して、砺＝0である。〈u，Vi〉＝0であれば、v聾∈Fな ので、Fは〈u，Vi〉＝0となる生成元v重たちから生成される：F＝ Σ R＋Vi 嬉：〈u，v二〉；0 この式は、Fが凸多面錘であることを意味している。
σの生成系｛V1，V2，…，V、｝は有限集合であるから、その部分集合も有限個で ある。よって、0の面も有限個しかないことがわかる。
2． 面F1，角を定義する線型関数をそれぞれ、u1，u2∈ovとする。このとき、
｛u、＋u2｝⊥＝｛v∈γ1〈u、＋u2，v〉＝0｝＝｛v∈昭（u、，v〉＋〈u2，v〉＝0｝
0∩｛u、＋u2｝⊥ニ｛v∈q（u、，v〉＋〈u2，v〉尊0｝
である。ここで、v∈σに対し、〈u1，v〉≧0，〈u2，v〉≧0であることに注意す ると、
0∩｛u、＋u2｝⊥＝｛v∈Olくu、，v〉竃0かつくu2，v〉寓0｝
＝：｛v∈Oi〈u1，v〉＝0｝∩｛v∈Oi〈u2，v〉＝＝0｝
＝（σ∩｛u1｝⊥）∩（0∩｛u2｝⊥）瓢尺∩乃
これは、F1∩巧が｛U1＋U2｝⊥で定義されるσの面であることを意味している。
3． Fがu∈ovで定義される0の面、．F がu ∈FVで定義されるFの面とす
る。必要ならば番号を付け替えて、0の生成系｛V1，V2，…，V、｝に対して、．F が その部分集合｛V1，V2，…，Vd｝で生成されているとする。
十分大きな実数αに対して、ゴ＝d＋1，d＋2，…，sについて、
〈αu＋u ，Vj〉＝α〈U，γ1〉＋〈u ，㌔〉＞0 であるから、
σ∩｛αu＋u ｝㌧｛v∈qα〈u，v〉＋〈u ，v〉瓢0｝
⊂｛v∈Ol〈u，v〉＝0｝算0∩｛u｝⊥諏F となる。さらに、〈αu，w〉ニ0（w∈F）だから、
σ∩｛αu＋u ｝⊥＝｛v∈qα〈級，v〉＋〈u ，v〉＝0｝
篇｛w∈FI〈u ，・w〉＝0｝二F∩｛u ｝柴F である。したがって、．Fノはαu＋u で定義される0の面である。
4。 巧がu2∈σvで定義されるσの面1坊＝0∩｛u2｝よとすると、乃⊂昂⊂σ であるから、
乃二〇∩｛u2｝⊥＝昂∩｛u2｝⊥
となっている。これは、同じU2∈σVで恥は足の面としても定義されている ことを意味している。
〔コ
補題2．12つのyの凸多面錘01，σ2に対し、その和を次式で定義する：
σ、＋σ2：＝｛v・＋v21v、∈0、，v2∈σ2｝
このとき、σ1＋qもγの凸多面錘
第2章 凸体 35 証明 ｛X1，X2，…，XS｝，｛y1，y2，…，yt｝をそれぞれ、σ1，㊦の生成系とすると、
お カ
α＋02一ΣR＋x董＋Σ盈満
￠＝1 ゴ瓢1
であるから、明らかに、01＋qは｛x1，x2，…，Xs，y1，y2，…，yt｝を生成系とする凸 多面錘である。 □ 補題2．22つのyの凸多面錘01，02に対し、次の等式が成り立っ。
1．（0、＋σ2）v識σ、v∩qV 2．（01∩（乃）v鷲σ1v十・（ろ〉
証明 ｛x1，x2，…，Xs｝，｛y1，y2，…，yt｝をそれぞれ、01，C』の生成系とする。
1，補題2．1より、σ1＋σ2は｛x1，x2，…，xs，y1，y2，…，y彰｝を生成系とする凸多面
錘だから、
（01十（ろ）v；｛u∈V＊1〈u，xi〉≧0（歪＝1，2，一噂，8），（u，yi〉≧0（ゴ貫1，2，・一，孟）｝
＝01v∩C壱v となる。
2．上の1と双対定理を使うと、
（01v十〇2v）v＝（σ1v）v∩（02v）v＝01∩（乃 である。よって、両辺の双対錘をとると、再び双対定理から、
（0、∩02）v＝（（0、v＋qv）v）v＝σ、〉＋02v となり、示された。
口
さて、今後よく使われる凸多面錘にっいての記号や概念をまとめて述べておく。
定義2．5γの凸多面錘0に対し、一σ：ニ｛一v l v∈01｝と定義する。
∬（0）：竃σ＋（一σ）と定義する。すなわち、H（σ）は0を含む最小の部分ベクト ル空間である。凸多面錘0の次元をdim O：＝dim監H（σ）で定義する。dim O＃
出m聡γすなわち、π（0）瓢yであるとき、0を非退化な凸多面錘という。
L（0）：＝0∩（一σ）と定義する。すなわち、L（σ）は0に含まれる最大の部分ベク トル空間である。、L（σ）＝｛0｝であるとき、強凸な凸多面錘という。凸多面錘0の
∬（0）内での内点の集合を0の相対内部といい、reLint Oとかく。これは、0のどの 真の面にも含まれない0の点全体である。
補題2．3次が成り立っ
1．（フ↓＝σ〉∩（一〇）v＝石r（0）v 2，（ov）⊥＝L（0）
3．（0⊥）v竃∬（0）
4．（0、＋02）⊥＝0、↓∩0／
5．（0、∩q）⊥＝E（σ、v）＋∬（q〉）
証明
1．双対錘の定義より、
ov∩（一〇）v
＝＝｛u∈VP＊1〈u，v〉≧0，∀v∈0｝∩｛u∈V＊1〈uかv〉≧0，∀v∈一〇｝
＝｛u∈y＊1〈u，v〉≧0，∀v∈0｝∩｛u∈y＊1〈u，v〉≦0，∀v∈0｝嵩σ⊥
となる。また、補題2．2より、ov∩（一〇）vニ（0＋（一〇））v＝E（0）vとなる。
2．1式でσをσvと置き換えて用いると、双対定理より、
（σv）⊥＝（Ov）v∩（一〇v）v＝（0〉）v∩（一（Ov）〉）＝0∩（一σ）＝L（0）
である。ここで、一般に、双対錘の定義から容易に（一〇）〉＝一（0）vが導けるこ とに注意しておく。
3．1と補題2．2、双対定理より、
（0⊥）v＝（σv∩（一〇）v）〉驚（ov）v＋（（一σ）〉）〉＝0＋（一〇）＝E（σ）
である。
4．1と補題2．2より、
0、⊥∩02⊥蹴（0、v∩（一〇、〉v）∩（σ2〉∩（一砺）v）
＝（0、v∩02v）∩（（一〇1）〉∩（一q〉v）
＝（σ1十（ろ〉〉∩（（一〇1）十（一〇2））〉
である。ここで、和01＋02と一σの定義から、（一q）＋（一（ろ）鷲一（01＋￠）
であることから、
σ、⊥∩σ2⊥＝（0、＋σ2）v∩（一（0、＋σ2）〉v＝（σ、＋σ2）⊥
となる。
5。E（σ）の定義、補題2．2と1より、
H（0・v）＋H（αv）＝（0、〉＋（一σ1）v）＋（σ2v＋（一〇2）〉）
二（σ、v＋02v）＋（一（0、v＋02v））＝（0、∩α）v＋（一（σ、∩02）v）＝（0、∩σ2）⊥
となる。