第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 93 このとき、！が非退化な関数となる条件は、次のようにあらわせる二
｛（ρP，ツ）∈聡2i筈（z，ッ）齢（コ9・ツ〉一・｝⊂｛ ・｝
さて、相異なる複素数α1，…，α、と実数cが存在して、あは次のように因数分解され ているとする：
タ
あ（亀穿）瓢C吻もH（ぜ一αμq）eむ
i＝1
（注意） A（ロじ，ッ）はいつでもこのように分解できる。実際、ッに関する1変数多項式 A（1，膨）を複素数の範囲で因数分解すると、
む
あ（1，穿）識cッδn：（yP一α￠）ε
さて、∫のニュートン図形r＋（ノ）の1次元コンパクト面γを考える。3，（γ）内に ηε、，ε、（あ）個の点を取り、原点の側では｛プーα拶9鷲0｝の対応する半分岐に近似され
るように、それぞれの点と原点とを曲線で結ぶ。
③このような操作を！のニュートン図形r＋（ノ）の各1次元コンパクト面γに対して 行えば、X誕｛（の， ）∈鮮げ（の， ）＝0｝の原点での周りの局所的な絵を描くことが できる。
例5．3 非退化な解析関数ノ（∬， ）＝z5−z2 2＋炉＝0で定義された平面曲線の原 点での周りの局所的な絵を描こう。
ハ①例5。1より、ノのニュートン図形r＋（∫）は図のようになるので、P卜＋（ノ）は次のよう になる。
②③r＋（∫）のコンパクトな面は、次のものである：
γ1：（0，5）と（2，2）を結ぶ線分，γ2：（5，0）と（2，2）を結ぶ線分
γ1に対して、A、（露， ）＝z2 2＋y5ニッ2（♂一 3）なので、A、（の，g）ニ0は、｛（欝，ッ）∈
1R2ゆ＞0， ＞0｝と｛（z，ッ）∈駅2ゆ＜0，Ψ＞0｝に、1つずつ半分岐をもつ。
72に対して、み、（z， ）瓢が一♂ず＝必2（♂一舘2）なので、あ，（劣， ）＝0は、｛（z，y）∈
盈2ゆ＞0，y＞0｝と｛（灘，ッ）∈］R21∬＞0，ッ＜0｝に、1つずつ半分岐をもつ。
Sε（ 紛，（￠＝1，2）内にη，、，，、（A、），（乞瓢1，2）個の点を取る。原点の側では、γ1に
対しては♂一ッ3の対応する半分岐に近似されるように、γ2に対しては♂一ン2の対 応する半分岐に近似されるように、それぞれの点と原点とを曲線で結ぶ。このよう
にして、原点の近傍での∫一1（0〉の絵が描ける。
（参考）∫（￠，ッ）＝コp5−z2ず＋ず＝0のグラフの概形を描こう。オをパラメータとし て ＝伽とおき、これをノ（の，ッ）瓢0に代入すると、
￠4｛説2一オ2＋鵬0｝
を得る。これを￠ついての方程式とみると、解は オ2
zニ0，の＝ （孟≠一1）
1十孟5
オ3したがって・y一 （げ一1）であるので・孟一一・。，一・一〇7−1＋0｝。。の場 合を考えれば、グラフの概形がわかる。
ツ
1im一二1imオ諏一1
￠→一1：土O Z む→一1±0
オ2＋ε3 重2 1 hm叙＋コP＝五m ニhm ＝一
舌→一1±o 孟→一・土01＋オ5 む→一1±01磁＋ε2イ3＋オ4 5
ゆえに漸近勧＋z一壱の近くにz→土・・のときのグラフがある・野枕一一吉
の符号を調べると、このグラフはッ＋z二告の上側にあることがわかる。第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画
5 2
5 ︵∠
y軸
r＋（∫）
γ1
ツ2
穿軸
ε（r＋（∫〉）
z
2 5 の軸 膨軸
左図の太線が原点の近傍でのヂ1（0）
z軸 y軸
γ1
ツ2
r＋（∫）
の軸
z軸
95
2 5
左図の太線が原点の近傍でのヂ1（0）の絵
ノ（z，のニ￠5−z2ず＋炉＝0の概形
〃
ε→＋0のとき、穿〜オ3，劣〜オ2
オ→ooのとき、y〜ポ2，￠〜ポ3 ε→一〇〇のとき、亨〜ポ27z〜ポ3
劣
1
ツ黎一￠十下
5．4 ニュートン図形を用いた空間曲面の描画
本節において、本論文の最終目的である、ニュートン図形を用いた空間曲面の描 画法について説明する。すなわち、解析関数ノ（z，観，之）の零点集合として定義された 特異点をもつ空間曲面
X二｛（￠，亨，2）∈IR3げ（コr，Ψ，之）隣0｝
の原点での周りの局所的な絵を描くことである。
しかし、すべての解析関数！（z，ッ，z）瓢0の空間曲面が描けるのではなく、ノ（z，ッ，z）
が次のような場合に限り考察する。
定義5．7多項式∫（の，膨，z）が単体的3項式＊であるとは、次の条件を満たすときに いう1
！のニュートン図形r＋（！）の全てのコンパクトな2次元面7に対し、ゐは3つの 単項式からなる式、すなわち、3項式である。
ここで、あは重み付き同次多項式でもあり、7は三角形であることに注意しよう。
（注意）単体的3項式は埼玉大学の福井敏純氏によって導入された概念で、英語名が 付けられていなかったが、最近、シドニー大学名誉教授Tzee−Char Kuo氏により、
simplicial tri−monomialsと英語訳が与えられた。
例5．4ノ（z，劉，z）ニコr8＋ 8＋♂＋α￠3ずz篇0（α≠0）とする。まず、∫（z，穿，之）＝0 のニュートン図形r＋（∫）は図のようになる。
∫（灘，g，〜）＝Z8＋ッ8＋♂＋α〆ずZのニュートン図形r＋（∫）
z軸 8
γ3
γ11
。ノ・牧3丁2
γ
9軸
軸
ここで、r＋（ノ）のコンパクト面は次のようになる：
γ1；（8，0，0），（0，0，8），（3，2，1）を頂点とする三角形 γ2：（8，0，0），（0，8，0），（3，2，1）を頂点とする三角形 ッ3：（0，8，0），（0，0，8），（3，2，1）を頂点とする三角形
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 97
よって、
A1＝￠8＋Z8＋αZ3ッ2βA2可8＋叙8＋α吻2ZA3＝ツ8＋β8＋αω3ツ2Z よって、∫は単体的3項式である。
例5．5∫（劣，ッ，z）二♂＋彩16＋z16＋z5♂＋♂〆二〇とする。まず、∫（z，ッ，之）二〇の ニュートン図形r＋（ノ）は図のようになる。
∫（劣，g，Z）＝￠8＋〆＋之16＋〆Z6＋♂ Z3のニュートン図形r＋（ノ）
z軸
（5，0，6）
16
γ3
313 16 ツ軸
γ2
8の軸
ここで、1「＋（∫）のコンパクト面は次のようになる。
γ1＝（8，0，0），（0，0，16），（3，1，3）を頂点とする三角形 72：（8，0，0），（0，16，0），（3，1，3）を頂点とする三角形 γ3：（0，8，0），（0，0，16），（3，1，3）を頂点とする三角形 よって、
あ、＝の8＋之16＋Z5Z6＋ゐ23あ2棚8＋ツ16＋晦之3あ3＝紗16＋之16＋ゐZ3 となるが、漏は3項式でない。よって、∫は単体的3項式でない。
以上のことからわかるように、単体的3項式とは、r＋（∫）のコンパクト面7がすべ て三角形で、その三角形γは自身の頂点以外、r＋（∫）の頂点を、ッの辺や面に含まな いことである。
それでは、ニュートン図形を用いた空間曲面の描画法をまとめておこう。多項式 ノ（記，穿，之）は単体的3項式で、ノのニュートン図形r＋（∫）は、原点を中心とする十分 大きな球の外側で第一象限と一致するとする。
①￠＝1，2，3に対し、ε￠：＝土1とし、ε＝（ε1，ε2，ε3）とする。ここで、次の鏡映変換 を考える：
3ε：罠3→独3，（の1，T2，コ93）吟（ε、￠、，ε2∬2，ε3￠3）
∫のニュートン図形r＋（∫）の8蕊23個のコピーS，（r＋（∫））たちを、第4章第3節の
ム ハ
方法で貼り合わせて、丹＋（ノ）を作る。毎÷（ノ）：丹＋（ノ）→IR3を4章のように構成した 向き付き実トーリック改変とする。
②9を（毎＋（∫））一1（ノ｝1（0）∩（盈＼｛0｝）3）の∫｝＋（ノ）内での閉包とする：
9：一c1丹＋（∫）（毎＋（ノ））一1（ノー1（・）∩（濫＼｛・｝）3）
さて、ノのニュートン図形r底ノ）の2次元コンパクト面7とその頂点u＝（％1，％2，％3）
を考える。各εに対し、S，（u）はS，（ッ）の頂点である。この頂点S，（u）に符号Cuε呈・ε穿εぎ3
を対応させる。このとき、
ハ
13。（ッ）の3つの頂点につく符号がすべて同じとき、γは私∩瓦（r＋（∫））とは交わらない。
ム
五S。（γ）の3つの頂点につく符号がすべて同じではないとき、yと乃∩瓦（r＋（∫））の交わりは、三角形S，（γ）のなかの次のような絵で記述される。
yと茗∩具（r＋（！））の交わりハ
平
（複号同順）
± 干
ハ
③このような操作を珊＋（ノ）のすべてのコンパクト面ッに対して行い、｛A＝0｝の絵 を対応する8つのS，（P＋（！））の面の中に描き、原点を頂点とする（定義式の情報から 得られた、ある種の）錘をとれば、X＝｛（諮，叙，z）∈R3げ（コp，Ψ，z）嵩0｝の原点での 周りの局所的な絵を描くことができる。
以下に、上に述べた描画法の具体例をあげる。この例は、私が構成したものであ るが、式が単純であっても、パラメータ孟の変化により、ニュートン図形と零点集合 の位相的な形状がどのように変化するかを興味深く考察した。
例5，6鼠z，穿，z）＝♂＋〆＋z8＋（1一オ）♂y2z＋勧ッ3♂＋勧2〆（0≦オ≦1）の零 点集合の原点での周りの局所的な絵を描く。
（観察）五（一諮，一シ，一2）＝鼠コo，ッ，z）が成り立つ。よって、この曲面は原点に関して 対称となるから、｛z≧0｝の部分だけ調べればよいことがわかる。
1オ＝0のとき、すなわち、ゐ（の，g，2）＝♂＋〆＋z8＋♂ 2z＝0の原点の近傍
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 99
でのκ1（0）の絵を描こう。まず、あ（￠，ッ，z）ニ0のニュートン図形r＋（ゐ）は図のよ うになる。
ん（￠，び，Z）＝コじ8＋y8＋Z8＋ZVZのニュートン図形r＋（ん）
z軸 8
1ツ3
711 む軸
．！！￠，2，1 ρ一ノ！γ2
8
軸ここで、r＋（ん）のコンパクト面は次のようになる。
ッ1：（8，0，0），（0，0，8），（3，2，1）を頂点とする三角形 ッ2二（8，0，0），（0，8，0〉，（3，2，1）を頂点とする三角形 ッ3：（0，8，0），（0，0，8），（3，2，1）を頂点とする三角形 よって、
A、剛8＋Z8＋殉2之，あ2＝の8＋ツ8＋殉2之，あ3矧8＋名8＋吻2Z ゐのニュートン図形のコンパクト面％とその頂点に符号を対応させる。
f71 = x8 + z + x3y2z
(o, O, 8) (‑8, O, o) (‑8, o, O) (o, o, 8)
(3, 2, l)
(‑3, 2, l)
(‑3, ‑2, l)
f ,
(3, ‑2, l)
(8, o, o) (0,0,8) (o, o, 8) (8, o, o)
c = (1, l, l) e = (‑1, l, 1)
1 , 18 , Io , Io > + I ･ (‑1)8 , Io . l ･ Io . Io . 18 + I ･ (‑1)o , Io .
l,13,12.11 + I ( l)3 12
fry2 = x8 y8 + x3y2z
(3, 2, l)
(o, 8, o) (‑8, o, O)
10 H>+
18 + ll H*‑
e = ‑1g 1, l)
l ' (‑1) ' (‑1)o . Io H> + l ' (‑1)o. (̲1)o . 18 +
3 l (‑1) ' (‑1)2 .ll ̲
e = (1, ‑1, 1)
O
1 ･ 18.(‑1) ‑O 1･10. (̲1) ‑
l･ I ･ (‑1)2 .
3
(‑8, o, o)
lo + 18 + ll +
(o, ‑8, o)
(3, ‑2, 1)
(‑3, 2, 1) (‑3, ‑2, 1)
(8, o, o) (o, 8, o) (o, ‑8, o) (8, o, o)
e = (1, l, l) l ･ 18 . Io . Io , + l ･ Io . 18 . Io +
1･13.12 I1 +
e = (‑1, l, l)
1 ･ (‑1)8 . Io . Io . + l ･ (‑1)o . 18 . Io . + l ･ (‑1)3 . 12 . 11 HF ̲
e = (‑1, ‑1, l)
1 ' (‑1)8 . (‑1)o . Io + l ' (‑1)o . (̲1)8 . Io H, + l ' (‑1)3 . (‑1)2 . Il ̲
e = (1, ‑1, 1)
l . 18 . (‑1)o . Io + 1 . Io . (̲1)8 . Io F + l . 13 . (‑1)2 . Il +
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 101 ん3ニツ8＋之8＋吻2之
（0，0，8）
（0，8，0）
（一3，2，1） （一3，一2，1） （0，一8，0）
（0，0，8）
（3，2，1）
ε＝（1，1，1）
1・10・18・10→十 1・10・10・18→十 1・13・1241→＋
（0，0，8） （0，870） （0，一8，0）
十十一
↓↓↓
08 1 11唱⊥︶ ． ︐180 2︐111ε111 ＝︷ぺ︷ ︵︸一一 一111 L︐ジ諭ブブ
1
（0，0，8）
ε編（一1，一1，1）
1・（一1）o・（一1）8・10→＋
1・（一1）o・（一1）o・18・→＋
1・（一1）3・（一1）2・11→一
（3ンー2，1）
＋＋十 ↓↓↓ 081 111⇒兇ヂ距︐111丹↑↑↑
仏銑軌3︒ 111＝．・●ε111
z≧o｝ 一8
一3， （一
1︶
｝
，一・1（3，2，
8必軸
レ軸
｛z≦o｝
一一
一3， 21（一，
1︶
一
（3，
1︶
（3，，
8ω軸
紗軸
上の図の｛塩隷0｝の絵と原点を頂点とする錘をとると、痘1（0）の原点の周りでの 近似的な絵は下図のようになる。
0
y軸（0，0，00）に視点をおいて原点付近をみたもの 太線は移≧0｝内にあり、細線は｛之≦0｝内にある
z軸
H舌＝1のとき、すなわち、∫1（の，ッ，z）＝z8＋ジ＋z8＋￠g3之2＋♂〆ニ0の原点 の近傍での∫f1（o）の絵を描こう。まず、五（z，穿，z）＝oのニュートン図形r＋（！1）は 図のようになる。
z軸
穿5
（21｝3y ・
γ1！
，・ 2
γ3
8
ツ4
・．．三（1，3，2）
かり一一一，．．−．り．
8
ツ軸瓶
ここで、r＋（ノ1）のコンパクト面は次のようになる。
71：（8，0，0），（0，0，8），（2，1，3）を頂点とする三角形 γ2：（8，0，0），（2，1，3），（1，3，2）を頂点とする三角形 γ3：（8，0，0〉，（0，8，0），（1，3，2）を頂点とする三角形 γ4：（0，8，0），（0，0，8），（1，3，2）を頂点とする三角形 γ5：（0，0，8），（2，1，3），（1，3，2）を頂点とする三角形 よって、
あ、㌶8＋β8＋殉Z3，あ2＝￠8＋ゐZ3＋ザZ2，ム3剛8＋ザ之2＋〃8 あ4＝ッ8＋之8＋ザ之2，右，瓢Z8＋晦Z3＋ザ之2
／1のニュートン図形のコンパクト面％とその頂点に符号を対応させる。
5 : :::a h /' l /'/' V ;; ] lt･‑* :O) 1 { 103
flrl :=: x8 + z8 + x2yz3
(o, o, 8) (‑8, o, o) (‑8, o, o) (o, o, 8)
(2, 1, 3)
(2, ‑1, 3) (‑2, l, 3)
(‑2, ‑1, 3)
(8, o, o) (o, o, 8) (o, o, 8) (8, o, o)
c = (1,1, 1) c = (‑1,1,1) e = (‑1 ‑1 l) c = (1,‑1, l)
l ' 18 . Io . Io + I ' (‑1)8 . Io . Io H> + I ' (‑1) . (1 l)o . Io , + I ' 18 . (‑1)o . Io + l ' Io . Io . 18 + I ' (‑1)o . Io , 18 . + I ' (‑1)o . (̲1)o . 18 + I ' Io . (̲1)o . 18 F +
l ' 12 , Il ' 13 + I ' 12 . (‑1)1 ' 13
1 ' (‑1)2 . Il . 13 + I ' (‑1)2 . (‑ 1)1 ' 13 ‑‑
2 3 flr2 = x8 + x yz + xy3z2
(1, 3, 2) (̲8, o, o) ( 8, o, o) (1, ‑3, 2)
(2, l, 3
(2, ‑1 , 3)
(‑2, l, 3)
(‑2, ‑1, 3)
(8, o, o) ( 1, 3, 2) (‑ l, ‑3, 2) (8, o, o)
e = (1, l, l) l ' 18 . Io . Io + I ' (‑1)8 . Io . Io + ‑‑(̲1) . (1 l)o . Io + I ' 18 . (‑1)o . Io + e = (‑1, l, l)
(‑1 ‑1 l) e = (1,‑1,1)
l ' 12 . 11 ' 18 1 . (‑1)2 . (‑1)1 . 13 ‑ I ' 12 . (‑1)1 ' 13
l . (‑1)2 . Il . 13 H> +‑
>+
1 . Ii ' 18 . 12 + I ' (‑1)1 . 18 . 12 ‑ I ' Il ' (‑1)3 . 12 > ‑
l ' (‑1)1 . (̲1)3 . 12 +f73 = x8 + y + xy3z2
(1 , 3, 2)
(0,8,0) (‑8, o, O) (‑8, o, o) (O, ‑8, o)
(1, ‑3, 2)
(‑1, 3, 2) (‑ l' ‑3! 2)
(8, o, O)
c = (1, l, l) l ･ 18 . Io , Io H> + 1 , Io , 18 . Io HF +
l,ll.13 12 .1 T
(o, 8, o)
e = (‑1, 1, l)
l ' (‑1)8 . Io . Io + l ' (‑1)o . 18 . Io + 1 ' (‑1)1 ' 13 . 12 ‑
(o, ‑8, o)
e = (‑1, ‑1, l)
l ' (‑1)g ' (‑1)o . Io + l ' (‑1)o . (̲1)8 . Io + l ' (‑1)1 . (̲1)3 . 12 +
e = (1, ‑1, l)
O
1･ 18 . (‑1) ‑8 1 ･ 10 . (̲1) ‑
3
1･11.(̲1) ‑
10 +
10 H + 12 ‑
(8, o, o)
f74 = y8 + z8 + xy3z2
(o, o, 8)
(o, 8, o)
(‑1, 3, 2) (‑1, ‑3, 2) (o, ‑8, o)
(o, o, 8)
(1 , 3, 2) (o, o, 8) (o, 8, o) (o, ‑8, o) (O, o, 8) (1 , ‑3, 2)
e = (1, l, l) l ･ Io , 18 . Io ̲> + l ･ Io . Io , 18 +
l･1i･13 12 +
c = (‑1, 1, l)
l ' (‑1)o . 18 . Io + 1 ' (‑1)o . Io , 18 HF + 1 ' (‑1)1 , 13 , 12 ‑
c = (‑1, ‑1, l)
l ' (‑1)o . (̲1)8 , Io HF + 1 ' (‑1)o . (̲1)o . 18 + l ' (‑1)1 ' (‑1)3 , 12 > +
c = (1, ‑1, l)
8
1 ･ 10 . (̲1) ‑O
l･lO . (̲1) ‑S l･ll.(̲1) ‑
lo + 18 + 12 ‑
fry5 = z8 + x2yz3 + xy3z2
(O, O, 8)
(1, 3, 2)
(2, l, 3)
(‑2, 1, 3) (̲2, ̲1, 3) (O, O, 8)
(‑1,3,2)
(‑ 1, ‑3, 2) (1, ‑3, 2)
(O, O, 8) (O, O, 8) (2, ‑1, 3)
e = (1, l, l) l ･ Io . Io . 18 + 1 ･ 12 . Il ･ 13 F +
l･ll･13 12 +
e = (‑1, l, l)
l ' (‑1)o . Io . 18 . + l ' (‑1)2 . Il ' 13 + 1 ' (‑1)1 ' 18 . 12 ‑
e = ‑Id 1, l) l ' (‑1) ' (‑1)o . 18 +
l ( l)2.(‑1)1.18 ‑
l ' (‑1)1 ' (‑1)3 . 12 +
e = (1, ‑1, 1)
o
l' Io . (̲1) ' l ' 12 . (‑1)1 .
3 l'll.(̲1) '
18 + 13 ‑ 12 ‑
第5章 ニュートン図形とそれを用いた曲面の描画 105
乞≧o｝ 一8
（2，1，
，
｝ ）
一8
， （1，3，
︶1︐3
8z軸
9軸
〜≧o｝ 一8
（一芦1，） （2，
（一 一3，2）
｝ ｝
，3，
一1，） ，1．3
8の軸
ツ軸
上の図の｛A＝0｝の絵と原点を頂点とする錘をとると、ノf1（0）の原点の周りでの 近似的な絵は下図のようになる。
（0，0，00）に視点をおいて原点付近をみたもの 太線は｛之≧0｝内にあり、細線は｛之≦0｝内にある
y軸
z軸
班・＜オ＜・のときであるが、孟一壱としても一鰭を失わなレ㌔すなわち・
1 1 1
∫押z）一z8＋ツ8＋z8＋7コP3ツ2z＋趣2＋デ2がz3＝0
の原点の近傍でのノマ（0）の絵を描こう。まず、ノ1（￠脇z）＝0のニュートン図形 亨 7
r＋（∫1）は図のようになる。
7
z軸∫
（21β貰 ・
ツ・／1
．〆 ！ 〜 一
ツ2 ！！
ノ 3
8
惚
了！！．．塾．一．讐，・一一・・9・・p 。 一 一犀 一8
（3，2，1）
8
z軸
ここで、r＋（ノ1）のコンパクト面は次のようになる。
7
γ1：（8，0，0），（0，0，8），（2，1，3）を頂点とする三角形 γ2：（8，0，0），（2，1，3），（3，2，1）を頂点とする三角形 γ3：（8，0，0），（0，8，0），（3，2，1）を頂点とする三角形 ％：（0，8，0），（3，2，1），（1，3，2）を頂点とする三角形 ％：（0，8，0），（0，0，8），（1，3，2）を頂点とする三角形 ッ6：（0，0，8），（2，1，3），（1，3，2）を頂点とする三角形 γ7：（3，2，1），（1，3，2），（2，1，3）を頂点とする三角形 よって、
1 1 1 1
あ・一￠8＋Z8＋ブ2ツZ3識一￠8＋デ2ツZ3＋デ3ツ2赫3−Z8＋穿8＋デ392Z
ッ軸ツ5
知（1，3，2〉