ツ2 の3夏3 劣2
α∈Z＋とし、4点（0，0），（1＋α，0），（0，1），（1，1）の凸包を△とする1
△＝凸（（0，0〉，（1＋α，0），（0，1），（1，1）） このとき、△と対応する扇Σ△は、
Σ△菖｛0フσ1，σ2，σ3，σ4，σ12，σ23，σ34，σ14｝である。ただし、
0二（0，0），σ、ニR＋（1，0）＋恥（0，1），σ2二飛＋（0，1）＋R＋（一1，一α），
σ3＝R＋（一1，一α）＋R＋（0，一1），σ4＝恥（0，一1）＋R＋（1，0），
σ12：＝IR＋（0，1）， σ23＝IR＋（一1，一α）， σ34ニR＋（0，一1）， σ14二飛＋（1フ0）である。
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体 77
1
0
み
△
qp
1
9
1十α
σ23 『α
よって、
可＝恥（1，0）＋R＋（0，1），σ｝＝恥，（一1，0）＋IR＋（一α，1），
曜＝R＋（一1，0〉＋恥（α，一1），曜＃恥（0，一1）＋恥（1，0）
このことから、
砺、は（物， 1）を座標とする平面R2（＝（X，｝り），
砺，は（物，y2）を座標とする平面］R2（ニ（X｝1，X一αγ）），
0レ，は（鞠，ッ3）を座標とする平面R2（＝（X一1，Xαy−1）），
防、は（の4，g4）を座標とする平面R2（翼（X，P1））である。
これらは、ヒルツェブルフ曲面の貼り合わせの関係式を満たし、砿は実ヒルツェブ ルフ曲面である。
Σ△
彩︑多多
『
一
α
偲
ここで、射影的実トーリック多様体という名前の由来について述べておく。
（観察4．1〉射影的実トーリック多様体砿は実射影空間に代数的に埋め込める。
このことについて事実だけ述べる。凸多面体△をMの有限集合の凸包とし、
△∩M＝｛Uo，…，u．｝とおき、dim△＝磁m醗晦＝ηと仮牢する。
Fを△の面とすると、UF∈F∩Mに対し、UrUF∈σ》∩Mなので、P∈0命
に対し、値P（鉛賦i噸F）が意味を持ち、比φF（P）：＝IP（ザ〇一UF）：…：P（zu・一UF）1の
各成分が一斉には零にならない。この比はUFの取り方によらずに決まる。
また、P∈U娠∩砺．、のとき、φ猷P）＝φ乃（P）なので、これにより、射影的実 トーリック多様体砿から7次元実射影空間P（罠）への埋め込み写像φ：私→P「（飛）
が定まる。
さらに、次の定理を証明なしで述べる。詳しくは、小田151，Danilov［20】，Fulton［231 を参照のこと。
定理4．1射影的実トーリック多様体砿が非特異多様体ならば、観察1で考察し た埋め込み写像φ：1㌔→P7（R）は閉写像である。
私が非特異多様体でないときでも、自然数αに対し、α△：＝｛αu l u∈△｝とおく と、Σα△＝Σ△なので、鑑△＝砿である。α△の格子点を用いて、上と同様にして、
写像φ：島△→Pγ（R）を考えることができる。このとき、次の定理を得る。
定理4．2射影的実トーリック多様体鉱が必ずしも非特異多様体でない場合で も、十分大きな自然数αが存在して、φ：鑑△＝P五→P7（R）は埋め込み写像に
なる。
4．3 モーメント写像と向き付きトーリック改変
まず、モーメント写像を定義する。
定義4。6有限個のu1，…，Um∈Mに対し、△を娠内での｛u1，…，Um｝の凸包と する：△＝凸（U1，…，Um）。
Fを△の面とすると、UF∈．F∩Mに対し、Ui−UF∈σ》∩Mなので」Ui−UP∈RσF である。よって、P∈砺Fに対し、P（￠U董畷F）∈Rとなる。
さて、P∈σレFに対し、
lP（zu1心UF）iu1＋…＋1P（zU UF）恒m
μF（P）＝＝ （4ユ）
ip（￠U1−UF）i＋…＋！P（諮U UF）i
とおくと、これはUF∈F∩Mの取り方によらずに決まるので、写像μF：0命→ぬ
が定まる。
また、P∈0娠∩砺．、のとき、μ恥（P）瓢μ地（P）も容易に確かめられるので、
これらの写像を貼り合わせることができ、写像μ：私→！レ娠が定まる。この写像 μ：砿→娠をモーメント写像という。
（注意）面Fを明示する必要がないときは、（4．1）を次のようにかく：
Izu11U・＋…＋1￠UmlUm
μ（z）：篇 ，z∈砿 （4．2）
i￠U刊＋…＋1のUml 凸多面体△の面．Fに対し、
碓＝一｛P∈の．lp（￠ ）≧0，∀u∈σ｝∩M｝，松：一∪碓
F一く△
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体 79
とおく。また、
Orb＋（σF）：ニ｛P∈UぴF iP（詔u）＞0，∀u∈σ歩∩ハ4かつP（￠u）＝・0，∀u￠σ歩∩ノ、4｝
とすると、自然な分割碓罫H：Orb＋（σ角）が存在する。
ガェ くで
（42）において、μ（￠）のUiの係数の和は、1となるので、μ（の）⊂凸（u1，…，Um）
となることがわかる。
補題4。5u1，…，u．∈Rπが飛πを張り、0瓢恥u1＋…＋恥u．が強凸な多面錘 とする。このとき、自然対数eと定数c1＞0，…，c．＞0に対して、次で定義される 写像
ヂ
F：晒飛π，F（X）：一ΣC歪ε〈u量⑳Ui（X一（∬・7…，のη）∈Rπ）
嬉＝1
は、F：Rη→lnt（σ）の実解析同型写像である。ここで、Int（σ）はσの内部である。
証明 ηに関する数学的帰納法で示す。
（1）η＝1のとき、u1，…，u．∈Rなので、
ヂ
F：B→R，F（∬） Σ⊃cσe Ui（∬∈飛）
＝1
ア
であり、F （の）罫Σ解Ui￠Ui2＞なので、F（z）は単調増加であることから、明らか 蛋＝1である。
（∬）一般のηに対して示す。Ukニ（晦，1，…，娠，処）∈lRη，κ＝1，…，Tと成分表示 し、Fの第￠成分を現かくと、
∂瓦 「
可＝苔cκe〈鞠x〉鉱噛
なので・Fのヤコビ行砺一（舞）2」一、門のは・対称行列であるが・
ア
Xみ￠X一ΣCκeく咽〈Uk，X〉2
ん江1
が成り立っので、正値対称行列である。よって、Fのヤコビアンdetみ（x）≠0で
ある。
さて、Fが単射であることを示そう。異なる2点x，x ∈Rηに対し、F（x）＝F（x 〉 と仮定して矛盾を導こう。適当に座標変換をFに合成して、xとx を含む直線Lが
コp1軸に平行であると仮定してよい。このとき、昂をLに制限した理Lは単射でな
い。 しかし、
ア
瓦IL（z1）＝Σ4κε勉為・両娠，1，娠＞0：定数 尭＝王
となるが、（1）より、これは単調増加関数であるから、単射となり矛盾が生じる。よっ てFが単射であることが示された。
次に、F（IR穐）瓢Int（0）を示そう。そのために、次の3つに分けて示すことにする。
①F（Rπ）⊂0が成立する。
②各乞＝1，…，バこ対し、1R＋u量⊂c1．F（Rη）となる。ここで、c1F（灘）はF（Rπ）の IRπにおける閉包である。
③F（冊）は凸図形である。
①は明らかので、②を示そう。￠＝1として示せば十分である。u2，…，Ukのうち、
いくつかはu1と同じ方向のベクトルかもしれないので、番号を付け替えて、次のよ うに仮定してよい：
馬一
停ま異なる方向のベクト，レ蹄鴨 定数）
このとき、
プ
F（X）一（C・＋C2α2εの＋…＋Cmαmεαm）eく姻U・＋Σ曜Uk⑳Uk ゐ鶉m十1
となる。また、0は強凸な多面錘なので、次を満たすv∈冊が存在する：
︷
〈u、，v〉＝0
〈Ui，v＞＜0（乞＝m＋1，…，κ）
このとき、w∈Rηに対し、次が成り立っ：
五mF（むV＋W）＝（・、＋C2α2εα2＋…＋C㎜αme砺）ε〈叩・〉U、
君→o◎
W d贈を変化させると、U1の係数はR＋全体にわたって動く。よって、R＋U1⊂
c1F（Rπ）となる。
③を示そう。凸図形の定義から、任意の直線」⊂Rηに対し、狛F（冊）が連結であ ることを示せばよいのでこれを示す。Fの行き先のi即の座標を（霧1，…， π）とする。
必要ならば、座標変換を行って、直線 は卸1軸に平行であると仮定してよい。ここ で、1欝から第一成分IRへの自然な射影
P触：Rη→IR， （∬1，…，妬）←〉コP1
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体 81 を考えると、
Xの、：＝μ辰1（の1）ニ｛の1｝×爬4．（物，…，の物）を座標とするユークリッド空間 である。また、次の新しい写像を定義する：
σ￠1：一（＆，…，鑑）lx￠1：X￠1→飛π一1
ここで、σ を、凸多面錘0を（肋，…，ッη）成分に射影して得られる凸多面錘とおく。
これに数学的帰納法の仮定を適用すると、砺、：X訟、→・lntO ：実解析同型写像であ ることが示せる。
（馳，…，野η）∈IntO を固定し、み：躍（＆，…，鑑）一1（肋，…，翫）dRπとおく。こ のとき、。4翼∪（穿認（g2，…，ッπ）で、各￠1∈盈に対し、砺、：．為、→IntO が実解 のユ
析同型写像より、（7云1（馳，…，轡η）≠￠である。
ここで、p7副ム：且→Rは実解析同型写像である。なぜなら、上のことよりpゲ副Aは 鉗である・また先に行ったヤコビアンの計算より肚至る所det（舞）、」、㍗μ＞・
がわかるので、第0章第1節定理0。2陰関数定理より、且はIRπの非特異曲線で、p7RIA は単射かっ実解析的写像である。このことから、五は飛と実解析的同型であるので、
。4は連結であることがわかる。したがって、F（み）も連結であることがわかった。 〔コ 補題4・6u1，…，Us∈譜が］餅を張るとする。このとき、定数c1＞0，…，c．＞0に 対して、次で定義される写像
ぢ
Σ・信ε〈Ui⑳Ui
∫：晒Rκ・ノ（X）：一鮭 1（X一（￠・，…，コrκ）∈Rん）
Σc琶e〈咽 乞＝1
は、ノ：1餅→Int凸（u1，…，U．）の実解析同型写像である。
証明 任意のUo∈餅に対し、
お
ΣC￠ε〈Ui㊧（U至一U・）
ノ（X）＝U。＋ゑ謂1、
Σc葱εく咽 漏1
なので、Uoの各成分を十分絶対値の大きな負の数とすれば、UrUo，（乞＝1，…，5）
の各成分は全て正の数になる。したがって、上のような座標変換を行って、各Uiが
1餅の第一象限に属するとして補題を証明すれば十分であるので、この条件で示すこ とにする。
K＝凸（u1，…，u．）とおく。嘱：＝（Ui，一1）∈餅＋1（乞＝1，…，ε）として、凸多面
錘0＝R＋噺＋…＋IR＋瓜d餅＋1を考えよう。そこで、次の写像を定義する：
タ
F：聡κ＋1→R械F（x，オ）：一Σ・￠ε綱茜 奮；1
このとき、F（R厨1）⊂0であることはすぐわかるが、
タ
F−1（lnt（κ）×｛一1｝）一｛（x，孟）∈盈κ＋11Σc乞ε〈咽ε￠一1｝ゑ竃1
タ
ー｛（x，毒）∈Rκ＋1降一1・9（Σ・歪ε〈u董⑳）｝
ゑコ
である。もし、F：1餅＋1→Int（0）：実解析同型写像であれば、
お
Σc￠ε〈u 〆〉Ui β
ノ（x）：一信＝1 −F（x，一1・9（Σc￠〈Ui，x〉））
Σc￠e〈咽 圖
琶＝1も！1踏→lnt（κ）の実解析同型写像である。
ここで、各Uiが餅の第一象限に属すると仮定していたので、特に、0は強凸な 多面錘である。したがって、補題4．5より、F：1餅＋1→Int（σ）：実解析同型写像で あることがわかり、補題が示された。 ロ 命題4．1 モーメント写像μ二1㌦→娠のOrb＋（σF）の制限
μb．わ＋（．F）＝Orb＋（σF）→reLiHt（F）は実解析同型写像である。
証明 Mの部分加群吋∩Mは自由加群なので、その生成元をm1，…，mkとする と、σ歩∩M謀Zm1＋…＋Zmkである。ここで、dimF＝κに注意しておく。した
がって、P∈Orb＋（σF）は（z1，…，禰＝（P（ωm・），…，P（zmk））で定まる。仮定よ り、z藪＞0，（￠＝1，…，κ）である。このとき、次が成り立つ：
P岬り一｛1汐…ぐ鴇こ繋鄭瓢儲
（ただし、Ui−UF＝α信，1m1＋…＋α2，κmk）
U1…，Umの番号を付け替えて、最初の5個がU1…，U8∈吋∩Mであると仮定
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体 83 してもかまわない。このとき、
ぎ タ
Σ之野・1…z鷺ちκ・Ui Σz警・1…ぐ・（UrUF）
μ（P）ニづ＝1． ＝UF＋縄8
Σンfち1…z象＾ Σ孝・1…之磐
￠＝1 2＃1
さ
Σ㌶ち1…魂幼・（u葦一UF）
となる。特に、側 ． ∈幡である。したがって、補題4。6で、
Σz望 ・1…ぐ ゆニユ
Uiをu葦一UF、砺＝1，zF酔とすれば、この命題が従う。 □ 最後に、モーメント写像の重要な定理を述ぺる。
定理4。3 モーメント写像μ：1㌔→ハ娠の塚の制限川堪：耽→△は
同相写像である。
証明 μ1砥：砿→Rπは命題4．1より、単射で、μ1松（堪）＝△になる。また、μ1堪 が連続であることは明らかである。
最後に・曝が連続であることを示そう・そのためには・晦が閉写像であるこ とを示せばよい。しかし、これは次の位相空間論の定理より明らかである。
定理 Kをコンパクト位相空間、Hをハウスドルフ空問、ノ：K→Hを連続写 像とする。このとき、ノ：κ→Eは閉写像である。
口
（観察4．2）
△を、Rπの原点を中心とする十分大きな球の外側でRl物の第一象限と一致するη 次元凸多面体とする。
￠；1，2，…，ηに対し、εづ：＝圭1とし、ε＝（ε1，…，εη）とする。また、劣∈醜に対
し、sign劣で実数zの符号士1をあらわすことにする。
。4ε：＝｛（￠1，＿，のπ）∈盈『signω ＝ε活，（乞＝1，…，η）｝とおき、実トーリック改 変7r：砿→1欝を考える。πによる・4，の逆像ズ1（・4．）の砿での閉包を具（△）とす
る：瓦（△）：一c1砿ズ1（λ．）このとき、砿一∪鳥（△）が成り立っ。
ご
定理43より、各具（△）は△と同相なので、△．を第4章第1節の△．：＝S，（△）と すると、a（△）と△εを同一視すれば、砿は具（△）を各面で貼り合わせて得られる
ことがわかる。