第3章 扇から構成した実トーリック多様体 69 で定義される線型写像を一っ決めて固定しておく。
定義3．15ΣをノVでの扇、Σ をN での扇とする。各σ ∈Σ に対し、σ∈Σが存在し
て、ψ（σ ）⊂σとなるとき、（Σ ，N ）が（Σ，N）を支配するといい、（Σ ，N ）→（Σ，N）
とかく。
明らかに、N＝1〉 のとき、（Σ ，！V ）が（Σ，N）を支配すること、すなわち（Σ ，N ）→
（Σ，ノV〉とΣ がΣの細分であることΣ →Σは同値である。
（観察3．6）定義3．5のときと同様にして、、η 次元横ベクトルのなす実ベクトル空闇 畷とηノ次元横ベクトルのなす整数ベクトル空間M を考えて、M と1V は互いに
双対空間とみなす。このとき、写像幹を通して（Σ ，ノV ）が（Σ，ノV）を支配していると すると、ψが誘導する自然な写像：
れ れ
グ：M→M ｝（・b…，cη）吟（Σ⊃α量・￠，…Σα劉砺）
歪＝1 乞慰1 すなわち、
幽…頭偽…凸）（lll喋1）
により、双対錘をとれば包含関係が逆になることに注意すれば、ψ＊（σv）⊂（σ ）vと なることがわかる。よって、z ＝（婿，…，z夷，）とおいて、環
罵 ：一㊥飛￠ u
U∈σ V∩M
ユ ルノを考えると、￠4ゆ婿α …垢，α （￠＝1，2，…，η）で決まる自然な写像
幹＊：Rσ→罵，，のu→〆（u）
が定義できる。よって、
03，：ニ｛P ：罵，→R I環準同型写像，P （1）＝1｝
とおくと、自然な写像
ψ，：砿 →砺
が定まる。これらを貼り合わせることにより、実トーリック多様体間の写像
＠＊：X（Σ ，N ）→X（Σ，N） 、 が定まる。
定義3．16上の観察3．6で構成した写像ψ。：X（Σ ，N ）→X（Σ．めを実トーリック写像と いう。
多面体から構成した実ト・一リッ ク多様体
この章では、ユークリッド空間内の多面体から実トーリック多様体を構成する。ま た、コンパクト多面体から構成される射影的実トーリック多様体や向き付きトーリッ ク改変についても述べる。
4．1 多面体と実トーリック多様体
まず、ユークリッド空間内の凸多面体を貼り合わせる方法にっいて述べる。1贈の 有理的凸多面体を考える：
△：＝｛（％、，…，％れ）∈馴伽、＋・一＋α掴≧b嬉（￠＝1，2，…，P）｝
ここで、婚，び∈IZ（乞二1，2，…7P lゴ＝1，2｝…，η）である。△が泌の第一象限内 にある、すなわち、
△⊂｛（賜・，…，窺η）∈駅η睡≧0（￠＝1，2，…，η）｝
とする。乞＝1，2，…，ηに対し、ε茗：瓢土1とし、ε累（ε1，…，επ）とする。ここで、次 の鏡映変換を考える：
5ε：甜→甜，（z1）…｝のπ）→（ε1の1，…，ε漁）
IRπの部分集合Aに対し、A，：＝S，（A）とおく。また、η次元整数縦ベクトルv謀
￠（ 1，…，uη）∈Nに対し、」（v〉を次で定義する：
ε（V）：＝n並n｛U、U、＋…＋Uπ矧（％、，…，Uη）∈△｝
有理的凸多面体△のη一1次元面をハ，…，瑞とし、各昂に対し、次の条件を満
たすη次元整数縦ベクトルvi＝ε（η1，…， 義）∈1Vを取る＝
1．瓦二｛（賜、，…，uη）∈△i巾、＋…＋蜘物＝ε（vi）｝
2，gcd（η1，…，鳩〉＝Lここで、gcd（ 1，…，嫉）は整数媛，・
すものとする。
・・ 媛の最大公約数を表
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体 71
（η）ε：一3ε（現），（乞一1，…，8）たちを写像Sε（vi）1ε（v量）一（（一・）uI，…，（一1灼で
同一視することにより、△，：ニ＆（△）たちを貼り合わせて得られた図形を△とかく。
もし、1即の原点を中心とする十分大きな球の外側で、△が第一象限と一致すれば、
△，のコンパクト面に対応する部分を一点に潰すことにより、写像β：△→1即が定
義される。
例4．1上の△．の構成法を2次元の場合により詳しく説明する。
△：＝｛（の，野）∈R2ゆ≧0，穿≧0，劣＋ッ≧1｝
すなわち、△は、】R2の有理的凸多面体で、かつ、R2の原点を中心とする十分大きな 円の外側で第一象限と一致している。
さて、鏡映変換3，＝R2→R2は、次の4つである：
S＋＋：IR2→聡2（￠，ッ）陣（z，ッ） ：恒等変換
3÷一：R2→IR2（ar，ッ）陣（￠，惚）溜軸に関する対称移動 S叶：館→IR2（ω， ）吟（一z， ）： 軸に関する対称移動 S＿：IR2→R2（z，製）陣（一z，一響）源点に関する対称移動
また、それらによる△の像△。は、次のようになる：
△＋＋：瓢θ＋＋（△）＝△，△＋＿：＝5＋＿（△），△＿＋：＝5＿＋（△）， △＿＿：ニ3＿＿（△）
次に、△の面Fを点（1，0）と点（0，1）を結ぶ辺とおくと、罵は次のようになる：
4＋：＝S＋＋（F）＝F， 興＿：＝3＋＿（F）， 且＋：ニS＿＋（F〉， 瓦」＝3＿（F）
条件1と2を満たす2次元整数縦ベクトルv識君（1，1）∈Nを取れば、ε（v）＝（一1，一1）
なので、写像Sε（v）＝S＿によって、Fと瓦一、興一と且＋を同一視する。この同 一視を〜とかくことにする。
同一視〜により、△と△＿、△＋＿＝△升を貼り合わせて、次の集合を得る：
△：＝△u△＋＿u△＿＋∪△＿＿／〜
△，△＋一，△一＋，△＿のコンパクト面の和集合Fu F＋＿∪且＋U F＿を一点に潰すこ とにより、写像β：△→盈2が定義される。これは、第1章で構成した、R2の原点
（0，0）でのブローアップにほかならない。
先に述べた△の構成法を、扇を使って合理化する。
定義4．1△を晦のη次元有理的凸多面体とする。v∈1服に対し、言（v〉：＝min〈u，v〉
u∈△
と定義する。このとき、v∈！服に対し、
△（V）：＝｛U∈△1〈U，V〉ニ」（V）｝
をv∈！服の支持する△の面という。
△の面Fに対し、σFを次で定義する。
σF：謹｛v∈娠i△（v）⊃F｝
このとき、
σF：＝＝｛v∈娠1〈u−u ，v〉≧0，∀u∈△，∀u ∈F｝
となり、
（σF）v：＝｛α（u畷 ）∈晦1α≧0，∀u∈△，∀u ∈F｝
が成り立っ。
補題4ユΣ△：二｛σF I F一《△｝は扇である。
証明 σF∈Σ△なら、σFの任意の面σ1に対し、σ1∈Σ△を示そう。面の定義から、
u1∈σF〉が存在して、σ1ニσF∩｛u1｝⊥となる。ただし、u1は十分小さくとっておく。
ここで、次の条件を満たすように、△の面恥をとる：F⊂F1、かつ、U1＝U−U
（u∈re1・int恥7u ∈F）
亀・
u
u ︑︐
このとき、σ1鋸σF、を得るので、σ1∈Σ△が示された。
σF、，σ巧∈Σ△ならば、σF、∩σ乃はσF、の面、かつ、σ凸の面であることを示そう。F をaU馬を含む△の最小の面としたとき、以下の図からわかるように、σ角∩σ巧＝σF
を得る。
第4章 多面体から構成した実トーリック多様体
珂
σ巧
巧
σ珊
73
0
σF、∩σ地＝σF
このとき、σFはσnの面、かつ、σ施の面であるので、示された。 □ 定義4．2補題4．1より、Σ△は扇である。これを凸多面体△に対応する扇という。こ の扇Σ△に対して、実トーリック多様体XΣ△が定まる。このX琉をR△，M）または 単に、砿とかき、多面体△から決まる実卜一リック多様体という。
特に、私は前に構成した△と位相同型になる。
多面体△から決まる実トーリック多様体に関するいくつかの性質を述べる。
補題4．2△を晦のη次元有理的凸多面体とし、△ を△を平行移動したものとす る。このとき、Ry＝私が成り立っ。
証明 △を平行移動しても、対応する扇の関係は、Σ△＝Σ△ であるから、明らかで ある。 ［コ ムのκ次元面．Fに対し、娠のκ次元部分空間で、Fのある平行移動アを含むも
のの格子点全体の集合をπ（F）であらわすことにする。このとき、次が成り立つ。
補題4忽P（聯（F））ニx（百（σF脚F））
証明 まず、M（F）＝M（σF）であることに注意しておこう。次に、
σ瓦＝（σ恥＋H（σ品））／H（σ品）であることに注意して、
Σ万二｛σ瓦⊂M（F）劇F・イF｝諾｛σ瓦⊂M（F）Rlσ〆嘔｝＝Σ（σF）
であり、補題が従う。 、 □ 次の補題は、第3章第3節定理3．4から容易に得ることができる。
補題4．4△を娠のη次元有理的凸多面体とし、現，乃を△の面とする。このとき、
転π（珊））∩殖π（乃））＝Pσ圃π（珊∩巧））
が成り立っ。
定義4．3！晦のη次元有理的凸多面体△ ，△に対し、Σ△ がΣ△の細分となるとき、
△ が△を支配するという。
例4．2Rηの原点を中心とする十分大きな球の外側で1餅の第一象限と一致する晦 のη次元有理的凸多面体△を考える。このとき、△は第一象限からなる多面体を支 配する。さらに、Σ△は第一象限の有限細分になるので、第3章第3節定理3．6より、
琉・＝冊に注意すれば、固有写像π：1㌔→1諮が存在する。
十
定義4．4ある整数行列且＝（確） ＝1ジ．．趨ゴd，＿謬で定義される写像