C 級数に関する補足
命題 C.1 (1) lim inf
n→∞ an≤lim sup
n→∞ an. (2) lim sup
n→∞ (−an) =−lim inf
n→∞ an, lim inf
n→∞ (−an) = −lim sup
n→∞ an. (3) an≤bn であればlim sup
n→∞ an≤lim sup
n→∞ bn, lim inf
n→∞ an ≤lim inf
n→∞ bn.
実数列{an}n∈N と実数 a に対して、
lim sup
n→∞ an=a であるためには、
(a) (∀ε >0) (∃N ∈N) (∀n∈N: n≥N) an< a+ε (b) (∀ε >0) (∀k ∈N) (∃n ∈N: n ≥k)an> a−ε
(言い換えると、任意の正数 ε に対して an > a−ε を満たす n が無限個存在する) が成り立つことが必要十分である。
nlim→∞an=a とは、
(∀ε >0)(∃N ∈N)(∀n ∈N:n ≥N) a−ε < an < a+ε
が成り立つことであるが、上の方から抑えられることはそのまま、下の方は少し弱めたわけで ある。「集積点」という言葉を知っていれば、{an} の上極限aとは {an}の集積点のうち最大 のものである、と言っても良い。
(まあ、でも、集積点(特に部分集合の集積点)という言葉はあまり使われなくなってきてい る気がする…)
定義 C.2 (集積点 — 上極限のことを手短に知るという目的からは余談に近くなるけど)
A を R の部分集合、a ∈ R とする。a が A の集積点(an accumulation point) であると は、∀ε >0 (B(a;ε)∩A)\ {a} ̸=∅ が成り立つことをいう。a が A の孤立点であるとは、
a が A の集積点ではなく、かつ a∈A であることをいう。
{an} を実数列、a ∈R とするとき、a が数列 {an} の集積点 (a cluster point, an accu-mulation point)であるとは、∀ε >0 に対してan ∈B(a;ε)を満たす n が無限個存在する ことをいう。
任意の n ∈ N に対して an =a とおくとき、a は数列 {an} の集積点である。{an} の値域 {an |n∈N} は {a} であり、a は {a} の集積点ではないので、部分集合の集積点と数列の集 積点は混同しないよう区別が必要である。
C.1.2 正項級数に対する Cauchy-Hadamard の定理
補題 C.3 (正項級数に対する Cauchy-Hadamard の定理) 正項級数
∑∞ n=1
an に対して、
λ:= lim sup
n→∞
√n
an とおくとき、次が成り立つ。
(1) 0≤λ <1 ならば
∑∞ n=1
an は収束する。
(2) λ >1 (λ=∞ のときも含めて)ならば
∑∞ n=1
an は発散する。
(λ= 1 の場合はケース・バイ・ケースである。) 証明
(1) 0 ≤ λ < 1 とする。λ < µ < 1 なる µ を任意に取ると、(∃N ∈ N) (∀n ∈ N: n ≥ N)
√n
an< ρ. このとき an < ρn. N を1つ固定して、
bn:=
{
an (1≤n≤N −1) ρn (N ≤n≤N) とおくと、すべての n∈N に対して an≤bn で、
∑∞ n=1
bn=
N−1
∑
k=1
ak+ ρN 1−ρ. 優級数の定理により、
∑∞ n=1
an は収束する。
(2) λ > 1 とする。√n
an > 1 を満たす n が無限にたくさん存在する。そういう n に対して an>1であるから、lim
n→∞an = 0 とはならない。ゆえに
∑∞ n=1
an は発散する。
正項級数に対するd’Alembert の定理というものもある。
命題 C.4 (正項級数に対する d’Alembert の定理)
∑∞ n=1
an は正項級数で、an ̸= 0を満た すとする。
λ := lim sup
n→∞
an+1
an , µ:= lim inf
n→∞
an+1 an とおくとき、次が成り立つ。
(1) 0≤λ <1 ならば
∑∞ n=1
an は収束する。
(2) µ >1 ならば
∑∞ n=1
an は発散する。
証明 (証明は上と同様に出来るので省略する。) 実は一般に
lim sup
n→∞
an+1
an ≥lim sup
n→∞
√n
an ≥lim inf
n→∞
√n
an ≥lim inf
n→∞
an+1 an
が成り立つので、(lim sup, lim inf が具体的に計算できる限り) Cauchy-Hadamardの定理の方 が d’Alembert の定理よりも強いが、
{
lim sup lim inf
}
√n
an の計算は {
lim sup lim inf
} an+1
an
の計算よ り難しいことが多く、応用上は d’Alembert の定理は便利である。
C.1.3 冪級数に対する Cauchy-Hadamard の定理
定理 C.5 (冪級数に対する Cauchy-Hadamard の定理)
∑∞ n=0
an(z−c)n の収束半径を ρ とするとき、
lim sup
n→∞
√n
|an|= 1 ρ.
証明 c= 0 の場合に証明すれば十分である。任意のz ∈C に対して、
lim sup
n→∞
√n
|anzn|= lim sup
n→∞
(|z|√n
|an|)
= |z| ρ .
補題 C.3 によって、|z|/ρ <1 のとき収束、|z|/ρ > 1のとき発散する。ゆえに ρが収束半径 である。
C.1.4 lim sup√n
an の計算に便利な補題 例えば冪級数
∑∞ n=0
anzn を項別微分して得られる
∑∞ n=1
nanzn−1 の収束半径が元の冪級数の収 束半径と同じであることを証明するには、lim
n→∞
√n
n = 1 があると役に立つ。
補題 C.6 任意のk ∈N に対して、lim
n→∞
√n
nk= 1.
一般に証明する前に k = 1 の場合に書いてみよう。√n
n > 1 であるから、δn := √n
n−1 とお くと、δn >0. √n
n = 1 +δn であるからn = (1 +δn)n = 1 +nδn+ n(n2−1)δn2 +· · · ≥ n(n2−1)δn2. 0< δn2 ≤ 2
n−1. これから n → ∞ のときδ2n →0. ゆえに δn →0. これは lim
n→∞
√n
n = 1 を意 味している。
証明 任意の n ∈ N に対して √n
nk > 1 であるので、δn := √n
nk− 1 とおくと、δn > 0.
√n
nk= 1 +δn. ゆえに n≥k+ 1 なる任意の n に対して、
nk = (1 +δn)n=
∑n r=0
(n r
) δnr ≥
( n k+ 1
)
δnk+1 = n(n−1)· · ·(n−k) (k+ 1)! δk+1n . これから
0< δnk+1 ≤ 1 n
(k+ 1)!
(1− 1n) ( 1− n2)
· · ·(
1−nk). n → ∞とするとき、右辺は 0に収束するので、lim
n→∞δn = 0. ゆえに lim
n→∞
√n
nk = 1.
命題 C.7 {An}, {kn} は正項級数で lim
n→∞kn = k(> 0), lim sup
n→∞ An = A とするとき、
lim sup
n→∞ knAn =kA.
証明 (省略)
他にもあったはずだけど、すぐに思い出せない…