G MEMORANDUM H
B.2 Bernoulli-Euler 梁理論 — 美しい理論
B.2.1 運動場
比較的細長い梁の場合には，せん断変形を最初から無視したBernoulli-Euler梁として取り扱える。この場合 には，以上の定式化においてΓ ≡0とすればいい。区別を明確にするために断面の回転角ϑをθと表記する。
したがって，式(B.8)の運動場は
ux(x,z)=u(x)+zsinθ(x), uz(x,z)=w(x)+z{cosθ(x)−1}, Λ(x,z)= Λ0(x)=θ(x) (B.15a, b, c) となる。θ(x)は断面の回転角であるが，梁の軸線のたわみ角と等しい。また式(B.9)の傾きの幾何学的関係は
tanθ(x)=− w′(x)
1+u′(x) (B.16)
となり，θとu,wは独立ではなくなる。同様に式(B.11)は厳密に
√g=1+ϵ+zκ, ϵ= √g0−1, κ=θ′=−1 g0
{(1+u′)
w′′−w′u′′}
(B.17a, b, c) と表現される。式(B.16)と式(B.17)から変位勾配は
u′=(1+ϵ) cosθ−1, w′=−(1+ϵ) sinθ (B.18a, b) という関係になる。
さて，式(B.4)のひずみの定義式と式(B.10a)とを比較すれば明らかなように，式(B.11a)のgは変形後の基 底ベクトルGxのノルムの2乗であるから，ここで物理的な伸びひずみeを基底ベクトルGxの長さの変化率で 定義することにし
e≡ |Gx| −gx= √g−1 (B.19)
と定義する。これに式(B.17a)を代入すれば
e=ϵ+zκ (B.20)
という簡単な表現になる。つまり，大きく変位した場合であっても，Bernoulli-Euler梁のひずみ（伸びひずみ の物理成分）は断面内で三角形（線形）分布をしている。美しい!
ところで式(B.17c)の曲率が解析学等で習ったものとは違うと感じたと思う。それは独立変数の考え方が数 学のそれと全く違うからである。この章で用いているxは梁が変位する前の軸線の位置の空間座標である。数 学の場合は，ある空間(ξ, ζ)の曲線ζ = ζ(ξ)が持つ曲率をξあるいはその曲線に沿った座標sの関数として定 義している。そこでこの2種類の独立変数の変換をしておこう。つまり変位した梁が空間に描く曲線の位置は
ξ=x+u(x), ζ =w(x) である。この関係を用いて変数変換して式(B.17c)を書き直すと
κ=θ′(x)= dθ(x) dx =−(
1+u′) 1 1+
(dζ dξ
)2
d2ζ dξ2
になる。一方，曲率も(ξ, ζ)におけるそれで定義し直すと
˜κ≡ dθ(ξ) dξ = 1
1+u′κ となるので，上式を代入して
˜κ=− 1 1+
(dζ dξ
)2
d2ζ
dξ2 =−d2ζ ds2 あるいは
κ≡dθ(s)
ds =− 1
1+ (dζ
dξ )2
3/2
d2ζ dξ2
のように，数学で習った表現を得る。この独立変数xの考え方については十分気を付けておく必要がある。有 限変形理論の第12章では，この章のxを大文字Xで，変位後の位置を小文字xで表して区別している。
B.2.2 つり合い式と境界条件
一方，式(B.10)のひずみ成分を式(B.6)の仮想仕事式に代入して，せん断ひずみExzの項を無視した上で，
式(B.19)を考慮して変分をとれば，その内力仮想仕事項は
∫
V
SxxδExxdV=
∫
V
√gSxxδedV (B.21)
と表してもいいことがわかる。ここが，美しい理論体系になるための一番のミソである。梁の抵抗は軸方向の 変形Exxが主であり零ではないため，その軸方向の基底ベクトルGxは変形後には単位でなくなる。したがっ
て式(B.7)から，x方向の直応力Sxxは √gだけの調整が必要になる。よって
σ≡ √gSxx (B.22)
で，軸方向の応力の物理成分を定義することができる。これを用いると，上の内力仮想仕事項は
∫
V
σ δedV (B.23)
のように，物理的にも数学的にも簡明な表現になる。
式(B.20)から，伸びの物理成分の変分は
δe=δϵ+zδκ となるから，上式(B.23)に代入すれば内力仮想仕事項が
∫
x
(Nδϵ+Mδκ) dx (B.24)
となる。ただし，二つの基本的な断面力を N≡
∫
A
σdA, M≡
∫
A
zσdA (B.25a, b)
と定義した。
式(B.16) (B.17)を考慮しながら，各変形成分の変分をとると
δϵ=cosθ δu′−sinθ δw′, δκ=δθ′ という関係がある。また式(B.16)の変分から
δθ=− 1
√g0
(cosθ δw′+sinθ δu′)
という関係になる。また外力仮想仕事については，分布外力モーメントを無視した梁理論の範囲内での表現を すると
−
∫
x
(pδu+qδw) dx−(Fδu+Sδw+Cδθ)x=0,ℓ (B.26) と書いていい。式(B.24)と以上の関係を用いて変分を実行し，対応するEuler方程式を導くと，つり合い式が
(
Ncosθ+ M′
√g0
sinθ )′
+p=0, (B.27a)
(
−Nsinθ+ M′
√g0
cosθ )′
+q=0 (B.27b)
となる。境界条件は
u=与える あるいは ni
(
Ncosθ+ M′
√g0
sinθ )
=Fi, (B.28a)
w=与える あるいは ni
(
−Nsinθ+ M′
√g0
cosθ )
=Si, (B.28b)
θ=与える あるいは niM=Ci (B.28c) となる。ここにniは式(4.26)で定義した記号である。
B.2.3 構成方程式
式(B.23)を見る限り，σとeの組の間に何らかの構成則を与えるのが一番素直である。したがって，線形弾
性の構成方程式を
σ=E e=E(ϵ+zκ) (B.29)
のようなわかり易い形で与えることにする。ここにEは何らかの弾性係数であるが，もちろんYoung率と考え ていい。したがって断面力と変形の関係は
N=EAϵ, M=EIκ (B.30a, b)
のように，見かけ上線形になる等，非常にわかり易い理論体系になっている。もちろん，式(B.17)から明らか なように，変形ϵ,κと変位u,wの間は高次の幾何学的な非線形関係にあるため，限られた場合しか解析的に解 を求めることはできない。
B.2.4 座屈荷重
この理論の枠組の中で片持ち梁の座屈荷重Pcrを求めよう。図6.23が解析対象なので u=− P
EA x, w=0, θ=0, ϵ=− P
EA, N=−P, M=0
が解であることは明らかである。つまり座屈する前の自明な解である。そこで第6章の剛体バネモデルでの例 のように，この解のすぐ近傍に別な解が存在するか否かを確かめることによって，座屈が可能か否かの判定を しよう。そのためには，例えば
u(x) :=−Px
EA + ∆u(x), w(x) := ∆w(x) etc. (B.31a, b) と置き，すべての支配方程式に代入し直し，∆のついた摂動量について線形化した支配方程式を求めればいい。
境界条件も同様の線形化をすると，最終的に摂動量に関する斉次の支配方程式を求めることができる。この支 配方程式はいわゆる固有値問題を形成している。そうした上で，摂動量に対して一つでも零でない解が存在す るための条件式から座屈荷重Pcrを算定できる。具体的な誘導は文献[43, 49]を参照のこと。
このようにすると，座屈前の伸びを厳密に考慮した場合は，文献[95]にもあるように Pcrℓ2
EI = λ2 2
1−
√ 1−(π
λ )2
(B.32)
となる。ここにλは細長比である。これに対し座屈前の伸びの影響（実際は縮み）を無視した場合には Pcrℓ2
EI = π2
4 (B.33)
となり，式(6.43b)の梁-柱の解に一致する。式(B.32)では伸びの影響を考慮しているため，その軸力による縮 み分だけ座屈長が短くなる効果を含んでいる。つまり，細長比がπより小さい極端に短い柱は，もちろん梁で モデル化するのは無謀ではあるが，座屈しないことを示している。この縮み分のために，式(B.32)の解はπ2
4 より大きい値になる。ただし，そんなに短い柱の場合にはせん断変形の影響が無視できないため，後述の
Tim-oshenko梁理論で座屈も検討する必要がある。逆に細長比が大きい場合には，式(B.32)の平方根の部分を
Tay-lor展開して最初の2項だけを用いると，それは式(B.33)に一致する。
B.2.5 変分原理とElastica
さて，全ポテンシャルエネルギ最小原理という変分原理と梁理論の対応について加筆しておこう。
Bernoulli-Euler梁の場合の構成則は，式(12.137b)あるいは式(12.138c)で表される超弾性で定義することができた。し
たがって，全ポテンシャルエネルギに相当する汎関数Πは，式(B.26)を用いて Π≡
∫
V
1
2E e2dV−
∫
x
(p u+qw) dx−(F u+S w+Cθ)x=0,ℓ (B.34)
と定義できることがわかる。そこで，式(B.30)の構成則を用いることによって，この汎関数Πの停留原理か ら得られるEuler方程式と境界条件がつり合い式(B.27)と境界条件式(B.28)になることを示すことは簡単だろ う。読者は各自手を動かして欲しい。
では，第6.6.3節で説明した軸線の伸びが無いElasticaの支配方程式を，変分原理を用いて誘導してみよう。
そのためには，式(6.86)の付帯条件
ϵ=0 (6.86)再掲
を汎関数に組み込む必要があるので，いわゆるLagrangeの未定乗数としてPという乗数を導入し，上式(B.34) を変更すると
Π≡
∫
V
1
2E e2dV−
∫
x
(p u+qw) dx−(F u+Sw+Cθ)x=0,ℓ−
∫
x
Pϵdx (B.35)
とすればいいことがわかる。さて，この第1変分をとると結局 δΠ =
∫
x
{(N+P)δϵ+Mδκ}dx+
∫
x
ϵ δPdx−
∫
x
(pδu+qδw) dx−(Fδu+S δw+Cδθ)x=0,ℓ=0 を得る。これよりEuler方程式が
{
(N+P) cosθ+ M′
√g0
sinθ }′
+p=0, {
−(N+P) sinθ+ M′
√g0
cosθ }′
+q=0, ϵ=0 となり，境界条件が
u=与える あるいは ni
{
(N+P) cosθ+ M′
√g0
sinθ }
=Fi, w=与える あるいは ni
{
−(N+P) sinθ+ M′
√g0
cosθ }
=Si, θ=与える あるいは niM=Ci
となるが，Euler方程式の第3式が式(6.86)の不伸張条件なので，式(B.30a)から
g0 =1, N≡0 (B.36a, b)
の条件を得る。したがって，最終的な場の方程式は
(Pcosθ+M′sinθ)′+p=0, (B.37a)
(−Psinθ+M′cosθ)′+q=0, (
1+u′)2+(w′)2=0 (B.37b, c) となり，境界条件式は
u=与える あるいは ni
(Pcosθ+M′sinθ)
=Fi, (B.38a)
w=与える あるいは ni (−Psinθ+M′cosθ)=Si, (B.38b) θ=与える あるいは niM=Ci (B.38c) のようになるので，見かけ上は軸力NをPで置き換えただけになるが，導入された「軸力」Pは梁の伸びとは 全く無関係な断面力となり，伸びないことの反力として生じた断面力であることに注意する必要がある。制約 条件式が一つ増えたことに対応して未知関数も一つ増えたというわけだ。また変位場にも不伸張の制約条件が 適用されるため
sinθ=−w′, cosθ=1+u′, κ≡θ′= −w′′
1+u′ = u′′
w′ (B.39a, b, c)
になることにも注意すべきである。
このLagrangeの未定乗数Pの物理的な意味はこの例から少しはわかり易くなったと思うが，最小化問題と して別の見方をすると，例えば(ϵ =0)という付帯条件に掛けた「高額な罰金」と考えてもいい。例えば「接触 問題」で必要になる制約条件を数値解析に組み込むために用いることができるペナルティ法も同じ考え方であ る。もう一つほぼ同様な未定乗数の使い方として，ゴムのような非圧縮性材料に対する定式化も挙げられる。
もし体積変形が生じないゴムのような材料の場合は，変形に対する付帯条件が ϵkk =0 あるいは ∂uk
∂xk
=0 (B.40)
となるので，これに未定乗数pを乗じてHooke弾性体の汎関数を改訂すれば，最終的なつり合い式は式(3.159) のNavier-Stokes式の静的な場合の
µ ∂2ui
∂xj∂xj
+ ∂p
∂xi
+Xi=0 (B.41)
になる。pは引張を正とした静水圧に相当し，体積変形が生じないことの反力として生じた内力である。Hooke 弾性体の支配方程式に非圧縮性を導入する場合に，単純に体積変形を零にするとこのpの項は生じない。また
Hooke弾性体の材料定数の性質において，単純にν → 1/2としてしまうと体積弾性係数Kが無限大になり，物
理的には理解し難い。