A.1.1 運動場の仮定と合応力
z x
z w(x)
u(x)
ux(x,z)
uz(x,z)
B A
−w′(x) γ(x) n
ϑ(x)
図A.1 Timoshenko梁の運動場 第4章では，梁の軸線と断面の直交性が変形後も
保持されるという，いわゆるBernoulli-Euler梁の定 式化をした。その仮定の範囲内で求められる直応力 とつり合うせん断応力が放物線分布することは，第
4.6.1節で示した通りで，しかもそれは平面問題の解
式(3.199b)とも整合していた。より（連続体力学と
して）正確な梁理論を求めたければ，この放物線分 布に対応するせん断変形を予め考慮して梁理論の定 式化をし直せばいいが，ここではもっと簡便な古典 的理論を誘導する。なおこの章では簡単のために括 弧無しの太字で行列を表している。
その理論はTimoshenko梁理論と呼ばれ，
Bernoul-li-Eulerの仮定を緩め，ある断面には一様なせん断変
形が発生すると仮定する。すなわち基本的な仮定のうちの式(4.2)の代わりに
2ϵxz(x,z)=γ(x) (A.1)
を前提とする。ただ，梁理論では梁の上下面には直接外力が作用することは無いので，せん断ひずみもそこで 零にならなければならないことを踏まえると，この断面内一様な（zの関数ではない）せん断ひずみ分布は容 認できない。しかしせん断変形は細長い梁にとっては2次的なものであり，この程度の差異について別途調整
（後述のktの導入）ができるなら，これで簡便でかつ精度のいいモデルが構築できると考えられる。
この仮定に従って梁の運動を記述したのが図A.1である。図から明らかなように，断面内任意点のx,z方向 変位成分は微小変位の範囲内で，これも式(4.3)の代わりに
ux(x,z)=u(x)+zϑ(x), uz(x,z)=w(x) (A.2a, b) となる。ここにϑ(x)は軸のたわみ角ではなく断面の回転角を表している。式(A.1)左辺に式(3.6)のひずみ変 位関係を用いて式(A.2)を代入すると
2ϵxz(x,z)=ϑ(x)+w′(x)=γ(x) → ϑ=−w′+γ (A.3)
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という関係を得る。ここにプライムはxに関する微分を表す。つまり，式(4.4)のθに代わるϑはたわみ角−w′ には一致せず，せん断変形分のγだけずれる。以上より伸びひずみは
ϵxx(x, y,z)=u′+zϑ′=u′+z(γ′−w′′) (A.4) となる。
直応力は1次元のHookeの法則式(3.183a)に，せん断応力はHookeの法則式(3.46)に従うものとすれば，
以上のひずみ成分をそれに代入することによって σxx=Eϵxx=E {
u′+z(
γ′−w′′)}
, σxz=2Gϵxz=Gγ (A.5a, b) となる。ここにEとGはそれぞれYoung率とせん断弾性係数である。x軸が図心を通るように選べば，これ を用いて断面に発生する合応力は
N(x)≡
∫
A
σxxdA=EA u′, M(x)≡
∫
A
zσxxdA=EI(γ′−w′′)=EIϑ′, V(x)≡
∫
A
σxzdA=GktAγ (A.6a, b, c) と定義され，変位と関係付けられる。ただし簡単のために均質材料でできた等断面の梁とした。また，せん断 力の定義式(A.6c)のktはその定義通りなら1になるはずだが，前述のように本来一様ではない断面内のせん 断変形を一様な場γ(x)で近似したことを補正するために導入された係数で，断面形状とPoisson比に依存[17]
する。例えば
kt(円形断面)=6(1+ν)
7+6ν , kt(矩形断面)= 10(1+ν)
12+11ν (A.7a, b)
といった値を持つ。ちなみに，文献[17]の誘導からも明らかなように，第4.6.1 (1)節の最後で求めたせん断応 力の最大値と平均値の関係を表す係数（矩形の場合の3/2）とは全く関係無いことには注意すること。
A.1.2 つり合い式と境界条件
つり合い式と境界条件は第4.9節と同様，3次元の仮想仕事式に前節の変位場・ひずみ場と断面力の定義と を代入すれば求めることができる。式(A.2)の変位場と式(A.3) (A.4)のひずみ場の変分は
δux=δu+zδϑ, δuz=δw, δϵxx=δu′+zδϑ′, 2δϵxz=δϑ+δw′ と表される。Bernoulli-Euler梁とは異なりせん断成分もあるので，内力仮想仕事項は
∫
V
(σxxδϵxx+2σxzδϵxz) dV =
∫ ℓ
0
{∫
A
σxx(δu′+zδϑ′)+σxz(δϑ+δw′)} dAdx となる。こにれ式(A.6)で定義した断面力を用いると
=
∫ ℓ
0
{Nδu′+Mδϑ′+V(
δϑ+δw′)}
dx と書くことができるので，部分積分すると
=[Nδu+Mδϑ+Vδw]ℓ0−
∫ ℓ
0
{N′δu+( M′−V)
δϑ+V′δw} dx を得る。あるいは式(4.26)の記号を用いると
=ni[Nδu+Mδϑ+Vδw]x=0,ℓ−
∫ ℓ
0
{N′δu+(
M′−V)δϑ+V′δw}
dx (A.8)
とも表すことができる。
体積力と表面力による仮想仕事項については，Bernoulli-Euler梁の対応する項におけるたわみ角−w′を断面 の回転角ϑに置き換えるだけでいいので，それぞれ
∫ ℓ
0
(pδu+mδϑ+qδw) dx, [Fiδu+Ciδϑ+Siδw]x=0,ℓ (A.9a, b) と書くことができる。以上の式(A.8) (A.9)をすべて結合すると，Timoshenko梁の仮想仕事式は
[(niN−Fi)δu+(niV−Si)δw+(niM−Ci)δϑ]x=0,ℓ
−
∫ ℓ
0
[(N′+p)δu+(
M′−V+m)δϑ+(
V′+q)δw]
dx=0 (A.10)
のように表現できる。したがって断面力で表したつり合い式は
N′+p=0, V′+q=0, M′−V+m=0 (A.11a, b, c) と表される。以下分布モーメント外力mは無視する。さらに境界条件は
{u=ui あるいは niN=Fi
}, {
w=wi あるいは niV=Si
}, {
ϑ=ϑi あるいは niM=Ci
} (A.12a, b, c) となる。ここにniは式(4.26)で定義した記号であり，ui等は端部で与える変位量である。たわみ角の境界条 件を除けば他はBernoulli-Euler梁の式(4.25)と同じである。ここではせん断変形を許しているので，梁の中間 載荷点等では軸線が滑らかでたわみ角が連続するとは限らないが，その代わり断面の回転角ϑは連続しなけれ ば連続体としての梁の連続性は失われてしまう。したがって，モーメントの境界条件に対応する変位の境界条 件はたわみ角の代わりにϑを与える条件で与えられなければならないのである。つまり回転角についての境界 条件については，γそのものや−w′を与えるようなことはできないし，この2者が中間載荷点や中間支点で連 続になる必要も無いことには十分注意する必要がある。
A.1.3 たわみで表した支配方程式
前節で示したように，軸方向の問題は初等梁理論のそれと同じなので，以下では曲げ問題のみを扱う。不静 定構造を解くことを念頭に置いて，曲げ問題の支配方程式と境界条件式をたわみw(x)で表しておく。式(A.6) を式(A.11) (A.12)に代入し，式(A.3)を考慮してγとϑを消去すると，つり合い式は
−EIw′′′′+q−αtq′′=0 (A.13)
となり，境界条件式(A.12)は
w=wi あるいは ni
{−EIw′′′−αtq′}
=Si, (A.14a)
−w′−αt (
w′′′+αt q′ EI )
=ϑi あるいは ni{−EIw′′−αtq}=Ci (A.14b) と表される。ここに
αt≡ EI
GktA =ℓ2αt, αt≡ E
G(λt)2, λt≡ ℓ
√I/(ktA)
(A.15a, b, c) と定義した。λtはTimoshenko梁の細長さの特性を表す一種の細長比である。構造力学公式集の中にはkt中
のPoisson比を無視したものもあるので，ここでも幾何量である細長比λtの方に組み込んである。G → ∞の
極限でαt→0およびαt→0になり，上式はすべて初等梁理論の支配方程式に一致する。
式(4.88)には両端単純支持の静定梁の中央における解を示したが，左半分の任意点のたわみは w(x)=− P
12EI x3+ Pℓ2
16EI x+ P
2GktAx (A.16)
となる。このときせん断変形γ(x)は
γ(x)= P
2GktA (A.17)
なので，上式第3項がこのせん断変形によるたわみ成分であることがわかる。当然前2項がBernoulli-Euler梁 の解である。また等分布外力qが作用した両端単純支持梁の場合は
w(x)= q
24EI x(x−ℓ)(
x2−ℓx−ℓ2) + q
2GktAx(ℓ−x) (A.18)
となるが，この場合のせん断変形は
γ(x)=− q GktA
( x−ℓ
2 )
(A.19) となることから，せん断変形によるたわみ成分wshear(x)は
wshear(x)=
∫ x
0
γ(ξ) dξ (A.20)
で求めることができ，果たして上式(A.18)の第2項に一致する。
次に不静定梁の例として両端固定梁を解いておこう。まず中央に集中外力Pが作用した場合の左半分のたわ みは
w(x)=− P
12EI x3+ Pℓ
16EI x2+ P
2GktAx (A.21)
となる。このときのせん断変形γ(x)は両端単純支持梁と同じなので，上式第3項がこのせん断変形によるたわ
み成分wshear(x)であることがわかる。また等分布外力qが作用した場合の解は
w(x)= q
24EI x2(ℓ−x)2+ q
2GktAx(ℓ−x) (A.22)
となる。第1項がBernoulli-Euler梁の曲げの解であり，第2項がせん断変形によるたわみwshear(x)である。
最後に右端を∆だけ強制的にたわませた場合の解を求めてみると w(x)= ∆ 1
ℓ3 x2(3ℓ−2x)+ ∆ 12αt
ℓ3(1+12αt)x(ℓ−2x) (ℓ−x) (A.23) となり，これも曲げ成分とせん断成分に分解表示が可能になっている。せん断によるたわみ成分は両端と中央 では生じていないのは興味深い。というのも，せん断変形とせん断力は
γ= 12αt∆
ℓ(1+12αt), V= 12EI∆
ℓ3(1+12αt) =12EI∆ ℓ3
(
1− 12αt 1+12αt
)
(A.24a, b) と一定になっているからだ。ただしこの場合には，せん断変形の影響の仕方は前の例のようなαt倍という形で はなく，12αt/(1+12αt)という影響係数で支配されていることは覚えておいて欲しい。