質量は近似的にmi=ρ(Xi)∆X と書ける．この近似の精度は∆Xを小さく(nを大 きく)すると向上する．以上，全質量M は近似的に，
M≈Mn=
∑n i=1
mi=
∑n i=1
ρ(Xi)∆X
と書ける．ここで，微積分学を応用する．細分数nを増加させたときMn の極限，
Mn=
∑n i=1
ρ(Xi)∆X→M =
∫ l 0
ρ(X)dX (n→ ∞) (5.3)
が存在すれば，関数ρ(X)はX で積分可能(integrable)であるといった．その極限 値M を，ρ(X)のXに関する積分(integral)と呼んだ．
実用的には，極限値の計算はしなくてよい．機械的に，
積分への書き換え
• 総和記号∑n
i=1を積分記号∫l
0 に書き直す．
• とびとびの変数Xi を，連続的な変数X に書き直す．
• 細分幅∆Xを無限小dXに書き直す．
のように置き換えれば，積分による表式が作れる5)．∫
dXの計算法(積分法)はすで に確立しているから，その値は誰にでも計算できる．
以上，剛体の線密度ρ(X)から全質量M を求める公式が，次のように得られた．
分母=M=
∫ l 0
ρ(X)dX (5.4)
次に，重心(5.2)の分子∑n
i=1mixiにとりかかろう．そのためには，各小片の位置ベ クトルxiが必要だが，1次元の問題なので，各小片のX 座標そのものxi=Xiと なる．これとmiを分子に代入すると，近似的に，
分子≈
∑n i=1
mixi=
∑n i=1
ρ(Xi)∆X Xi=
∑n i=1
Xiρ(Xi)∆X
となる．これの極限n→ ∞(すなわち∆X→0)をとるのだという気持ちを忘れず に，積分への書き換えp46を実行すれば，
分子=
∫ l 0
Xρ(X)dX (5.5)
という公式が得られる．(5.4)と(5.5)を連立して，次の算法が得られる．
5)卒業研究などの手持ちの問題で，このような細分片を総和するような問題が出てきたら，積分に置き換え てみよ．先生に相談する前に何か解決するかもしれない．
5.2. 連続剛体の重心 47
算法5.2 線密度ρ(X)の1次元剛体の重心のX座標Gは，
G=
∫l
0Xρ(X)dX
M , M =
∫ l 0
ρ(X)dX (5.6)
となる．lは剛体の長さである．
例題5.1 算法5.2の1次元剛体の線密度をρ(X) =aXとする．重心を求めよ．
5.2.2 2次元剛体の重心—面積分
次元を1つ増やして，平面上の2次元剛体を考える．計算手順は1次元と同じだ が，剛体の点が2次元座標(X, Y)になる．
剛体上の点(X, Y)における密度をρ(X, Y)とする．このρ(X, Y) [kg/m2]は，面 密度(surface density)といって，面積[m2]をかけると質量[kg]になる．
1次元の場合と同様に，この2次元剛体をn等分する．各小片の位置ベクトルを xi= (Xi, Yi)としよう．小片の幅を∆X，高さを∆Y とすると，各小片の質量は近 似的にmi=ρ(Xi, Yi)∆X∆Y と書ける．したがって，全質量は近似的に，
M ≈Mn=
∑n i=1
mi=
∑n i=1
ρ(Xi, Yi)∆X∆Y
と書ける．この近似式に積分への書き換えp46を適用すれば，全質量は，
M =
∫∫
A
ρ(X, Y)dXdY (5.7)
と書ける．∫∫
A は，Aを積分区間とする2重積分を表す．これを面積分(surface
integral)という．Aは剛体に含まれる座標点の集合で，これで剛体の形状を表す．A
の具体例をいくつか挙げてみる．
• 半径Rの円盤：A={(X, Y)|X2+Y2≤R2}
• 幅l,高さhの直角三角形：A={(X, Y)|0≤X≤l, 0≤Y ≤(h/l)X}
▶▶(集合の表記) 集合の表記には2種類ある．1つめは，{馬,牛,虎}のように要素
を並べて示す方法，あるいは{2,4,6,· · · }のように並べたふりをする方法である．2つめ は，{要素のタイプ|集合の要素を定める判別条件}という書き方で，例えば，正の偶数 の集合を{n|n >0,nは偶数}と書く．あるいは，XY座標の第1象限に含まれる座 標点の全体は{(X, Y)|X >0, Y >0}と書ける．
こうしたAを積分区間とする2重積分∫∫
AdXdY の意味だが，
• Aに含まれる座標点(X, Y)を，まんべんなく通過するように，積分せよ！
という意味である．どの順に通過するかは勝手に決めてよい6)． 例題5.2 次の直角三角形の全質量を求めよ．面密度ρは一定とする．
次に，分子だが，各小片の位置ベクトルxi=[Xi
Yi
]に対して，近似的に，
分子≈
∑n i=1
mixi=
∑n i=1
ρ(Xi, Yi)∆X∆Y[Xi Yi
]=
∑n
i=1Xiρ(Xi, Yi)∆X∆Y
∑n
i=1Yiρ(Xi, Yi)∆X∆Y
となる．極限n→ ∞をとる気持ちで，積分への書き換えp46を実行すれば，
分子=
∫∫
AXρ(X, Y)dXdY
∫∫
AY ρ(X, Y)dXdY
(5.8)
が得られる．なにやら，式が長くなってきたので，短縮表記を導入しよう．
• ベクトルF =[FX
FY
]に対して，∫∫
FdXdY 定義=
∫∫FXdXdY
∫∫FYdXdY
．
• ベクトルx= [XY]に対して，ρ(x)定義= ρ(X, Y)，dx定義= dXdY． 以上を使うと，分母(5.7)と分子(5.8)は，簡潔に
分母=M =
∫∫
A
ρ(x)dx, 分子=
∫∫
A
xρ(x)dx (5.9) とも書ける．これらを連立して，次の算法が得られる．
算法5.3 面密度ρ(x) =ρ(X, Y)の2次元剛体の重心の座標Gは，
G= 1 M
∫∫
A
xρ(x)dx, M =
∫∫
A
ρ(x)dx (5.10)
となる．Aは剛体の平面形状を表す2次元座標点の集合である．
例題5.3 例題5.2の剛体の重心を求めよ．
5.2.3 3次元剛体
同様の考察から，次の算法を得る．3次元の密度は単に密度(density)呼ばれる．
6)実は，どう巡ろうが同じ積分値が得られる．微積分の教科書にあるフビニの定理を見よ．